王東梅 余躍? 張正娣

（1.南通大學(xué)理學(xué)院，南通，226019）（2.江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江，212013）

引言

各種實際的非線性問題中往往涉及時滯的影響［1-4］.具體而言，其產(chǎn)生根源往往來自于自然界、工程技術(shù)和社會生活中普遍存在的信號傳輸時間延遲、轉(zhuǎn)換速度過程和記憶效應(yīng)等［5.6］.例如，遠距離通訊信號的傳遞，控制系統(tǒng)中信號反饋存在的時間差，車輛上用到的半主動懸架系統(tǒng)中不可避免的延遲，測量信號從傳感器至控制計算機的傳輸時滯，作動器引起的響應(yīng)時滯和建立控制需要的時間，以及系統(tǒng)物理和化學(xué)性質(zhì)導(dǎo)致的時滯等［7，8］.此外，時滯動力系統(tǒng)也是描述金屬切削過程顫振、生物系統(tǒng)演化等問題的重要數(shù)學(xué)模型［9，10］.由于時滯動力系統(tǒng)的廣泛適用，討論時滯因素及其耦合模式在內(nèi)的多因素聯(lián)合所導(dǎo)致的多級分岔，以及伴隨的復(fù)雜動力學(xué)行為分析，不僅可以解決工程應(yīng)用學(xué)科中遇見的一些重要實際技術(shù)問題，還將同時推動時滯動力系統(tǒng)自身理論的豐富與發(fā)展［11，12］.

許多重要工程實際問題中的復(fù)雜振動模式還往往需要考慮不同形式的激勵，如周期外激、參數(shù)激勵以及混合激勵.激勵因素對單自由度或多自由度非線性系統(tǒng)的非線性振動、分岔和混沌動力學(xué)行為將會產(chǎn)生顯著影響.例如，張偉等［13］研究了參數(shù)激勵和外激勵聯(lián)合作用下薄板的非線性動力學(xué)，給出一類四邊簡支矩形薄板系統(tǒng)發(fā)生周期運動-概周期-混沌的動力學(xué)演化規(guī)律.鄧子辰等［14］考慮兩種激勵下的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，模擬了碳納米管的振動，研究了碳納米管的軸向動態(tài)屈曲特性.彭志科等［15］則建立了多級齒輪箱系統(tǒng)在傳動誤差、時變嚙合剛度和激勵聯(lián)合作用下的參數(shù)模型，討論了系統(tǒng)在隨機激勵作用下的動力特性.王如彬等［16］則分析了外激勵如何影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元的數(shù)量以及同步轉(zhuǎn)遷過程，為進一步研究大腦皮質(zhì)深層復(fù)雜動力學(xué)創(chuàng)造了條件.這些文獻均系統(tǒng)分析了不同激勵因素對系統(tǒng)動力特性的影響.

含時滯反饋的Duffing振子可用于描述多種工程系統(tǒng)，具有非常廣泛的應(yīng)用，許多力學(xué)與數(shù)學(xué)工作者都對此做過深入研究［17-19］.Maccari［20］等人利用時滯位移和速度反饋控制法研究了Duffing振子的非線性振動響應(yīng).胡海巖、王在華等［21］則研究了Duffing振子中的延遲AD（加速度導(dǎo)數(shù)）控制器設(shè)計以及分岔控制.楊韶普、申永軍［22］等人研究了含時滯分數(shù)階Duffing振子動力學(xué)特性，分析了反饋系數(shù)、分數(shù)階非線性剛度系數(shù)、分岔點位置、周期解的穩(wěn)定性、周期解的存在范圍、零解的穩(wěn)定性和穩(wěn)定切換等因素對復(fù)雜動力行為的影響.徐鑒、孫秀婷等［23］選取反饋時滯及其增益作為控制參數(shù)，討論了基于時滯Duffing方程的非線性隔振器設(shè)計.徐偉和孫中奎等［24］考慮了 Van der Pol-Mathieu-Duffing系統(tǒng)的混沌響應(yīng)，給出了系統(tǒng)通向混沌的噪聲閾值條件.孫劍橋等［25］研究了一類慢變激勵作用下的Duffing振子的混沌動力學(xué)，討論了幾類新型混沌響應(yīng).許勇等人［26］則用數(shù)值方法研究了雙穩(wěn)態(tài)Duffing系統(tǒng)中的Levy噪聲因素，以及因此產(chǎn)生的相變過程和通過時間.張麗等［27］研究了Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的全局Hopf分岔特性和轉(zhuǎn)遷機制.

