【摘 要】核心概念是學(xué)生認(rèn)識事物本質(zhì)的源頭，是邏輯推理的依據(jù)，是理解數(shù)學(xué)知識、解決問題的支柱。教學(xué)中給核心概念以核心地位，為探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)、撬動學(xué)生思維提供了更多的可能。本文以核心概念“計數(shù)單位”為例，談它在運(yùn)算學(xué)習(xí)中所起的“牽一發(fā)而動全身”的作用，以此說明核心概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心地位。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 核心概念 核心地位

孫佳威

任職于北京市朝陽區(qū)星河實驗小學(xué)，北京市數(shù)學(xué)特級教師、高級教師。獲中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會先進(jìn)工作者、課程教材研究所優(yōu)秀教研員等稱號。從教30余年，一直致力于學(xué)習(xí)和推廣馬芯蘭數(shù)學(xué)教育思想，形成了“凸顯核心概念、實現(xiàn)數(shù)學(xué)理解”的課堂教學(xué)特色。被聘為北京教育科學(xué)研究院兒童數(shù)學(xué)研究所兼職研究員，教育部“國培計劃”—示范性教師工作坊高端研修項目小學(xué)數(shù)學(xué)工作坊主持人，教育部小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教研基地核心組成員，大連大學(xué)初等師范學(xué)院客座教授等。主持研發(fā)“小學(xué)數(shù)學(xué)能力目標(biāo)體系”等15項課程，著有《開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：對馬芯蘭數(shù)學(xué)教育思想的再認(rèn)識》，擔(dān)任“兒童數(shù)學(xué)教育叢書”《在涂畫中學(xué)數(shù)學(xué)》副主編，教育部《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)裝備配置標(biāo)準(zhǔn)（JY/T 0617—2019）》編寫組核心成員。發(fā)表文章30余篇，多篇論文獲中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會、北京市教育學(xué)會數(shù)學(xué)論文評比一等獎。

數(shù)學(xué)概念反映了現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)知識的基本細(xì)胞。沒有數(shù)學(xué)概念就無法構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識體系。在諸多數(shù)學(xué)概念中，有一類屬于最基本的概念（或原始概念），這些概念在反映事物的內(nèi)在聯(lián)系方面，較其他概念而言，更接近本質(zhì)，更具有概括性。因此，我們稱之為數(shù)學(xué)中的“核心概念”。

我國著名的數(shù)學(xué)教育家馬芯蘭老師就核心概念（核心知識點(diǎn)）的“核心”做過進(jìn)一步解讀，她認(rèn)為，既為“核心”就說明它不是只與某個下位知識單線聯(lián)系，而是與眾多的相關(guān)知識都有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識自身具有結(jié)構(gòu)性，這種結(jié)構(gòu)性體現(xiàn)在它是立體的、耗散式的，而核心概念就處于這個耗散結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)上，它是學(xué)習(xí)的源頭活水。馬芯蘭老師對核心概念的精辟解讀，直戳數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)。這也要求我們在教學(xué)時，分析數(shù)學(xué)概念間存在的邏輯聯(lián)系和遷移條件，加強(qiáng)最基本概念（即核心概念）的教學(xué)。只有最基本的概念掌握好了，學(xué)生才具備自主進(jìn)行下一步學(xué)習(xí)的關(guān)鍵性條件，也才會處理好與其他相關(guān)知識的關(guān)系。

“給核心概念以核心地位”，以核心概念為基點(diǎn)，讓學(xué)生聯(lián)想，使他們自主地（或者在點(diǎn)撥下）發(fā)現(xiàn)更多的聯(lián)系，這樣，原有的平衡就會不斷被打破，廣泛的遷移學(xué)習(xí)才能不斷產(chǎn)生。在數(shù)學(xué)知識的探索中引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而使具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)擺脫單一的、零散的、碎片化的狀態(tài)，使學(xué)生掌握整體的、網(wǎng)狀的、相互關(guān)聯(lián)的知識體系和思維方法，從而實現(xiàn)思維的深刻性、內(nèi)容的拓展性和方法的可遷移性，這既需要教師對知識結(jié)構(gòu)有清醒且比較深刻的理解，也需要教師對核心概念有明確的認(rèn)識。

下面，我們就以核心概念“計數(shù)單位”為例，談一談它在運(yùn)算學(xué)習(xí)中的核心地位，以此說明核心概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心地位。

一、核心概念“計數(shù)單位”在加減法運(yùn)算中的體現(xiàn)

