韓茂芳

【摘要】勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)換，表明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不可忽視的作用。基于此，本文探討了如何在“勾股定理”教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想，旨在為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供一些新的視角。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;勾股定理;教學(xué)設(shè)計(jì)

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)知識(shí)的兩種表現(xiàn)形式，“數(shù)”體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)與數(shù)學(xué)定理等，而“形”是實(shí)物、圖象與圖形的表征。勾股定理是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化代表之一，在教學(xué)中，為了讓學(xué)生更深層次地領(lǐng)悟知識(shí)、感悟數(shù)形結(jié)合的思想，教師可以借助數(shù)學(xué)文化把數(shù)形結(jié)合思想融入各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中。

一、基于滲透數(shù)形結(jié)合思想的“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材分析

“勾股定理”是人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)初步掌握開(kāi)方、解方程、三角形等相關(guān)知識(shí)。教師可以結(jié)合八年級(jí)學(xué)生具有較強(qiáng)的好奇心和求知欲的特點(diǎn)，在教學(xué)中分層、分階段地滲透數(shù)形結(jié)合的思想。基于此，教師可以借助數(shù)學(xué)文化載體，對(duì)定理的由來(lái)、探索證明方法、應(yīng)用過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行設(shè)計(jì)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平面幾何乃至立體幾何做好鋪墊[1]。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生主動(dòng)探索“發(fā)現(xiàn)”勾股定理的證明過(guò)程，并會(huì)用面積法證明勾股定理。

（2）在探索與證明勾股定理的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和總結(jié)規(guī)律的能力。

（3）在學(xué)生動(dòng)手操作過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)的能力，使學(xué)生體會(huì)到勾股定理中“數(shù)”與“形”的關(guān)系，感受到數(shù)學(xué)中的美。

（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：探索勾股定理的推導(dǎo)過(guò)程。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想證明勾股定理。

（四）教學(xué)過(guò)程

【第一環(huán)節(jié)】實(shí)踐操作，提出猜想，導(dǎo)入課題

1.小組合作，感知數(shù)與形之間的奧秘

教師課前準(zhǔn)備好三張直角三角形紙片（三邊長(zhǎng)是勾股數(shù)），通過(guò)PPT展示以下任務(wù)。

（1）用直尺量出直角三角形三邊長(zhǎng)度，將數(shù)據(jù)填入表1。

（2）思考：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律較困難時(shí)，教師提醒兩直角邊長(zhǎng)的平方和與斜邊長(zhǎng)的平方的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)思路改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，直接讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，從“直角三角形紙片”到“測(cè)量各邊長(zhǎng)度”的過(guò)程中，直觀地感知數(shù)與形之間的關(guān)系。

2.運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，體驗(yàn)數(shù)與形的動(dòng)態(tài)關(guān)系

教師操作幾何畫(huà)板，設(shè)計(jì)大小不一的直角三角形;測(cè)量三邊長(zhǎng)度（軟件操作）。

學(xué)生通過(guò)觀察進(jìn)一步激發(fā)探索和發(fā)現(xiàn)的欲望。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)地展示各種直角三角形，讓學(xué)生觀察直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，潛移默化地將數(shù)形結(jié)合思想滲透在動(dòng)靜之中。

3.提出猜想，導(dǎo)入課題

教師引導(dǎo)學(xué)生大膽提出猜想結(jié)論：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2+b2=c2。由此導(dǎo)出課題——勾股定理。

【第二環(huán)節(jié)】探索新知，驗(yàn)證定理，證明結(jié)論

1.借助數(shù)學(xué)文化，再現(xiàn)發(fā)現(xiàn)定理的過(guò)程

教師出示PPT展示任務(wù)：（1）讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的四個(gè)全等的三角形教具;（2）讓學(xué)生分組進(jìn)行拼圖，并鼓勵(lì)他們大膽嘗試各種拼法。

預(yù)設(shè)1：拼成第一種情形（見(jiàn)圖1）或第二種情形（見(jiàn)圖2）。

教師屏幕展示圖1和圖2，并介紹數(shù)學(xué)文化知識(shí)——趙爽弦圖。之后，教師提問(wèn)：“趙爽是如何證明勾股定理的？”

學(xué)生在討論過(guò)程中總結(jié)出采用面積法得到“大正方形面積=四個(gè)全等直角三角形的面積+小正方形的面積”，從而得出結(jié)論：a2+b2=c2.

教師出示PPT展示畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的圖形，讓學(xué)生自己嘗試證明的過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作到“再創(chuàng)造”的過(guò)程，感受中外數(shù)學(xué)家運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想證明勾股定理的過(guò)程。

2.自主探索，總結(jié)證明定理的方法

教師通過(guò)課件展示問(wèn)題：除教材中證明勾股定理的方法，還有什么方法呢？由此拓展學(xué)生的思維，引出美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的圖形是用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出一個(gè)梯形。之后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：運(yùn)用之前學(xué)過(guò)的方法怎樣來(lái)證明勾股定理？

