李清池 胡所亭 石龍 蘇永華

（中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司，北京 100081）

混凝土簡(jiǎn)支箱梁憑借其良好的空間整體受力性能，在工程上得到了廣泛應(yīng)用，然而在偏載荷載作用下箱梁不僅會(huì)產(chǎn)生彎曲變形，同時(shí)將發(fā)生剛性扭轉(zhuǎn)和畸變［1]。工程實(shí)踐與理論分析表明，畸變與扭轉(zhuǎn)對(duì)薄壁箱梁的不利影響不可忽視［2]。近些年國(guó)內(nèi)外對(duì)箱梁橋扭轉(zhuǎn)畸變進(jìn)行了大量的理論和試驗(yàn)研究［3]，但多以公路箱梁為主，鐵路箱梁較少，且從變形性能角度研究得較少?？古ぱ芯扛鄡A向于扭轉(zhuǎn)參數(shù)的計(jì)算設(shè)計(jì)及梁體維護(hù)方面［4-7]，將理論解析、有限元模型求解、工程試驗(yàn)三者結(jié)合起來(lái)的研究較少。為了滿(mǎn)足大跨度的要求、配合高強(qiáng)輕質(zhì)材料選用和適應(yīng)預(yù)應(yīng)力技術(shù)的快速發(fā)展，箱梁的截面變得更薄更寬［8]，扭轉(zhuǎn)畸變效應(yīng)會(huì)擴(kuò)大。因此，需要對(duì)鐵路箱梁變形性能予以研究。

本文針對(duì)鐵路設(shè)計(jì)速度250 km/h 的簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行研究，輔以速度為350 km/h 箱梁、印度雅萬(wàn)高速鐵路箱梁數(shù)據(jù)，利用桿系單元、實(shí)體單元建模計(jì)算偏載時(shí)最大扭轉(zhuǎn)角差異，與偏載試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。利用材料力學(xué)公式計(jì)算法［9]、烏曼斯基第二理論法［10]分析這兩種模型的變形差異。

1 概述

速度250 km/h 的鐵路簡(jiǎn)支箱梁采用C50 混凝土，長(zhǎng)32.6 m，計(jì)算跨度為31.5 m，梁高2.6 m，上頂板寬12.2 m，下底板寬5.3 m。簡(jiǎn)支箱梁橫截面見(jiàn)圖1。

圖1 速度為250 km/h的鐵路簡(jiǎn)支梁橫截面（單位：mm）

考慮2種不同荷載工況：?jiǎn)尉€(xiàn)ZK 活載加載和十點(diǎn)偏載加載。根據(jù)TB/T 3466—2016《鐵路列車(chē)荷載圖式》［11]，ZK活載的加載方式見(jiàn)圖2，動(dòng)力系數(shù)取1.0861。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，單線(xiàn)ZK 活載橫橋向偏離梁體中心線(xiàn)2.3 m。

圖2 單線(xiàn)ZK活載縱向布置（單位：m）

簡(jiǎn)支箱梁的質(zhì)量檢驗(yàn)可通過(guò)靜載試驗(yàn)完成［12]，設(shè)計(jì)十點(diǎn)偏載工況等效模擬單線(xiàn)ZK 活載工況。利用桿系單元模擬梁體受單線(xiàn)ZK 活載工況，設(shè)計(jì)十點(diǎn)偏載荷載值使其扭轉(zhuǎn)變形相同。偏載側(cè)單頂荷載為805.9 kN，對(duì)應(yīng)側(cè)單頂荷載481.7 kN。參考TB/T 2092—2018《簡(jiǎn)支梁試驗(yàn)方法預(yù)應(yīng)力混凝土梁靜載彎曲試驗(yàn)》［13]，偏載試驗(yàn)采用分級(jí)加載的方式，加載圖式見(jiàn)圖3。

圖3 偏載荷載布置（單位：m）

2 桿系單元與實(shí)體單元建模求解

2.1 桿系單元建模求解

桿系單元采用梁?jiǎn)卧?。在施加偏載時(shí)，在梁?jiǎn)卧€(xiàn)上添加橫向的彈性約束，以彎矩的形式施加荷載。梁端的約束形式采用單支座鉸接形式。

桿系單元計(jì)算的扭轉(zhuǎn)角分布見(jiàn)圖4?？梢?jiàn)，最大扭轉(zhuǎn)角均為0.1010‰，單線(xiàn)ZK 活載和十點(diǎn)偏載在桿系單元模擬中梁的最大扭轉(zhuǎn)角一致。

圖4 桿系單元計(jì)算的扭轉(zhuǎn)角分布

2.2 實(shí)體單元建模求解

實(shí)體單元建模中采用自動(dòng)六面體網(wǎng)格劃分，劃分單元尺寸為0.1 m。兩端約束情況與約束扭轉(zhuǎn)解析法一致：梁端轉(zhuǎn)角θ= 0，約束扭轉(zhuǎn)雙力矩βl= 0，在4 個(gè)支座處布置鉸接約束，截面頂板施加橫向約束。實(shí)體單元建模示意見(jiàn)圖5。

