周 靜，余 超，胡怡宇，杜倩倩

（江漢大學(xué) 人工智能學(xué)院，湖北 武漢 430056）

0 引言

國外學(xué)者較為重視在線課程平臺數(shù)據(jù)資源的研究［1-2]，如美國教育部門建立了“學(xué)習(xí)分析系統(tǒng)”對學(xué)生線上教育數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘、模化和案例運用，可以幫助教師了解學(xué)生更多、更好、更精確的學(xué)習(xí)信息；加拿大面向高等教育領(lǐng)域的學(xué)生推出“學(xué)生成功系統(tǒng)”，幫助教師系統(tǒng)地分析每個學(xué)生的在線學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，并預(yù)測學(xué)生的期末考試成績。國內(nèi)關(guān)于在線課程平臺的數(shù)據(jù)資源的研究大多集中在北京、上海、廣州等地，目前已經(jīng)利用新的數(shù)據(jù)信息處理手段為在線課程用戶提供基本公共在線教育服務(wù)，并初步建立在線教育數(shù)據(jù)挖掘與分析子系統(tǒng)。

綜合國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，雖然目前已對在線教育數(shù)據(jù)進(jìn)行了挖掘和分析，并開發(fā)出數(shù)據(jù)分析平臺；但研究基本僅限于在線教育數(shù)據(jù)，未考慮線下傳統(tǒng)課堂數(shù)據(jù)；同時數(shù)據(jù)分析基本采用的是傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘方法，如回歸分類、聚類等方法，難以有效提取出混合學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的群集特征。針對目前的研究現(xiàn)狀，本文通過融合傳統(tǒng)教學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)線上的教育數(shù)據(jù)構(gòu)建混合教育數(shù)據(jù)特征網(wǎng)絡(luò)，對傳統(tǒng)的非負(fù)矩陣分解（non-negative matrix factorization，NMF）方法進(jìn)行改進(jìn)，提取出混合數(shù)據(jù)特征網(wǎng)絡(luò)中影響教育質(zhì)量的主要群集特征，并基于狀態(tài)-壓力-響應(yīng)（pressurestate-response，PSR）模型構(gòu)建教育指標(biāo)多級評價模型，對個體進(jìn)行有效分級。

1 數(shù)據(jù)特征網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

數(shù)據(jù)特征網(wǎng)絡(luò)的一個重要特征是網(wǎng)絡(luò)包含少量的高度節(jié)點，這些高度節(jié)點的“度”很大，說明它們之間以很高的連接概率互聯(lián)，構(gòu)成群集［3-4]。學(xué)習(xí)行為特征節(jié)點的“度”越大，表示該行為與其他行為被執(zhí)行的次數(shù)越多，則說明該學(xué)習(xí)行為特征越重要，這樣的學(xué)習(xí)行為特征之間存在的聯(lián)系可以看成群集。群集函數(shù)特征的差異表明，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出明顯的層次拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，大多數(shù)節(jié)點分別依附在若干個節(jié)點上，形成若干個小網(wǎng)絡(luò)，小網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過選擇性的互聯(lián)形成大網(wǎng)絡(luò)并產(chǎn)生少數(shù)幾個中心節(jié)點，最后這幾個中心節(jié)點互聯(lián)成完整的網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示。圖1中10個節(jié)點分別代表個體的各學(xué)習(xí)行為特征，由圖1可知，10個學(xué)習(xí)行為特征匯聚形成了4個群集［5-6]，基于4個群集特征構(gòu)建形成了教育特征網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)中的學(xué)習(xí)行為特征是指綜合學(xué)習(xí)效果特征指標(biāo)。

圖1 基于群集特征的數(shù)據(jù)特征網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Data feature network based on cluster feature

2 改進(jìn)的稀疏CNMF特征提取方法

NMF方法提取數(shù)據(jù)群集特征的思路是對于任意給定的m×n大小的高維非負(fù)矩陣X，壓縮分解成兩個低維非負(fù)矩陣F和U，其中F的維度為m×k，U的維度為n×k，F(xiàn)和U滿足X=FUT，其中F為特征矩陣。

凸非負(fù)矩陣（conves nonnegative matrix factorization，CNMF）分解是NMF模型的推廣，可更有效地抽取混合數(shù)據(jù)中的群集特征，并通過對特征矩陣的稀疏化減少矩陣分解與特征提取的計算量。CNMF［4，7]模型將矩陣F替換成原始矩陣X的非負(fù)凸組合，即F=XV。原始矩陣X維度為m×n，非負(fù)凸組合系數(shù)矩陣V的維度為n×k，用于表示特征的基矩陣，特征矩陣F的維度為m×k，則可得到CNMF的分解形式為X=XVUT，其中V和U被約束成非負(fù)，X沒有約束。

