王靖岳 劉寧 王浩天

（1.沈陽理工大學汽車與交通學院，沈陽 110159）（2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）（3.沈陽航空航天大學自動化學院，沈陽 110136）

引言

齒輪系統(tǒng)是應(yīng)用廣泛的動力傳動裝置，其振動和噪聲問題也尤為突出，吸引了國內(nèi)外大量學者對其非線性動力學特性進行研究［1-6］.

在現(xiàn)有研究文獻中，很多學者采用相圖和Poincaré截面結(jié)合的方法對系統(tǒng)進行定性分析，而采用Lyapunov指數(shù)可以對系統(tǒng)進行定量分析.李華等針對單對齒輪系統(tǒng)，利用Lyapunov指數(shù)來判別系統(tǒng)中的混沌吸引子，說明其可以作為判定齒輪系統(tǒng)運動狀態(tài)的指標［7］.王曉筍等建立含側(cè)隙的齒輪系統(tǒng)動力學模型，分析系統(tǒng)隨側(cè)隙變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖［8］.Hou等建立行星齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性分析模型，用分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)來說明系統(tǒng)的非線性響應(yīng)［9］.向鈴等建立了平移扭轉(zhuǎn)耦合的齒輪系統(tǒng)動力學模型，基于Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)隨激勵參數(shù)變化的動力學特性［10］.林何等建立含間隙和誤差的齒輪非線性振動模型，采用Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)定量表述系統(tǒng)相空間吸引子的數(shù)值特性［11］.

對于齒輪系統(tǒng)混沌特性的研究，綜合分析上述研究文獻，多數(shù)為單對齒輪副的研究，而行星齒輪的模型研究很少，其模型構(gòu)件較多，動力學特性也會更加復(fù)雜.因此，本文建立考慮嚙合剛度、誤差和齒隙等非線性因素的行星齒輪傳動系統(tǒng)振動模型，采用數(shù)值方法求解，利用非線性分析方法，結(jié)合分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)（Largest Lyapunov Exponents，LLE）對行星齒輪系統(tǒng)的混沌特性進行分析.

1 系統(tǒng)動力學建模

如圖1所示，定、動坐標系分別為onxnyn、Oxy，基于集中參數(shù)理論建立的行星齒輪扭轉(zhuǎn)動力學模型，假定逆時針旋轉(zhuǎn)為正，不考慮軸承間隙等非線性，每個行星輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量相同，同類型構(gòu)件齒隙、綜合嚙合誤差和阻尼比等參數(shù)也相同，嚙合副的接觸面簡化為彈簧和阻尼器連接，c代表行星架、r代表齒圈、s代表太陽輪、n代表第n個行星輪（n=1，2，3…N），uc、ur、us、un分別表示上述構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移.

圖1 行星齒輪動力學模型Fig.1 Dynamics model of planetary gear

采用牛頓定律建立行星齒輪系統(tǒng)動力學微分方程：

式中，令j=s、c、r、n，i=sn、rn，sn為外嚙合副；rn為內(nèi)嚙合副；Ij為轉(zhuǎn)動慣量；rj為基圓半徑；T1為輸入扭矩；T2為輸出扭矩.

通過石川公式計算齒輪副的嚙合剛度［12］，時變嚙合剛度隨時間周期性變化，通過Fourier級數(shù)展開，取諧波基頻部分：

式中，kiav為平均嚙合剛度；k為剛度系數(shù)；φ為剛度相位角；ωm為激勵頻率.

綜合嚙合誤差主要為制造誤差和安裝誤差，可以表示為正弦函數(shù)的形式：

式中，E為嚙合誤差幅值；γ為誤差相位角.

齒輪副的嚙合阻尼與嚙合剛度相關(guān)，可以表示為：

齒側(cè)間隙以嚙合線方向為度量值，采用分段函數(shù)的形式，如圖2所示，齒輪副間隙非線性位移函數(shù)可以表示為：

圖2 齒側(cè)間隙非線性函數(shù)Fig.2 Nonlinear function of backlash

為了消除剛體位移和使系統(tǒng)方程數(shù)目減少實現(xiàn)降維，引入內(nèi)外嚙合副的相對位移δ：

2 系統(tǒng)的分岔與混沌特性分析

表1 行星齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)[14]Table 1 Basic parameters of planetary gear system[14]