圖5 實(shí)體單元建模示意

計(jì)算得到的實(shí)體單元扭轉(zhuǎn)角見(jiàn)圖6?？梢?jiàn)，單線(xiàn)ZK 活載、十點(diǎn)偏載下最大扭轉(zhuǎn)角分別為0.3449‰，0.2606‰，差距較大。

圖6 實(shí)體單元計(jì)算扭轉(zhuǎn)角分布

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了證實(shí)桿系單元和實(shí)體單元何種更趨于實(shí)際，設(shè)計(jì)試驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)速度為350 km/h 的簡(jiǎn)支箱梁和印度雅萬(wàn)高速鐵路簡(jiǎn)支箱梁做同樣求解與試驗(yàn)，以增加數(shù)據(jù)可靠性。偏載試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法同第1節(jié)中介紹，每片梁設(shè)計(jì)4 次偏載試驗(yàn)。實(shí)體單元的約束情況與實(shí)際一致，為4 個(gè)支座約束。試驗(yàn)方法同TB/T 2092—2018。在梁的跨中截面、兩端支座中心線(xiàn)截面處的左右各布置1 個(gè)百分表，共3 個(gè)截面，6 個(gè)百分表測(cè)點(diǎn)，測(cè)試梁體在試驗(yàn)荷載作用下的變形情況?？缰凶畲笈まD(zhuǎn)角的計(jì)算方法是將兩側(cè)跨中豎向位移分別減去對(duì)應(yīng)側(cè)的支座位移平均值，以消除支座沉降因素，得到跨中兩側(cè)的豎向位移z1，z2，跨中測(cè)點(diǎn)的橫向距離為Δy，則扭轉(zhuǎn)角φ為

十點(diǎn)偏載工況下不同計(jì)算方法和試驗(yàn)扭轉(zhuǎn)角計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 十點(diǎn)偏載工況下不同計(jì)算方法的扭轉(zhuǎn)角 ‰

由表1 可見(jiàn)，在偏載工況下實(shí)體單元能更好地反映實(shí)際情況，而桿系單元?jiǎng)t差距較大，為實(shí)際情況的30% ～50%。因此，利用桿系單元計(jì)算設(shè)計(jì)偏載試驗(yàn)是不合理的，應(yīng)該采用實(shí)體單元建模設(shè)計(jì)偏載試驗(yàn)來(lái)模擬單線(xiàn)ZK活載加載情況。

4 解析分析討論

針對(duì)鐵路箱梁桿系單元和實(shí)體單元模型在偏載荷載下的變形差異，利用材料力學(xué)公式計(jì)算法、烏曼斯基第二理論法進(jìn)行解析解的分析與討論。

4.1 材料力學(xué)公式法求解

假設(shè)該梁在扭轉(zhuǎn)中滿(mǎn)足平截面假設(shè)，根據(jù)材料力學(xué)公式

式中：dφ/dx為扭轉(zhuǎn)角沿梁長(zhǎng)方向的變化情況；T為截面所受扭矩；G為材料的剪切模量；Iρ為極慣性矩。

式中：ρ為截面上點(diǎn)到形心軸的距離；A為截面面積。

積分得到該梁的跨中截面Iρ中= 16.855 m4，梁端截面Iρ端= 24.403 m4。材料力學(xué)公式計(jì)算得到的扭轉(zhuǎn)角分布見(jiàn)圖7?？梢?jiàn)，活載下扭轉(zhuǎn)角最大為0.0977‰，偏載下扭轉(zhuǎn)角最大為0.0979‰，與桿系單元計(jì)算結(jié)果僅差3%。

圖7 材料力學(xué)公式計(jì)算得到的扭轉(zhuǎn)角分布

4.2 烏曼斯基第二理論法求解

扭轉(zhuǎn)理論的解析方法主要由符拉索夫和烏曼斯基建立，烏曼斯基第二理論是扭轉(zhuǎn)解析法的基礎(chǔ)。設(shè)直線(xiàn)坐標(biāo)系中z為梁軸方向，s為扇形坐標(biāo)用于確定截面上各點(diǎn)的位置，則u(z，s)為梁上各點(diǎn)的縱向位移，θ′(z)表示扭率，扭率僅與截面的位置有關(guān)。有約束的扭轉(zhuǎn)翹曲位移計(jì)算式為

式中：u0(z，0)為截面z扇形左邊為0 處的翹曲位移；β′(z)為待求函數(shù)；ωˉ(s)為廣義扇形坐標(biāo)，反映了截面的幾何特征，計(jì)算式為

式中：h為截面頂板、底板、腹板中心線(xiàn)到廣義扇形坐標(biāo)中心的距離；Ω 為箱梁薄壁中線(xiàn)所圍面積的2 倍；t為頂板、底板、腹板對(duì)應(yīng)的板厚。

