劉興天 孔祥森 孫杰 許銀生

（上海衛(wèi)星工程研究所空間機(jī)熱一體化技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

引言

剛度和阻尼對(duì)被動(dòng)隔振器來(lái)說(shuō)是最基本的兩個(gè)參數(shù)，對(duì)于由剛度和阻尼組成的單自由度隔振系統(tǒng)，剛度決定著固有頻率，阻尼則控制著共振放大倍數(shù).在工程應(yīng)用時(shí)，剛度和阻尼都要選擇的合適，剛度太大固有頻率過(guò)大導(dǎo)致隔振效果降低，而剛度過(guò)小則承載能力缺失；阻尼太大會(huì)造成高頻振動(dòng)抑制效果變差，而阻尼太小則會(huì)引起較大的共振放大倍數(shù).

理想的被動(dòng)隔振器應(yīng)在共振區(qū)提供大阻尼，高頻區(qū)提供小阻尼；在靜承載時(shí)剛度大，在振動(dòng)時(shí)又能保持在小剛度.近十年來(lái)，很多學(xué)者在著手解決被動(dòng)隔振中的矛盾，這其中，“準(zhǔn)零剛度”隔振系統(tǒng)尤為熱門(mén).該隔振系統(tǒng)采取正負(fù)剛度并聯(lián)的方式，使系統(tǒng)在平衡位置最低可以獲得零剛度的特性，之所以稱(chēng)之為“準(zhǔn)零剛度”，是因?yàn)槠淞銊偠葏^(qū)間在理論上只存在一點(diǎn)，偏離平衡位置后剛度便會(huì)大于零.Liu［1］對(duì)不同的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)及此類(lèi)隔振系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的綜述，陸澤琦［2］則對(duì)非線性被動(dòng)隔振的最新進(jìn)展進(jìn)行了綜述 .Carrella［3，4］和 Kovacic［5-7］對(duì)三根彈簧組成的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究，其中也包括雙層隔振系統(tǒng).Platus［8］使用壓桿的失穩(wěn)來(lái)提供負(fù)剛度，對(duì)一類(lèi)準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行了研究.劉興天［9］使用歐拉屈曲梁構(gòu)造負(fù)剛度調(diào)節(jié)器，探討了其動(dòng)力學(xué)特性；黃修長(zhǎng)［10］則針對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的剛度不完美項(xiàng)進(jìn)行分析，討論了缺陷對(duì)隔振效果的影響.Arrieta等［11］、Shaw 等［12］以及國(guó)內(nèi)的陸澤琦等［13］通過(guò)使用雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合板構(gòu)造負(fù)剛度機(jī)構(gòu)也討論了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，并進(jìn)行了試驗(yàn)研究.彭志科等［14］則對(duì)一類(lèi)含有非線性剛度和非線性阻尼的的隔振系統(tǒng)進(jìn)行了傳遞率分析，在對(duì)非線性頻響函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，提出了基于Volterra級(jí)數(shù)的新方法.Sun等人［15］提出了剪刀型的桁架結(jié)構(gòu)來(lái)達(dá)到準(zhǔn)零剛度.Zhou 和 Liu［16］、Wu 等［17］、Xu 等［18］以及Robertson等［19］通過(guò)采用永磁體或電磁體來(lái)獲取負(fù)剛度使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度在平衡點(diǎn)處降至零.Wang等［20］、Zhou等［21］以及 Wang等［22］針對(duì)凸輪-滾珠-彈簧機(jī)構(gòu)構(gòu)造負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，并研究了雙層隔振及六自由度隔振系統(tǒng)在隔振性能上帶來(lái)的優(yōu)勢(shì).