本文在上述結(jié)果的研究基礎(chǔ)上，考慮線性時滯位移反饋與多頻激勵聯(lián)合作用的負剛度Duffing振子，

其中τ>0為時滯量，A>0表示正反饋增益，反之表示負反饋，而f1和f2為激勵振幅，ω1和ω2是激勵頻率.當受迫振動激勵頻率接近系統(tǒng)固有頻率，即多頻激勵的頻率量級為O（1）時的系統(tǒng)動力學(xué)已經(jīng)有諸多學(xué)者做了相關(guān)研究［28-30］.當激勵頻率遠小于系統(tǒng)固有頻率并且系統(tǒng)含有時滯因素時，系統(tǒng)將演化為時滯系統(tǒng)快慢動力學(xué)問題［31，32］.多頻激勵和時滯反饋聯(lián)合作用下的非線性振蕩以及動力學(xué)分析，對于理解快慢變時滯系統(tǒng)與不變流形方法有關(guān)的處理技巧，分析時滯及其增益系數(shù)對狀態(tài)變量在不同時間尺度下的運動規(guī)律，進而探討多穩(wěn)態(tài)解共存下的復(fù)雜動力學(xué)有重要的理論意義和應(yīng)用價值［33-36］.

1 時滯引起平衡點穩(wěn)定性切換

當系統(tǒng)（1）中時滯τ=0時，系統(tǒng)（1）為多頻激勵下無時滯Duffing振子的動力學(xué)問題，已經(jīng)有許多平凡的結(jié)果.進一步，當f1=f2=0時，自治系統(tǒng)的動力學(xué)行為較為簡單，即存在平凡平衡點E0（0，0）和對稱的非平凡平衡點E±（± 1，0）.這些平衡點的穩(wěn)定性由相應(yīng)特征方程根的情況決定.例如，E0有特征根-1.618和0.618，即為不穩(wěn)定鞍點.而E±（± 1，0）的特征根為-0.5± 1.3229i，即焦點形式的雙穩(wěn)平衡態(tài).

以下討論τ>0時，時滯位移反饋對系統(tǒng)平衡點E0局部分岔行為的影響，對應(yīng)的特征方程為

假設(shè)λ=a±ib，其中實數(shù)a，b>0表示實部和虛部.當a=0，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的必要條件是：

對式（3）進行平方和運算可得b4+（3-2A）b2-2A+1=0，即

要使得式（4）解集成立，增益系數(shù)需要滿足A>1/2，此時得到虛部b的進一步表達式

根據(jù)Hopf分岔定理，此時平衡點E0發(fā)生Hopf分岔的臨界時滯條件是

圖1 系統(tǒng)（1）在f1=f2=0時平衡點受時滯量和反饋增益影響的分岔集Fig.1 Curve of system bifurcation on the plane of（A，τ）equilibrium points forf1=f2=0

下面考慮非平凡平衡點E±處的Hopf分岔，此時對應(yīng)的特征方程為

同樣將特征根λ=bi，b>0代入方程（7），得到E±發(fā)生Hopf分岔的條件是

對式（8）進行平方和運算可得b4-（3+2A）b2+4A+4=0，解得

當時滯增益系數(shù)滿足A>0，進一步得到虛部b的表達式

根據(jù)Hopf分岔理論，將公式（10）代入（6），得到平衡點E±發(fā)生Hopf分岔的臨界時滯

圖2 系統(tǒng)（1）A=3.5，f1=f2=0時共存吸引子Fig.2 Phase portraits of system（1）forA=3.5，f1=f2=0

2 多頻激勵分析方法

多頻激勵下的快慢變流形已經(jīng)有了相關(guān)工作［37，38］.這里我們簡要介紹一下處理技巧，基于棣莫弗公式可得

這里m是不超過整數(shù)n的最大偶數(shù).基于公式（12）可以列舉出諸如n=2和n=3的簡單例子，即cos（2x）=2cos2x-1，cos（3x）=4cos3x-3cosx.不失一般性，本文考慮混合激勵頻率之間滿足ω1：ω2=1：2共振關(guān)系.假設(shè)β=cos（ω1t），可得cos（ω2t）=2β2-1，系統(tǒng)（1）關(guān)于快變量x與慢變量β的流形表示為，

快慢變流形上的局部極值點，即二組Fold分岔點可以根據(jù)式（13）計算得到.設(shè)二元函數(shù)F（x，β）=x-x3+f1β+2f2β2-f2，由隱函數(shù)公式可知，