1. 整數(shù)加減法運(yùn)算

例如，9+3，如果從數(shù)數(shù)的角度計算結(jié)果，其實就是數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)。從9開始，以“1”為單位，連續(xù)累加3次，就得到12這個結(jié)果，這個運(yùn)算的過程就是計數(shù)單位個數(shù)累加的過程。同樣，運(yùn)算“9+3”，從9開始，以“1”為單位，先累加1次到10，也就是先湊成10，再累加2次得到12?！皾M十進(jìn)一”，由此，產(chǎn)生新的計數(shù)單位“十”。這樣看，可以1個1個地數(shù)，也可以10個10個地數(shù)，還可以100個100個地數(shù)……在計數(shù)單位個數(shù)不斷累加的過程中，就會產(chǎn)生“一”“十”“百”，甚至更大的新的計數(shù)單位。計數(shù)單位個數(shù)不斷累加，方便和滿足了數(shù)量級擴(kuò)展后大數(shù)加減法的計算。

減法與加法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，所以減法的實質(zhì)是計數(shù)單位個數(shù)遞減的運(yùn)作過程。例如，36-8（如圖1所示），個位的6減8不夠減，就要從3個十中借走1個十，拆開變成10個一，以“一”為單位，從中遞減8次，剩余2個一，再把這2個一和原來的6個一累加起來，得到8個一;3個十因為借走1個十，所以還剩下2個十;最后36-8等于28。

整數(shù)加減法計算以核心概念“計數(shù)單位”為核心，通過計數(shù)單位個數(shù)的累加和遞減的運(yùn)作過程，幫助學(xué)生理解數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，進(jìn)而理解運(yùn)算的意義。

2.小數(shù)加減法運(yùn)算

小數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)是從整數(shù)的十進(jìn)制系統(tǒng)延伸而來，小數(shù)運(yùn)算的核心與整數(shù)相同，也是計數(shù)單位個數(shù)累加和遞減的運(yùn)作過程（如圖2、圖3所示）。

1.23+3.45=4.68

2.47-1.25=1.22

3. 分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算

分?jǐn)?shù)加減法同整數(shù)、小數(shù)加減法的意義是一樣的，這也就決定了分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算實質(zhì)同樣是計數(shù)單位個數(shù)的累加和遞減。例如，異分母分?jǐn)?shù)加減法（如圖4所示），由于它們的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）取決于它們各自的分母，所以，在進(jìn)行加減法運(yùn)算時，首先需要找到一個對二者來說都能獲取計數(shù)值的新的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）。通過通分，我們找到這個新的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位），累加或遞減，就得到了兩個異分母分?jǐn)?shù)的和或差了。

這樣，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算，就以核心概念“計數(shù)單位”為核心緊緊地勾連在一起了。

二、核心概念“計數(shù)單位”在乘除法運(yùn)算中的體現(xiàn)

1. 整數(shù)乘除法

例如，12×3（如圖5所示），圖中表示的是3個12是多少。其中“12”是標(biāo)準(zhǔn)，由1個十和2個一組成，“3”是有3個這樣的標(biāo)準(zhǔn)。以“十”為計數(shù)單位累加3次，以“一”為計數(shù)單位2個2個地累加3次，最后把各自的得數(shù)再累加，得到結(jié)果36。除法也一樣，42÷2（如圖6所示），把42平均分成2份，求一份是多少。先以“十”為單位遞減，把4個十平均分成2份，每份得到2個十;再以“一”為單位遞減，把2個一平均分成2份，每份得到1個一;最后把2個十和1個一累加，得到結(jié)果21。

整數(shù)乘除法，說到底還是以核心概念“計數(shù)單位”為核心，是計數(shù)單位的累加和遞減的運(yùn)作過程。

2. 小數(shù)乘除法

小數(shù)乘法運(yùn)算包括小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)。例如，0.2×3（如圖7所示），表示的是3個0.2是多少，其中“0.2”是標(biāo)準(zhǔn)（圖7中2個小條），標(biāo)準(zhǔn)是由2個0.1組成的，“3”是有3個這樣的標(biāo)準(zhǔn)。以“0.1”為計數(shù)單位，2個2個地累加3次，得到結(jié)果0.6。再如，0.2×0.3（如圖8所示），顯然用0.1作計數(shù)單位去計算已經(jīng)行不通，這時就需要尋找一個新的計數(shù)單位，而這個計數(shù)單位是相對隱性的。我們把“1”平均分成10份，取其中2份，是0.2。0.2×0.3表示的是0.2的是多少，即把0.2再平均分成10份，取其中的3份。這時，新的計數(shù)單位0.01就產(chǎn)生了。以“0.01”為計數(shù)單位累加6次，得到結(jié)果0.06。用算式表示為 0.2×0.3=（0.1×0.1）×（2×3）=0.06。 由此可見，小數(shù)乘法的運(yùn)算核心說到底還是小數(shù)計數(shù)單位個數(shù)累加的運(yùn)作過程。