然而，大多數(shù)文獻(xiàn)的焦點(diǎn)都集中在如何構(gòu)建負(fù)剛度機(jī)構(gòu)以獲取超低頻隔振性能，而忽略了系統(tǒng)參數(shù)的影響.如上文提到的，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的零剛度點(diǎn)理論上只存在于一點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)中存在的摩擦等因素，要使得隔振對(duì)象平衡在零剛度點(diǎn)異常困難，而且隔振對(duì)象的重量往往無(wú)法調(diào)節(jié).在進(jìn)行工程應(yīng)用時(shí)，必須考慮此類(lèi)問(wèn)題.Shaw［23］通過(guò)采用不對(duì)稱(chēng)的剛度結(jié)構(gòu)來(lái)緩解重量帶來(lái)的不利影響，而Abolfathi［24］則評(píng)價(jià)了系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)力激勵(lì)下準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的影響，同樣，Wang［25］也討論了參數(shù)不完美對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響.這些參數(shù)變化對(duì)于精密隔振尤為重要.

本文的落腳點(diǎn)定在隔振對(duì)象重量對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的影響上，考慮隔振對(duì)象的重量相對(duì)于理想重量變化±10%對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響.通過(guò)采用力傳遞率和位移傳遞率的指標(biāo)，來(lái)評(píng)估隔振性能的變化，發(fā)現(xiàn)了完全不同于線性系統(tǒng)的現(xiàn)象.為此類(lèi)隔振系統(tǒng)的工程應(yīng)用提供了有益的指導(dǎo).

1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

在工程應(yīng)用中，隔振器的許用負(fù)載是一個(gè)非常重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，隔振器承載的重量必須在許用負(fù)載范圍內(nèi).否則可能會(huì)導(dǎo)致隔振器受損或隔振性能惡化.定義隔振器性能最優(yōu)時(shí)的載荷為額定載荷；當(dāng)實(shí)際載荷大于或小于額定載荷時(shí)，隔振系統(tǒng)為過(guò)載和輕載.以超載情況為例，線性隔振器模型如圖1所示，剛度為常數(shù)，隔振器因超載靜變形變大.

圖1 線性隔振系統(tǒng)的過(guò)載示意圖Fig.1 Model of a linear isolator and that with overload

本文采用歐拉屈曲梁的方式獲取負(fù)剛度進(jìn)而構(gòu)建準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，隔振系統(tǒng)模型如圖2所示.當(dāng)歐拉屈曲梁的兩個(gè)端點(diǎn)在一條水平線時(shí)，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，此時(shí)如果減小或增加隔振對(duì)象重量，則平衡點(diǎn)會(huì)上移或者下移.通常，無(wú)論是輕載或過(guò)載，我們?nèi)韵Ｍ粽駥?duì)象平衡在零剛度點(diǎn).因此，本文引入了一個(gè)垂向彈簧調(diào)節(jié)裝置，輕載時(shí)，彈簧支撐塊向下移動(dòng)，過(guò)載時(shí)彈簧支撐塊向上移動(dòng)，以此來(lái)保證隔振對(duì)象平衡在零剛度點(diǎn).

圖2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的過(guò)載示意圖Fig.2 Model of a quasi-zero stiffness isolator and that with overload

考慮輕載和過(guò)載情況，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程由公式（1）和公式（2）表示，分別對(duì)應(yīng)于力激勵(lì)和基礎(chǔ)激勵(lì)工況.

其中k3為立方剛度系數(shù)，其表達(dá)形式為：

使用諧波平衡法求解方程（4），其穩(wěn)態(tài)主響應(yīng)的解可設(shè)為：

將公式（5）代入到公式（4）中，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)，可得：

不同激勵(lì)條件下的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的響應(yīng)曲線由公式（7）決定.分力激勵(lì)和基礎(chǔ)激勵(lì)的條件可以分別求解其響應(yīng)，分別為：

力激勵(lì)下的響應(yīng)由公式（8）表示，當(dāng)兩條曲線相等時(shí)，這時(shí)候?qū)?yīng)著響應(yīng)的最大值：

取得最大響應(yīng)值時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率為

同樣可以求得基礎(chǔ)激勵(lì)下系統(tǒng)的最大響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的頻率

為比較方便，定義等效線性系統(tǒng)為去除負(fù)剛度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)之后的隔振系統(tǒng)，對(duì)等效線性隔振系統(tǒng)的要求是在相同載重下，其靜變形和準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)保持一致.對(duì)應(yīng)的響應(yīng)為：

2 重量變化對(duì)傳遞率的影響

對(duì)隔振器性能進(jìn)行評(píng)價(jià)的最重要指標(biāo)之一就是傳遞率，線性系統(tǒng)傳遞率再次毋庸贅述，對(duì)于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，各傳遞率定義為：

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率可以寫(xiě)成：

其中A為準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值.

