唐恒鈞 張維忠

【主持人語(yǔ)】 新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)有兩個(gè)重要的理念：一是突出學(xué)生的主體地位，幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)探究完成數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”;二是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)基于這兩個(gè)理念，深化與拓展問(wèn)題式學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)利用主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)。本期《獨(dú)家策劃》欄目的4篇文章，分享的是數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的理論性研究和實(shí)踐性探索——解析內(nèi)涵與特征，探索概念教學(xué)、命題教學(xué)中的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)，嘗試在問(wèn)題鏈教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，以期為教師認(rèn)識(shí)和實(shí)施數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)提供參考。

——張維忠

摘要：?jiǎn)栴}鏈教學(xué)是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的聚焦式深化，也是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵式拓展。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)具體包括以下內(nèi)涵：?jiǎn)栴}鏈?zhǔn)怯芍鞲蓡?wèn)題組成的;問(wèn)題鏈?zhǔn)怯行虻?問(wèn)題鏈的預(yù)設(shè)是多重的（彈性的）;預(yù)設(shè)的問(wèn)題是在師生交互下呈現(xiàn)的;問(wèn)題鏈教學(xué)倡導(dǎo)利用主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生冷靜思考、充分表達(dá)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)表現(xiàn)出目標(biāo)指向的綜合性與高階性、問(wèn)題設(shè)置的真實(shí)性與適切性、問(wèn)題使用的靈活性與深刻性、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的伴隨性等基本特征。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);問(wèn)題鏈;問(wèn)題驅(qū)動(dòng);思維脈絡(luò)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教與學(xué)的心臟。如何利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)話題。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)作為利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種具體形式，已有較多研究。但是，實(shí)踐中教師對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的內(nèi)涵與特征還存在一些誤解。因此，我們對(duì)此做出進(jìn)一步的廓清。

一、從“問(wèn)題式學(xué)習(xí)”到“問(wèn)題鏈教學(xué)”

問(wèn)題鏈教學(xué)與問(wèn)題式學(xué)習(xí)有著緊密的關(guān)聯(lián)，是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的進(jìn)一步聚焦式深化，也是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的進(jìn)一步內(nèi)涵式拓展。

從文獻(xiàn)來(lái)看，目前對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)包含了一些本質(zhì)屬性。首先，問(wèn)題式學(xué)習(xí)的目的不僅僅是使學(xué)生擁有知識(shí)基礎(chǔ)，更要發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力和批判性思維等高階思維能力以及終身學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的意識(shí)與能力。其次，問(wèn)題式學(xué)習(xí)以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生置于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中，經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程。最后，問(wèn)題式學(xué)習(xí)以個(gè)人獨(dú)立與小組合作學(xué)習(xí)為途徑，使學(xué)生投入問(wèn)題的研究中，并在這個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生學(xué)習(xí)議題，開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題、建構(gòu)新知。

基于此，問(wèn)題式學(xué)習(xí)主要具備以下特征：一是在學(xué)習(xí)假設(shè)上，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)展開(kāi)主體性思考，根據(jù)問(wèn)題確立學(xué)習(xí)議題并展開(kāi)學(xué)習(xí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí);二是在學(xué)習(xí)目標(biāo)上，不僅強(qiáng)調(diào)對(duì)經(jīng)典文化知識(shí)的傳承，更強(qiáng)調(diào)發(fā)展高層次思維能力、自主學(xué)習(xí)能力以及合作交流能力;三是在學(xué)習(xí)載體上，強(qiáng)調(diào)為學(xué)生提供具有現(xiàn)實(shí)意義的、體現(xiàn)跨單元性甚至跨學(xué)科性的綜合性問(wèn)題和非良構(gòu)性問(wèn)題;四是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)性、自主性、探究性與合作性。

受到數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)以及我國(guó)以學(xué)科課程為主的課程組織形態(tài)等方面的影響，問(wèn)題式學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中也面臨一些困難，需要做出適切的改變，尤其是在以下三個(gè)方面。