我們再看小數(shù)除法運(yùn)算，例如，10.5÷3（如圖9所示），先把10個一平均分成3份，每份分到3個一（9÷3=3），剩下1個一和5個0.1沒法直接平均分成3份，所以把“一”轉(zhuǎn)化成“0.1”之后再分，“一”里面有10個0.1，10個0.1加上5個0.1等于15個0.1，用15個0.1除以3，等于5個0.1，最后把分別得到的3和0.5累加，得到運(yùn)算結(jié)果3.5。

小數(shù)除法，其本質(zhì)與小數(shù)乘法一樣，只不過是計數(shù)單位個數(shù)遞減的運(yùn)作過程。當(dāng)高一級的計數(shù)單位不夠平均分時，需轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)分，最終獲得運(yùn)算結(jié)果。

3. 分?jǐn)?shù)乘除法

分?jǐn)?shù)乘法包括分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，是計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）個數(shù)累加的運(yùn)作過程。其運(yùn)算意義與小數(shù)乘法運(yùn)算意義相同，這也說明了兩者運(yùn)算實質(zhì)是相同的。例如，×（如圖10所示），表示的是

的是多少，需要把平均分成5份，取其中的1份，這顯然需要新的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）。我們把“1”平均分成（2×5）份，找到了新的計算單位（分?jǐn)?shù)單位），再進(jìn)行累加就可以得到最終的結(jié)果。?

分?jǐn)?shù)除法包括分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。相對于其他的運(yùn)算而言，分?jǐn)?shù)除法比較難理解。例如，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，÷3（如圖11所示），4個平均分成3份，分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)不能正好平均分，這時候就需要產(chǎn)生新的計數(shù)單位，把大的計數(shù)單位細(xì)分成小的計數(shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)4變成了12，正好能夠平均分。再如，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，2÷（如圖12所示），表示的是2里面有幾個，2是以“一”為計數(shù)單位的，的計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）是，計數(shù)單位不同，這時候就要把大的計數(shù)單位細(xì)分成小的計數(shù)單位，2就細(xì)分成了，這時再做÷，計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）的個數(shù)就可以相除了，結(jié)果是3。由此，分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算核心也是計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）個數(shù)遞減的運(yùn)作過程。當(dāng)高一級的計數(shù)單位不夠平均分時，需要轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)平均分，最終獲得運(yùn)算結(jié)果。

從上面的分析中，我們可以清晰地看出核心概念“計數(shù)單位”在運(yùn)算學(xué)習(xí)中所起的“牽一發(fā)而動全身”的作用。它將零散的知識不斷地吸納進(jìn)來，并連綴在一起，形成一個相互關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)[2]。從這里，我們也可以看出這個知識結(jié)構(gòu)是動態(tài)生成的，因為它在不斷地勾連新舊知識。這種不斷勾連的過程，會使學(xué)生在研究其他數(shù)學(xué)知識時，從核心概念出發(fā)去研究，為他們理解數(shù)學(xué)邏輯之美奠定了堅實的基礎(chǔ)。

馬芯蘭老師經(jīng)常教導(dǎo)我們：學(xué)生一旦感悟了“核心概念”在學(xué)習(xí)中的核心地位，就具有了自主學(xué)習(xí)遷移的能力，因為他知道了知識的“根”在哪里。發(fā)現(xiàn)了知識的“根”，已學(xué)習(xí)的舊知識就具有了“生命”，自主遷移學(xué)習(xí)到的新知識也就必然成為思維創(chuàng)新的產(chǎn)物！

參考文獻(xiàn)

[1] 董文彬.基于度量角度整體把握數(shù)的運(yùn)算教學(xué)[J].新課程研究，2019（18）：14-17.

[2] 馬芯蘭，孫佳威.開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：對馬芯蘭數(shù)學(xué)教育思想的再認(rèn)識[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2020：10-17.

責(zé)任編輯：趙繼瑩

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