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的相對(duì)位移傳遞率為：

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的絕對(duì)位移傳遞率為：

隔振系統(tǒng)重量對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的影響見(jiàn)圖3到圖5所示.為對(duì)比方便，圖中分別畫(huà)出了對(duì)應(yīng)等效線性系統(tǒng)的傳遞率曲線.考慮工程實(shí)際應(yīng)用，討論了過(guò)載和輕載的情況.力激勵(lì)幅值定為Fe=5×10-4，位移激勵(lì)幅值定為U0=2×10-3，系統(tǒng)阻尼比定為ζ=0.01.考慮到隔振器的選用都有一定的承載范圍，因此本文僅考慮±10%以?xún)?nèi)的重量偏離.對(duì)于線性系統(tǒng)，重量增加后，其固有頻率降低但是共振放大峰加大，對(duì)于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，從圖3中可以看出，其趨勢(shì)和線性系統(tǒng)類(lèi)似，峰值點(diǎn)頻率降低，最大響應(yīng)增大.通過(guò)圖中也可以觀察到，實(shí)際上±10%的重量變化對(duì)力傳遞率的影響是有限的.

圖3 重量變化對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率影響（‘o’準(zhǔn)零剛度共振峰，‘*’線性剛度共振峰）Fig.3 Effects of load imperfection on the force transmissibility of the QZS and the equivalent linear isolator

對(duì)于位移傳遞率，如圖4和圖5所示，情況和力傳遞率相比發(fā)生很大變化，線性系統(tǒng)的表現(xiàn)不變，但是對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，過(guò)載會(huì)導(dǎo)致共振峰增大而且共振頻率也增大，這不利于對(duì)基礎(chǔ)位移振動(dòng)的隔離.因此，在采用準(zhǔn)零剛度隔振器進(jìn)行振動(dòng)隔離時(shí)，為獲得更好的隔振性能，可以規(guī)定額定載荷的區(qū)間在輕載和額定負(fù)載之間，盡量避免過(guò)載，可以實(shí)現(xiàn)更好的隔振性能.此外，輕載也可以讓非線性系統(tǒng)中的跳變現(xiàn)象消失，這對(duì)隔振也是有益的.

圖4 重量變化對(duì)隔振系統(tǒng)相對(duì)位移傳遞率影響（‘o’準(zhǔn)零剛度共振峰，‘*’線性剛度共振峰）Fig.4 Effects of load imperfection on the relative displacement transmissibility of the QZS and the equivalent linear isolator

圖5 重量變化對(duì)隔振系統(tǒng)絕對(duì)位移傳遞率影響（‘o’準(zhǔn)零剛度共振峰，‘*’線性剛度共振峰）Fig.5 Effects of load imperfection on the absolute displacement transmissibility of the QZS and the equivalent linear isolator

3 結(jié)論

本文主要對(duì)隔振對(duì)象重量的變化對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器隔振性能的影響進(jìn)行了研究.假設(shè)系統(tǒng)有輕微的過(guò)載和超載，推導(dǎo)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行了求解，定義了力傳遞率以及位移傳遞率來(lái)評(píng)價(jià)隔振系統(tǒng)的隔振性能.研究結(jié)果表明：

1）對(duì)于力傳遞率，隔振對(duì)象重量變化對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的影響和線性系統(tǒng)類(lèi)似，隔振對(duì)象重量增大導(dǎo)致共振峰變大但固有頻率降低；

2）對(duì)于位移傳遞率，隔振對(duì)象重量增大反而會(huì)導(dǎo)致準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的共振峰和固有頻率均增大，這和線性系統(tǒng)顯著不同；

3）準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)用于隔離基礎(chǔ)振動(dòng)，輕載還可以讓跳變線性消失，這也對(duì)隔振有利.