設(shè)計(jì)意圖：趙爽證法有創(chuàng)意、簡(jiǎn)潔、直觀，讓學(xué)生進(jìn)行拼、湊、補(bǔ)等實(shí)踐活動(dòng)，能使他們感受到我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的精髓。此外，通過(guò)學(xué)習(xí)勾股定理的不同證法，學(xué)生能更加深刻地理解數(shù)形結(jié)合的思想內(nèi)涵。

【第三環(huán)節(jié)】鞏固新知，拓展延伸，學(xué)以致用

為了更好地幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、提升能力，教師可以設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題與拓展練習(xí)。

1.設(shè)問(wèn)反思，知識(shí)建構(gòu)

教師可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：（1）勾股定理具體內(nèi)容是什么？（2）在運(yùn)用勾股定理時(shí)需要注意的前提條件是什么？（3）勾股定理主要研究直角三角形的什么關(guān)系？

2.多層訓(xùn)練，夯實(shí)基礎(chǔ)

教師利用課件展示練習(xí)題：（1）將教材24頁(yè)練習(xí)改編成搶答方式，設(shè)計(jì)一些常見(jiàn)的勾股數(shù)，已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，說(shuō)出另一邊長(zhǎng)。（2）因條件有限，不能直接測(cè)量池塘的兩點(diǎn)間距離，如何運(yùn)用今天所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：為了達(dá)到鞏固新知的目的，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)練習(xí)（1）。練習(xí)（2）的情境設(shè)計(jì)遵循數(shù)學(xué)源于生活并服務(wù)于生活的理念，這樣做既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又讓學(xué)生體會(huì)到勾股定理蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值。

3.拓展延伸，滲透思想

教師提問(wèn)：“能否運(yùn)用圖形解釋公式（a+b）2=a2+2ab+b2的幾何意義？”

設(shè)計(jì)意圖：勾股定理的證明體現(xiàn)了“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的過(guò)程，為防止學(xué)生出現(xiàn)思維定式，教師設(shè)計(jì)拓展性問(wèn)題——解釋完全平方公式的幾何意義，讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”的魅力，從而理解數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。

【第四環(huán)節(jié)】歸納小結(jié)，總結(jié)思想，作業(yè)布置

1.歸納小結(jié)，總結(jié)思想

師生共同歸納總結(jié)，不僅從知識(shí)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，還概括了本節(jié)課數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用過(guò)程。學(xué)生在總結(jié)反思過(guò)程中感受到數(shù)形結(jié)合思想貫穿于本節(jié)課的始終。

2.作業(yè)布置，運(yùn)用思想

（1）如圖3所示，一根長(zhǎng)為10米的竹竿AB，竹竿的頂端A距離垂直地面長(zhǎng)為8米，如果頂端A點(diǎn)下滑2米后，變成CD位置，竹竿的底端是否也滑動(dòng)了2米？

（2）借助網(wǎng)絡(luò)收集新的證明勾股定理的方法。

二、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做進(jìn)一步思考

（一）在教學(xué)過(guò)程中有效利用現(xiàn)代信息技術(shù)滲透數(shù)形結(jié)合思想

以“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，教師可以通過(guò)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)（幾何畫(huà)板），在教學(xué)中呈現(xiàn)出不同類型的直角三角形，讓學(xué)生在多變的圖形中感受數(shù)量的變化，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)量之間存在的規(guī)律。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的角度展現(xiàn)古今中外數(shù)學(xué)家運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想證明勾股定理的方法，使學(xué)生通過(guò)再探索、再創(chuàng)造去學(xué)習(xí)和理解了勾股定理。

（二）在問(wèn)題解決過(guò)程中展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

教師應(yīng)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵——呈現(xiàn)問(wèn)題中的“數(shù)”與“形”互為一體，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化?！肮垂啥ɡ怼钡慕虒W(xué)設(shè)計(jì)從導(dǎo)入、定理證明及其應(yīng)用，設(shè)計(jì)了有層次、有梯度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如從學(xué)生動(dòng)手測(cè)量、觀察到動(dòng)手操作拼圖，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

（三）在教學(xué)反思過(guò)程中總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想方法

關(guān)于反思的認(rèn)識(shí)，弗賴登塔爾認(rèn)為是建構(gòu)到反思，反思到證明的過(guò)程。教師的教學(xué)反思主要體現(xiàn)在四個(gè)方面：一是挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想;二是在教學(xué)活動(dòng)的各環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想;三是數(shù)形結(jié)合思想的滲透過(guò)程伴隨知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程;四是分析例題設(shè)計(jì)習(xí)題練習(xí)，讓學(xué)生時(shí)刻受到這種方法的熏陶，從而逐步形成數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。比如，在“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，從“形”的角度看，四個(gè)全等三角形的拼湊方法主要采用了活動(dòng)探究式教學(xué)方法;從“數(shù)”的角度看，勾股定理結(jié)論的呈現(xiàn)就是數(shù)形結(jié)合的思想。在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)始終遵循反思滲透的原則，以便有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

綜上所述，在“勾股定理”的教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，教師應(yīng)遵循學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)“形”，在解決問(wèn)題的過(guò)程中靈活運(yùn)用“數(shù)”與“形”的關(guān)系，反思數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)在價(jià)值，從而提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

孫悅，劉金魁.新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)：以“探索勾股定理”為例[J].凱里學(xué)院學(xué)報(bào)，2020（12）：109-111.