將箱梁截面進(jìn)行簡(jiǎn)化得出主扇形坐標(biāo)圖，見(jiàn)圖8。

圖8 截面主扇形坐標(biāo)（單位：m2）

對(duì)式（4）進(jìn)行求解，主要依據(jù)兩個(gè)條件：①沿箱梁周邊一周始點(diǎn)與終點(diǎn)的u相等；②內(nèi)外力矩平衡。可得

式中：E為彈性模量；θ(z)為截面扭轉(zhuǎn)角；mt= dMk/dz為彎矩沿梁長(zhǎng)變化程度；Id=為截面自由扭轉(zhuǎn)慣性矩；Iωˉ=為扇形慣性矩；μ= 1-Id/Iρ為截面的約束系數(shù)，反映了截面受約束的程度。

可求得跨中截面約束系數(shù)μ中= 0.3986，梁端截面μ端= 0.4599。

對(duì)式（6）和式（7）進(jìn)行求解，θ(z)的通解為

式中：C1，C2，C3，C4為θ(z)通解中的待定系數(shù)；k2=μGId/EIωˉ。

帶入鉸端約束條件θ= 0，βl= 0（βl= -EIωˉβ″(z)為約束扭轉(zhuǎn)雙力矩）?？傻眉s束扭轉(zhuǎn)下扭轉(zhuǎn)角分布，見(jiàn)圖9?？梢?jiàn)，最大扭轉(zhuǎn)角分別為0.2771‰，0.3570‰，與實(shí)體單元計(jì)算值差5%。

圖9 約束扭轉(zhuǎn)下扭轉(zhuǎn)角分布

烏曼斯基第二理論的翹曲正應(yīng)力σω計(jì)算式［14]為

截面上約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力的分布和扇形坐標(biāo)成正比。帶入數(shù)據(jù)，可得速度為250 km/h 鐵路簡(jiǎn)支箱梁跨中截面的扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布，見(jiàn)圖10。

圖10 速度為250 km/h 簡(jiǎn)支箱梁跨中截面扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力分布（單位：MPa）

由圖10 可見(jiàn)，單線(xiàn)ZK 活載荷載下底板底緣的最大扭轉(zhuǎn)正應(yīng)為σω= 0.3866 MPa。在施加單線(xiàn)ZK活載時(shí)，求解其跨中下緣彎曲正應(yīng)力為σ= 2.5492 MPa，二者比值為0.1517，符合常用對(duì)稱(chēng)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁截面中由偏載產(chǎn)生的約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力占活載彎曲正應(yīng)力的15%左右［10]。

4.3 對(duì)比分析

將3類(lèi)梁型的解析解與三維有限元的最大扭轉(zhuǎn)角進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表2。

表2 3類(lèi)梁型解析解與三維有限元的最大扭轉(zhuǎn)角對(duì)比

由表2可見(jiàn)：

1）對(duì)比材料力學(xué)公式法與桿系單元的計(jì)算結(jié)果可知，在誤差允許范圍內(nèi)軟件在處理?xiàng)U系單元的偏載工況時(shí)可采用式（2）進(jìn)行求解，且視形心位置為扭轉(zhuǎn)中心位置。

2）由約束扭轉(zhuǎn)解析法與三維實(shí)體單元建模計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，利用烏曼斯基第二理論的約束扭轉(zhuǎn)解析解可以大致模擬實(shí)體單元在偏載荷載下簡(jiǎn)支梁體的扭轉(zhuǎn)變形情況。

3）同一種梁、同一種荷載工況下桿系單元和實(shí)體單元的計(jì)算結(jié)果差距明顯。

4）同一種梁在十點(diǎn)偏載和單線(xiàn)ZK 活載加載時(shí)，桿系單元二者的扭轉(zhuǎn)變形結(jié)果趨于一致，實(shí)體單元二者卻有明顯差距。

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)鐵路簡(jiǎn)支梁在兩種加載工況下分別采用桿系單元和實(shí)體單元建模求解其變形情況，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，通過(guò)理論解析法分析變形差異，得到以下結(jié)論：

1）利用實(shí)體單元建模能最接近地模擬簡(jiǎn)支箱梁實(shí)際的受扭變形，而桿系單元的求解值僅為實(shí)際的30%～50%。

2）采用桿系單元建模，兩種加載工況下梁的扭轉(zhuǎn)變形相近，但采用實(shí)體單元建模則可能相差較大，差值大小與梁型有關(guān)。設(shè)計(jì)偏載試驗(yàn)檢驗(yàn)梁的抗扭剛度時(shí)，應(yīng)采用實(shí)體單元建模分析。

3）實(shí)體單元和桿系單元在抗扭剛度上的不同，主要與實(shí)體單元的翹曲正應(yīng)力有關(guān)，驗(yàn)證了常用對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁截面中，由偏載產(chǎn)生的約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力占活載彎曲正應(yīng)力的15%左右。