由公式（15）可知Fold分岔不受時滯增益以及時滯量大小的影響，但會受到激勵幅值的影響.可以通過改變多頻激勵的幅值f1和f2，調(diào)節(jié)快慢變流形，使得局部極值點發(fā)生位移，進而改變系統(tǒng)的振蕩特性.本文進一步選取兩組激勵幅值f1=1和f2=±1.5，分別生成開口朝左和右的多彎曲狀流形，如圖3（a）和3（b）所示，其中單箭頭表示流形上吸引子與排斥子的分布情況，而局部極值點Fi（i=1，2，3，4）為流形上的Fold分岔點，此處系統(tǒng)的動力特性將會因為Fold分岔發(fā)生轉(zhuǎn)遷，產(chǎn)生不同穩(wěn)態(tài)分支上的大幅跳躍振蕩行為.當f1=1，f2=1.5時，圖3（a）中的Fold分岔點坐標為 F1（-0.5774，0.6433），F(xiàn)2（0.5774，0.4654）， F3（-0.5774，-0.9767） 和F4（0.5774，-0.7987）.類似的，當激勵值f1=1，f2=-1.5時，圖3（b）中的Fold分岔點坐標分別為F1（ -0.5774，0.7987） ，F(xiàn)2（0.5774，0.9767） ，F(xiàn)3（-0.5774，-0.4654），F(xiàn)4（0.5774，-0.6433）.

圖3 系統(tǒng)（1）在外激頻率共振比為1：2下的多曲形流形Fig.3 Multi-curve-shaped manifolds with excited resonance frequency ratio1：2of system（1）

3 復(fù)雜動力學(xué)行為分析

通過上述分析可知，在不同的參數(shù)條件下，系統(tǒng)均會因為時滯反饋和多頻激勵因素呈現(xiàn)出不同的分岔特性，這些特性會對系統(tǒng)最終的復(fù)雜行為產(chǎn)生影響.由于激勵頻率與系統(tǒng)自身固有頻率之間存在著量級差距，系統(tǒng)將會產(chǎn)生不同尺度耦合效應(yīng)，表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩交替出現(xiàn)的動力學(xué)行為，同時受到時滯反饋的影響.下面，選取系統(tǒng)（1）激勵幅值f1=1和f2=±1.5，并進一步固定激勵頻率ω1=0.01和ω2=0.02，這里β=cos（0.01t），基于多曲狀快慢變流形討論系統(tǒng)的不同模式振蕩.

3.1 反饋增益系數(shù)A<1/2的周期振蕩

顯然，在反饋增益A<1/2條件下，負剛度系統(tǒng)的兩個非平凡平衡點呈現(xiàn)穩(wěn)定的焦點性態(tài)，快慢耦合效應(yīng)不會隨時滯量的變化而發(fā)生明顯變化，系統(tǒng)特性始終表現(xiàn)為圍繞多曲狀流形上的大幅跳躍與微幅振蕩耦合的周期振蕩行為.圖4和圖5給出了系統(tǒng)（1）在時滯反饋增益A=-1和時滯量τ=1，激勵幅值分別為f1=1和f2=±1.5時的不同平面上的相軌，并通過在平面（x，β）嵌入多曲狀流形揭示出其動力學(xué)轉(zhuǎn)遷過程.可以看出，此時系統(tǒng)軌跡在焦點吸引子之間發(fā)生大幅跳躍，出現(xiàn)分布在慢變流形上圍繞兩側(cè)不同平衡點處衰減的微幅振蕩與大幅振蕩之間的聯(lián)接.

圖4 A=-1，τ=1，幅值f1=1和f2=1.5時的相圖Fig.4 The phase trajectories of system（1）forA=-1，τ=1，f1=1andf2=1.5

圖5 A=-1，τ=1，幅值f1=1和f2=-1.5時的相圖Fig.5 The phase trajectories of system（1）forA=-1，τ=1，f1=1andf2=-1.5

此類動力學(xué)行為中，以快慢變流形上的局部極值點，即Fold分岔點Fi，i=1，2，3，4作為分界點，聯(lián)接快慢過程.不同的穩(wěn)態(tài)解（焦點吸引子）之間的跳躍過程，對應(yīng)相對劇烈的大幅振蕩，即激發(fā)態(tài).而圍繞吸引子逐步趨向平衡點的過程，對應(yīng)相對平緩的微幅振蕩，即沉寂態(tài).不同振蕩方式之間的分岔聯(lián)接方式，受時滯影響不大，始終適用于慢變流形之上，在不同的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)定的焦點）之間轉(zhuǎn)遷.