2.1 系統(tǒng)隨激勵頻變化的分岔與混沌特性

以無量綱激勵頻率Ω為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖3所示.從圖3中可以看出，隨著Ω的增加，系統(tǒng)首先為周期運動，在此區(qū)域伴隨有短暫陣發(fā)性混沌，對應(yīng)LLE圖中有正值區(qū)域，然后系統(tǒng)完全進入混沌運動，之后系統(tǒng)再次進入周期運動，途徑為逆倍化分岔，在高頻區(qū)域的周期運動發(fā)生倍化分岔，最后穩(wěn)定在1周期運動，同時在此期間也夾雜幾處混沌運動.當Ω在［0，0.76］區(qū)間時，系統(tǒng)為1周期運動；當Ω增加到0.78時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔進入2周期運動；當Ω增加到0.88時，系統(tǒng)為4周期運動，之后系統(tǒng)暫時經(jīng)激變進入陣發(fā)性混沌，對應(yīng)LLE值為正；當Ω在［1.04，1.14］區(qū)間時，系統(tǒng)為2周期運動，狀態(tài)改變途徑為跳躍激變；當Ω在［1.14，1.52］區(qū)間時，系統(tǒng)為混沌運動狀態(tài)，LLE值為正，呈先增后減趨勢；當Ω在［1.52，2.18］區(qū)間時，系統(tǒng)狀態(tài)為混沌運動→4周期運動→2周期運動→1周期運動；當Ω在［2.18，2.28］區(qū)間時，系統(tǒng)發(fā)生跳躍激變，由4周期跳躍為2周期；當Ω在［2.28，2.7］區(qū)間時，系統(tǒng)主要為8周期運動，伴隨短暫的陣發(fā)性混沌，對應(yīng)LLE圖在正值區(qū)域有幾處尖峰；當Ω在［2.7，2.94］區(qū)間時，系統(tǒng)為2周期運動；當Ω在［2.94，4］區(qū)間時，系統(tǒng)鎖相為1周期運動.

圖3 系統(tǒng)隨Ω變化的分岔圖和LLE圖Fig.3 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withΩ

2.2 系統(tǒng)隨阻尼比變化的分岔與混沌特性

取激勵頻率Ω=1，以阻尼比ζ為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖4所示.從圖4可以看出，隨著ζ的增加，系統(tǒng)開始的混沌特性明顯，在狀態(tài)臨界點處系統(tǒng)狀態(tài)復(fù)雜，最后系統(tǒng)由逆倍化分岔進入周期運動，符合增大阻尼可以使系統(tǒng)擺脫混沌，從而使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定.當ζ在［0.07，0.093］區(qū)間時，系統(tǒng)主要為混沌運動，同時伴有陣發(fā)性混沌和周期窗口，對應(yīng)的LLE值在正負區(qū)域之間變化；當ζ在［0.093，0.106］區(qū)間時，系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔進入4周期運動，LLE值為負，呈減小趨勢；當ζ繼續(xù)增加到0.108時，系統(tǒng)最后穩(wěn)定在2周期運動.

圖4 系統(tǒng)隨ζ變化的分岔圖和LLE圖Fig 4 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withζ

2.3 系統(tǒng)隨綜合誤差幅值變化的分岔與混沌特性

取Ω=1，以誤差幅值E為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖5所示.從圖5可以看出，隨著E的增加，系統(tǒng)開始為單周期運動，之后為逐漸倍化分岔多倍周期運動，最后進入混沌運動，同時伴有狹窄的周期或擬周期窗口.當E在［0，1.4］區(qū)間時，系統(tǒng)為1周期運動，LLE值為負；當E在［1.4，2.04］區(qū)間時，系統(tǒng)為2周期運動，在此區(qū)間，當E為1.5時，發(fā)生跳躍激變；當E在［2.04，2.06］區(qū)間時，系統(tǒng)暫時為擬2周期運動，LLE值為0；當E在［2.08，2.22］區(qū)間時，系統(tǒng)為多倍周期運動分岔行為，6周期運動→12周期運動→24周期運動；當E在［2.24，3］區(qū)間時，系統(tǒng)混沌特性明顯，同時混沌區(qū)域中周期窗口不明顯，說明系統(tǒng)已處于不穩(wěn)定狀態(tài)，符合實際誤差變大，系統(tǒng)混沌振動特性也隨之增強.

圖5 系統(tǒng)隨E變化的分岔圖和LLE圖Fig.5 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withE

2.4 系統(tǒng)隨荷載變化的分岔與混沌特性

取激勵頻率Ω=1，以荷載T為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖6所示.從圖6中可以看出，隨著T的增加，系統(tǒng)開始的混沌狀態(tài)明顯，分岔行為模糊，狀態(tài)改變?yōu)樘S激變和逆倍化分岔，系統(tǒng)的周期運動區(qū)間也存在兩處不穩(wěn)定的混沌區(qū)域，LLE圖中為兩處尖峰，最后系統(tǒng)穩(wěn)定在單周期運動.當T在［0，70］區(qū)間時，系統(tǒng)為混沌運動狀態(tài)，LLE值為正；當T增加到75時，系統(tǒng)由混沌運動逆倍化分岔為2周期運動，對應(yīng)LLE值由正變負；當T增加到90時，系統(tǒng)跳躍激變?yōu)?周期運動，當T在［90，120］區(qū)間時，系統(tǒng)主要為4周期運動，伴有陣發(fā)性混沌.當T在［125，250］區(qū)間時，系統(tǒng)為周期運動，由4周期運動→2周期運動→1周期運動，狀態(tài)改變途徑為逆倍化分岔.