基本CNMF的目標(biāo)函數(shù)［8]為

本文提出一個新的目標(biāo)函數(shù)J（V）如（1）式所示，新目標(biāo)函數(shù)比傳統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)更簡單和易于計算，能夠有效提高收斂速度，且對V、U等系數(shù)矩陣的優(yōu)化效果更好，群集特征的識別率更高，

式中，B+=(XTX)+U,A-=(XTX)-,C=UTU。且分別表示矩陣A的正負(fù)部分，如（2）式所示，

定義一個輔助函數(shù)Z(V,V′)，它滿足

對于任一V和V′，定義

可知：

因此，只要找到符合（3）式的Z(V,V′)，可保證目標(biāo)函數(shù)J(V(t))不增且收斂。

其中

符合（3）式的Z(V,V′)由（5）式定義：

為找到Z(V,V′)的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為0，則有

Z(V,V′)的最小值由公式（6）計算得到，即可得到使Z取最小值時的V ik，

又因為

可得到V的迭代規(guī)則如（9）式所示：

同理可得到U的迭代公式為

由公式（9）、（10）定義的迭代規(guī)則可保證J(V(t))=Z(V(t),V(t))≥Z(V(t+1),V(t))≥J(V(t+1))，使得目標(biāo)函數(shù)J(V(t))是個不增函數(shù)且收斂。按照新的迭代規(guī)則進(jìn)行迭代運算時，為消除數(shù)據(jù)間的冗余信息，需對系數(shù)矩陣V加以稀疏條件約束，因此采用閾值判斷方法在迭代中對系數(shù)矩陣V進(jìn)行稀疏化約束。即選擇一個閾值，對V的每一列分別進(jìn)行處理，將大于這個閾值的部分保留，其他區(qū)域置零，則處理后的矩陣被稀疏化，降低了計算量，同時特征更稀疏可使得提取出的混合數(shù)據(jù)的群集特征更為集中。

3 基于改進(jìn)的稀疏CNMF方法提取群集特征

以混合教學(xué)數(shù)據(jù)為例，采集教育個體的學(xué)習(xí)行為及學(xué)習(xí)效果等教育特征數(shù)據(jù)，由教育特征指標(biāo)數(shù)據(jù)構(gòu)成X矩陣。對X進(jìn)行CNMF分解得到系數(shù)矩陣UT，其維度為K×J，即得到了K個群集，UT的第k行第j列的數(shù)值記為表示第k個學(xué)習(xí)行為特征指標(biāo)隸屬于第j個群集的權(quán)值系數(shù)。值越大，說明第k個學(xué)習(xí)特征指標(biāo)隸屬于第j個群集的程度越高，因此可找到高度隸屬于第j個群集的特征指標(biāo)。

對江漢大學(xué)公共課《計算機(jī)基礎(chǔ)》教學(xué)中的個體行為特征指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏CNMF分解，得到4個群集，表征各學(xué)習(xí)特征指標(biāo)分別隸屬于4個群集的系數(shù)矩陣U如表1所示。由表1可知，U的第1列的第6、5、1、2行的值較高，說明第6、5、1、2指標(biāo)隸屬于第一個群集的權(quán)重較高，即隸屬于第一群集的指標(biāo)按照權(quán)重高低分別是：學(xué)習(xí)進(jìn)度、任務(wù)點、視頻觀看率、測驗成績。隸屬于第二群集的指標(biāo)按照權(quán)重高低分別是：實驗成績、考勤。隸屬于第三群集的指標(biāo)按照權(quán)重高低分別是：作業(yè)、訪問數(shù)。隸屬第四群集的指標(biāo)按照權(quán)重高低分別是：期末考試成績、期中考試成績。

表1 教育特征數(shù)據(jù)指標(biāo)的權(quán)值系數(shù)Tab.1 The weight coefficient of educational char acteristic data index

采用基本CNMF及改進(jìn)的CNMF方法在特征矩陣維度N取不同值時分別進(jìn)行群集特征提取，實驗結(jié)果如圖2所示，可知在不同的矩陣維度下改進(jìn)后的CNMF方法提取群集特征所需時間均小于基本CNMF方法。

圖2 群集特征提取時間對比Fig.2 Comparison of cluster feature extraction time

4 教育個體PSR評價體系構(gòu)建及權(quán)值求解

4.1 教育個體PSR評價指標(biāo)體系構(gòu)建

基于上述方法提取到的混合教學(xué)數(shù)據(jù)中的群集特征，選取多級指標(biāo)，采用PSR［9]模型，構(gòu)建評價層—群集層—特征層的3個層次上的PSR評價指標(biāo)體系如圖3所示。圖3中一級指標(biāo)（評價層）分為所提取到的群集1至群集4的4個二級指標(biāo)，4個二級指標(biāo)（群集層）下面又進(jìn)一步分為10個三級特征指標(biāo)。