下面，我們以外激勵幅值為f1=1，f2=1.5時的情況為例，如圖4所示，分析系統(tǒng)軌跡在一個周期內(nèi)的轉(zhuǎn)遷過程.假定系統(tǒng)軌跡從F1點向右側(cè)出發(fā)，在經(jīng)過Fold分岔點F1時，系統(tǒng)沿著左側(cè)平衡態(tài)分支E-的運動失穩(wěn)（F1也是穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形的分界點），系統(tǒng)軌跡發(fā)生躍遷，即朝向右側(cè)平衡點E+大幅跳躍.此后，系統(tǒng)圍繞穩(wěn)定的平衡點E+振蕩，由于E+表現(xiàn)成穩(wěn)定的焦點，此時的振蕩幅值持續(xù)衰減，直到慢變量β到達極大值β=1處.此后隨著β減小，軌跡沿著平衡點曲線折回，開始遠離平衡點E+而向左運動，直到運動到第二個Fold分岔點F2處.經(jīng)過F2點后，軌線運動再一次失穩(wěn)，而向左側(cè)平衡點E-發(fā)生大幅躍遷，此后受到E-焦點性態(tài)的影響，系統(tǒng)的振蕩幅值逐漸衰減，直到貼近平衡點曲線上的穩(wěn)定流形部分，此時慢變量β進一步減小.

隨著慢變量減小，系統(tǒng)沿著平衡點曲線到達第三個Fold分岔點F3，隨后圍繞左側(cè)平衡點分支E-的軌跡第三次失去穩(wěn)定性，在經(jīng)過F3后發(fā)生再一次大幅跳躍，使得系統(tǒng)軌跡回到右側(cè)穩(wěn)定平衡點E+的吸引域中.此后，軌跡沿著穩(wěn)定的平衡點E+運動，慢變量β到達其變化最小值β=-1處.接著，系統(tǒng)軌跡沿著平衡點曲線折回，向左側(cè)運動直到Fold分岔點F4.然后，右側(cè)的穩(wěn)定平衡點分支消失，系統(tǒng)重新回到左側(cè)平衡點E-的吸引域中，系統(tǒng)軌線經(jīng)過第四次大幅跳躍靠近平衡點E-，E-呈現(xiàn)焦點特性，因此系統(tǒng)振幅衰減，直至貼近平衡點曲線上的穩(wěn)定流形部分.最后，軌線再一次回到初始點F1，完成整個振蕩周期.值得指出的是，一個完整的振蕩周期內(nèi)，系統(tǒng)圍繞著穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形產(chǎn)生了四次大幅躍遷，每次轉(zhuǎn)遷后軌線圍繞新的平衡點振蕩，幅值衰減.

圖4與圖5的動力學(xué)特性的區(qū)別在于由于激勵幅值的改變，導(dǎo)致慢變流形上穩(wěn)定態(tài)的分布位置發(fā)生變化，系統(tǒng)動力特性也隨之改變.但是，四個Fold分岔點（局部極值點）仍然將系統(tǒng)的軌跡劃分為快慢分離的四個部分，分別受穩(wěn)定平衡點吸引，圍繞平衡點之間跳躍轉(zhuǎn)遷.雖然，系統(tǒng)周期穩(wěn)態(tài)解的產(chǎn)生機制保持不變，但影響了慢變流形的走向，還使得相關(guān)動力學(xué)軌跡變化明顯.這使得此類張弛振蕩在向量場的分布出現(xiàn)了更多可能.隨著多頻激勵參數(shù)的繼續(xù)變化，系統(tǒng)的此類轉(zhuǎn)遷行為會產(chǎn)生更加豐富的周期振蕩行為.必須說明的是，無論如何改變時滯量，此種快慢聯(lián)接的定性性質(zhì)依然保持不變，依舊是平衡點數(shù)量的改變導(dǎo)致的.這種情況下，激勵幅值對于調(diào)節(jié)時滯振子快慢動力學(xué)行為是更好的手段，恰當選擇激勵幅值有益于產(chǎn)生更為豐富的非線性現(xiàn)象.