圖6 系統(tǒng)隨T變化的分岔圖和LLE圖Fig 6 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withT

2.5 系統(tǒng)隨齒隙變化的分岔與混沌特性

取激勵頻率Ω=1，以齒隙b為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖7所示.從圖7中可以看出，隨著b的增加，系統(tǒng)首先為周期運動，同時發(fā)生Hopf分岔，最后經(jīng)倍化分岔進入混沌運動，在混沌區(qū)間伴有兩段狹窄的周期窗口，對應(yīng)LLE在負值區(qū)域有兩處尖峰.當b在［0，0.38］區(qū)間時，系統(tǒng)為1周期運動，LLE值為負；當b增加到0.4時，系統(tǒng)經(jīng)Hopf分岔進入2周期運動；當b在［1.26，1.52］區(qū)間時，系統(tǒng)有兩個混沌帶，伴有周期運動和擬周期運動，對應(yīng)LLE值在正負區(qū)域變化；當b在［1.54，1.62］區(qū)間時，系統(tǒng)為多倍周期運動，分岔途徑為倍化分岔；當b增加到1.62時，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔進入混沌運動，對應(yīng)LLE值為正.

圖7 系統(tǒng)隨b變化的分岔圖和LLE圖Fig.7 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withb

2.6 系統(tǒng)隨剛度幅值變化的分岔與混沌特性

取激勵頻率Ω=1，以剛度幅值k為變化參數(shù)，得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE圖，如圖8所示.從圖8中可以看出，隨著k的增加，系統(tǒng)的分岔行為簡單，由單周期運動經(jīng)倍化分岔進入混沌運動.當k在［0，0.35］區(qū)間時，系統(tǒng)為1周期運動；當 k在［0.35，0.81］區(qū)間時，系統(tǒng)為2周期運動，對應(yīng)的LLE值為負；當k在［0.81，1］區(qū)間時，系統(tǒng)為混沌運動，對應(yīng)的LLE在正值區(qū)域變化且逐漸增加，表明系統(tǒng)混沌程度增大.

圖8 系統(tǒng)隨k變化的分岔圖和LLE圖Fig.8 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system withk

3 結(jié)論

建立考慮齒隙、時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差等多種非線性因素的行星齒輪扭轉(zhuǎn)動力學振動模型，采用Runge-Kutta數(shù)值方法，研究了系統(tǒng)隨激勵頻率、阻尼比、綜合誤差幅值、載荷、齒隙和剛度幅值變化時的分岔和混沌特性.

（1）隨著激勵頻率的增加，系統(tǒng)分岔行為豐富，運動狀態(tài)在單周期運動、多倍周期和混沌運動之間多次變化，途徑為跳躍激變、倍化分岔和逆倍化分岔，LLE在正值區(qū)域減小.

（2）隨著阻尼比的增加，分岔行為明顯，系統(tǒng)開始混沌特性明顯，最后經(jīng)逆倍化分岔由混沌運動進入周期運動，對應(yīng)的LLE值由正變負.

（3）隨著綜合誤差幅值的增加，系統(tǒng)分岔行為豐富，經(jīng)倍化分岔由單周期運動逐漸變?yōu)槎啾吨芷谶\動，最后倍化分岔進入混沌運動，LLE值在正值區(qū)域逐漸增加.

（4）隨著荷載的增加，系統(tǒng)分岔行為模糊，系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)跳躍激變和逆倍化進入周期運動，在周期運動區(qū)域，最后經(jīng)逆倍化分岔鎖相為穩(wěn)定的1周期運動，LLE值總體趨勢減小.

（5）隨著齒隙的增加，系統(tǒng)分岔行為變得復(fù)雜，主要集中在混沌區(qū)域中的周期窗口，最后，經(jīng)倍化分岔由周期運動進入混沌運動.LLE值先逐漸增加，最后，在正值區(qū)域圍繞0.005上下波動.

（6）隨著剛度幅值的增加，系統(tǒng)分岔行為簡單，由周期運動經(jīng)倍化分岔進入混沌運動，LLE值整體趨勢增加.