圖3 基于稀疏CNMF的教育個體PSR評價指標(biāo)體系Fig.3 PSR evaluation index system of educational individuals based on sparse CNMF

4.2 基于熵值法求解PSR各指標(biāo)權(quán)重

基于個體質(zhì)量PSR評價指標(biāo)體系，考慮到個體的分級不僅由個體的學(xué)習(xí)特征行為指標(biāo)決定，還應(yīng)考慮個體的綜合學(xué)習(xí)效果指標(biāo)。為了確定各指標(biāo)對個體分級影響的權(quán)值，本文采用熵值法［10]確定指標(biāo)權(quán)值，主要步驟如下：

步驟一對由M個個體、N個指標(biāo)構(gòu)建的原始指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣X按照（11）式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，

計算第j項指標(biāo)下第i個個體指標(biāo)值x ij的權(quán)重P ij，

計算第j項指標(biāo)的熵值E j，

式中，k=1/lnM。

步驟二計算第j項評價指標(biāo)的差異性系數(shù)gj，

步驟三計算第j項評價指標(biāo)的權(quán)重w j，

步驟四計算評價指標(biāo)權(quán)值。基于特征層的指標(biāo)值，可通過如（16）式所示的加權(quán)綜合計算方法計算群集層（二級指標(biāo)）及評價層（一級指標(biāo)）的指標(biāo)值，

式中，D j表示上一層指標(biāo)值；Cj表示下一級指標(biāo)值；Rj表示Cj相對于D j的權(quán)重；N為Cj級指標(biāo)的數(shù)量。

根據(jù)上述方法，確定各個指標(biāo)之間的相對重要程度，可以得到PSR評價指標(biāo)體系中各指標(biāo)的權(quán)重（見表2）。

5 教育質(zhì)量綜合評價及教育個體分級模型

5.1 教育個體分級理論模型

基于表2中的PSR指標(biāo)體系中各指標(biāo)的權(quán)重，采用綜合加權(quán)法計算得到個體的綜合評價值，用于衡量個體質(zhì)量，實現(xiàn)對個體質(zhì)量的綜合評價［9，11]以及個體的分級。

設(shè)x i″為第i個一級評價指標(biāo)所得評價值，x ik′為第i個一級評價指標(biāo)的第k個二級評價指標(biāo)所得的評價值，x ikl為第i個一級評價指標(biāo)，第k個二級評價指標(biāo)的第l個三級評價指標(biāo)所得的評價值。將教育質(zhì)量分級綜合評價指標(biāo)所得的評價值以相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)來加權(quán)，其加權(quán)和作為教育質(zhì)量的綜合評價值y，教育質(zhì)量分級綜合評價模型為

表2 PSR評價指標(biāo)體系中各指標(biāo)的權(quán)重值Tab.2 The weight value of each index in the PSR evaluation index system

5.2 分級階梯模型建立

由式（17）所計算得到的教育個體質(zhì)量綜合評價值越大，則說明教育質(zhì)量級別越高，個體質(zhì)量越好，級別數(shù)越靠前，反之亦然。因此可建立分級階梯模型如式（18）所示，用于確定教育個體質(zhì)量的級別數(shù)，

由（17）式和（18）式可求得各個體樣本的綜合評價指標(biāo)值與分級值，并給出200個個體樣本分屬于10級的分布曲線（見圖4），圖4橫軸表示級別數(shù)，縱軸表示學(xué)生人數(shù)。圖4同時給出了依據(jù)學(xué)生期末考試成績得到的理想分級值的分布曲線。

圖4 個體分級分布圖Fig.4 Individual classification distribution map

由圖4可知，本文所提出的評價指標(biāo)體系對學(xué)生進(jìn)行分級評價的結(jié)果與學(xué)生個體期末考試成績的理想分級結(jié)果基本一致，證明了本文所提出的特征提取方法及評價分級模型的有效性。

6 結(jié)語

本文針對線上和線下混合教學(xué)中所獲取的教育特征數(shù)據(jù)，構(gòu)建基于群集的教育特征網(wǎng)絡(luò)；采用改進(jìn)迭代規(guī)則的稀疏凸非負(fù)矩陣分解特征提取算法對教育特征網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，提取影響教育特征網(wǎng)絡(luò)的群集特征。根據(jù)該反映個體質(zhì)量的群集特征的權(quán)值大小，可分析得到個體質(zhì)量的核心指標(biāo)；同時，通過選取多級特征指標(biāo)構(gòu)建了混合教學(xué)模式下個體質(zhì)量的PSR評價指標(biāo)體系；采用綜合評價法構(gòu)建個體質(zhì)量綜合評價模型和分級模型，并對該課程混合教學(xué)中的教育個體進(jìn)行了有效分級，分級結(jié)果分布與學(xué)生個體期末考試成績的理想分級結(jié)果基本一致，證明了本文算法的有效性。