3.2 增益系數(shù)A>1/2，時滯增大時的振蕩機制

在時滯反饋增益A>1/2條件下，隨著時滯量的增加，系統(tǒng)局部穩(wěn)定的平衡點可以經(jīng)過Hopf分岔生成穩(wěn)定的極限環(huán).此時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性將發(fā)生明顯的改變，將表現(xiàn)為圍繞多曲狀流形上的快慢變耦合的周期振蕩.圖6和圖7分別給出了系統(tǒng)（1）在時滯反饋A=3.5和τ=1.5，激勵幅值分別為f1=1和f2=±1.5時的相圖，并通過嵌入多彎曲狀流形揭示出其動力學(xué)轉(zhuǎn)遷過程.

圖6 A=3.5，τ=1.5，幅值f1=1和f2=1.5時的相圖Fig.6 The phase trajectories of system（1）forA=3.5，τ=1.5，f1=1andf2=1.5

圖7 A=3.5，τ=1.5，幅值f1=1和f2=-1.5時的相圖Fig.7 The phase trajectories of system（1）forA=3.5，τ=1.5，f1=1andf2=-1.5

當A>1/2，且時滯滿足Hopf分岔發(fā)生的臨界條件，與之前激發(fā)態(tài)是圍繞平衡點的運動模式不同，由于受時滯影響而產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，即此時系統(tǒng)激發(fā)態(tài)部分的極限環(huán)特征十分明顯.隨著控制參數(shù)β在慢變流形上變化，系統(tǒng)動力特性的轉(zhuǎn)遷既有圍繞平衡點收斂，又有圍繞局部穩(wěn)定極限環(huán)的周期振蕩.多曲狀流形上穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形的交替出現(xiàn)，誘發(fā)系統(tǒng)的復(fù)雜振蕩依舊具有明顯的跳躍，即由穩(wěn)定分支跨越到其它穩(wěn)定分支，同時包含有局部極限環(huán)振蕩，這導(dǎo)致（x，β）相平面上可以觀察到密集的局部簇發(fā)行為.

以外激勵幅值為f1=1，f2=1.5為例，系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點分布在左側(cè)的弧段和右側(cè)開口的二弧段上.如圖6所示，越接近左側(cè)的慢變流形，系統(tǒng)動力特性停留的時間更長，表現(xiàn)為極限環(huán)振蕩幅值越大，且振動頻率也接近Hopf分岔的理論值，即特征值虛部數(shù)值.當極限環(huán)軌道運動到穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形的分界點處，受到不穩(wěn)定流形的排斥，系統(tǒng)特性發(fā)生變化，此時系統(tǒng)軌跡發(fā)生大幅跳躍到達另外一側(cè)的穩(wěn)定分支.接著，受到時滯誘發(fā)的Hopf分岔作用，產(chǎn)生圍繞平衡點的穩(wěn)定局部極限環(huán)振蕩.上述轉(zhuǎn)遷過程往復(fù)進行，完成一個完整周期的復(fù)雜振蕩行為.

如圖6（b）所示，慢變流形開口向右，分析系統(tǒng)軌跡在一個周期內(nèi)的轉(zhuǎn)遷過程.假定系統(tǒng)軌跡從F1點向右側(cè)出發(fā)，在經(jīng)過Fold分岔點F1時，系統(tǒng)沿著左側(cè)平衡態(tài)分支E-的運動失穩(wěn)（F1也是穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形的分界點），系統(tǒng)軌跡發(fā)生躍遷，即朝向右側(cè)平衡點E+大幅跳躍.此后，系統(tǒng)圍繞穩(wěn)定的平衡點E+振蕩，直到慢變量β到達極大值β=1處.由于E+附近因時滯產(chǎn)生Hopf分岔而產(chǎn)生穩(wěn)定的圍繞E+的極限環(huán)振蕩，此時極限環(huán)的振蕩幅值逐漸增大.此后隨著β減小，軌跡沿著平衡點曲線折回.系統(tǒng)軌跡繼續(xù)以極限環(huán)形式振蕩，直到運動到第二個Fold分岔點F2處，右側(cè)穩(wěn)定流形消失，使得系統(tǒng)軌跡產(chǎn)生大幅躍遷，回到左側(cè)穩(wěn)定分支.即系統(tǒng)運動失去穩(wěn)定性，軌線圍繞左側(cè)平衡點E-運動.此后隨著慢變量減小，系統(tǒng)軌跡向下運動.同時，受到E-處時滯誘導(dǎo)的Hopf分岔影響，系統(tǒng)圍繞E-的極限環(huán)振蕩，幅值逐漸增大，直到到達新的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形的臨界點F3處.系統(tǒng)軌跡到達F3處后，圍繞左側(cè)平衡點分支E-的極限環(huán)振蕩再次失去穩(wěn)定性，即表現(xiàn)為過F3后發(fā)生第三次大幅跳躍，使得系統(tǒng)軌跡回到右側(cè)穩(wěn)定平衡點E+的吸引域中.此后，軌跡沿著穩(wěn)定的平衡點E+運動，慢變量β到達其變化最小值β=-1處.這個階段的系統(tǒng)軌跡受到時滯作用，依舊呈現(xiàn)極限環(huán)振蕩，但是極限環(huán)較小，振蕩幅值也隨之減小，直到軌跡沿著平衡點曲線折回.

隨后，系統(tǒng)軌跡向上折回，受時滯影響沿著平衡點曲線微幅振蕩運動到F4處.隨著右側(cè)穩(wěn)定分支消失，系統(tǒng)產(chǎn)生第四次大幅跳躍，回到左側(cè)的穩(wěn)定流形上，圍繞平衡點E-振蕩.此時軌跡受到時滯作用，依舊呈現(xiàn)極限環(huán)振蕩，體現(xiàn)在軌線圍繞左側(cè)分支仍然出現(xiàn)環(huán)狀振蕩.最后，軌線圍繞左側(cè)極限環(huán)微幅振蕩，并持續(xù)向上運動回到初始點F1，完成整個振蕩周期.值得指出的是，一個完整的振蕩周期內(nèi)，系統(tǒng)圍繞著穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形產(chǎn)生了四次大幅轉(zhuǎn)遷.由于受到時滯的影響，軌線在一段朝向E±的暫態(tài)過程后，都會因Hopf分岔產(chǎn)生圍繞兩側(cè)平衡點E±的極限環(huán)振蕩.

圖7則揭示了激勵幅值f2=-1.5的動力學(xué)轉(zhuǎn)遷特性，此時慢變流形的開口朝左側(cè).密集的極限環(huán)振蕩更多的圍繞在右側(cè)平衡點E+所在區(qū)域，當系統(tǒng)軌線沿著局部極限環(huán)振蕩經(jīng)過臨界點F2，4處，原有穩(wěn)定分支失穩(wěn)，開始受到不穩(wěn)定的流形排斥，系統(tǒng)軌跡大幅跳躍到左側(cè).與之對應(yīng)的是，系統(tǒng)在左側(cè)平衡點E-所在區(qū)域作極限環(huán)振蕩，當經(jīng)過臨界點F1，3處，受到不穩(wěn)定流形的排斥，系統(tǒng)軌跡通過大幅跳躍回到了右側(cè)，繼續(xù)呈極限環(huán)振蕩.上述變化趨勢，與圖6的趨勢是恰好相反的過程.通過激勵幅值的調(diào)節(jié)可以調(diào)節(jié)快慢流形的動態(tài)特性，從而調(diào)諧這類張弛振蕩.這類多頻激勵和時滯反饋聯(lián)合作用下的動力學(xué)行為，將在電路設(shè)計，激光通信，信號檢測等領(lǐng)域帶來許多潛在的應(yīng)用.

4 結(jié)論

研究了時滯反饋與多頻激勵聯(lián)合作用下Duffing振子的非線性動力學(xué).通過求解時滯反饋振子的特征方程，討論了特征根分布，獲得了Hopf分岔發(fā)生的條件，并在反饋增益強度和時滯平面上給出了分岔區(qū)域.通過棣莫弗公式，對系統(tǒng)進行快慢流形解耦，得到了穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形的多彎曲聯(lián)接特性.結(jié)合數(shù)值計算，給出了諸如焦點/焦點型混合振蕩，局部極限環(huán)/局部極限環(huán)的混合振蕩等復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象.結(jié)果表明，含時滯反饋的非線性系統(tǒng)，其快慢動力學(xué)行為有著更特殊的規(guī)律性，會受到更多因素作用.當反饋增益A<1/2時，調(diào)節(jié)時滯量不會改變系統(tǒng)振蕩的轉(zhuǎn)遷機理，軌線始終圍繞著穩(wěn)定平衡點吸引子往復(fù)跳躍.隨著反饋增益A>1/2和時滯量的增大，系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)吸引子之間的躍遷特性.上述動力學(xué)行為對激勵系數(shù)和時滯反饋十分敏感依賴.本文的研究結(jié)果對通過時滯反饋和多頻激勵來增強或抑制快慢動力學(xué)行為，產(chǎn)生更為新穎的快慢振蕩模式具有較強的理論意義和參考價值.