首先，數(shù)學(xué)學(xué)科以邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)構(gòu)清晰等特點(diǎn)著稱(chēng)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思維方法，而問(wèn)題式學(xué)習(xí)則著眼于利用實(shí)際問(wèn)題組織教學(xué)，將學(xué)科知識(shí)隱含于問(wèn)題解決過(guò)程中。要想處理好數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性與問(wèn)題式學(xué)習(xí)中利用實(shí)際問(wèn)題組織教學(xué)而帶來(lái)的隨機(jī)性之間的矛盾，就需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)的問(wèn)題，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)借助邏輯思考建構(gòu)起知識(shí)體系。

其次，數(shù)學(xué)發(fā)展在很大程度上是由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的，但是并非總是由綜合性、非良構(gòu)性問(wèn)題引發(fā)的。具體地，一些數(shù)學(xué)知識(shí)是在對(duì)相近問(wèn)題的類(lèi)比推理或者對(duì)具體問(wèn)題的歸納推理中形成的。比如，將二維空間中的幾何問(wèn)題類(lèi)比推廣到三維空間中的幾何問(wèn)題;通過(guò)對(duì)一堆多邊形的分類(lèi)，歸納抽象出某種幾何對(duì)象的本質(zhì)屬性，進(jìn)而形成概念。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問(wèn)題不一定局限于綜合性、非良構(gòu)性問(wèn)題。

最后，有學(xué)者對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題功能進(jìn)行分析后指出，前者是知識(shí)發(fā)生性問(wèn)題，而后者是知識(shí)延伸性問(wèn)題，但是在數(shù)學(xué)學(xué)科中，這兩者間的界限并不是十分清晰的。具體而言，數(shù)學(xué)研究往往是通過(guò)解決問(wèn)題建構(gòu)新的知識(shí)，因此表現(xiàn)出知識(shí)發(fā)生性特點(diǎn)，但是問(wèn)題解決的過(guò)程又是對(duì)已有知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程，因此又表現(xiàn)出知識(shí)延伸性特點(diǎn)。比如，數(shù)學(xué)家通過(guò)解決“圓的一周有多長(zhǎng)”這一問(wèn)題建構(gòu)了圓的周長(zhǎng)公式，產(chǎn)生了新的知識(shí);同時(shí)又在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用了極限思想、化歸方法以及多邊形周長(zhǎng)概念和計(jì)算公式等已有策略（程序性知識(shí)）與知識(shí)（陳述性知識(shí)），從而表現(xiàn)出對(duì)已有知識(shí)的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)正是在上述思考的基礎(chǔ)上提出的。也正是從這個(gè)角度看，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)既是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的聚焦式深化，即進(jìn)一步聚焦問(wèn)題間的關(guān)系以及思維脈絡(luò);又是對(duì)問(wèn)題式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵式拓展，即重新認(rèn)識(shí)良構(gòu)性問(wèn)題、延伸性問(wèn)題在教學(xué)中的價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的內(nèi)涵

王后雄認(rèn)為，問(wèn)題鏈?zhǔn)墙處煾鶕?jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)情況，將教材知識(shí)轉(zhuǎn)化為具有層次性和系統(tǒng)性的一組教學(xué)問(wèn)題序列。王先進(jìn)認(rèn)為，問(wèn)題串（與“問(wèn)題鏈”相近的一個(gè)概念）是圍繞同一主題且具備明確目標(biāo)指向的問(wèn)題系列，其中的每個(gè)問(wèn)題圍繞目標(biāo)承擔(dān)各自的功能，是思維鏈條的路標(biāo)和思維方向的指引。黃光榮認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式，是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題不斷深化、推廣，逐次引申、綜合所形成的具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問(wèn)題，兼具收斂性和發(fā)散性的數(shù)學(xué)思想方法。殷堰工認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)教學(xué)中圍繞某一問(wèn)題進(jìn)行漸進(jìn)式、全方位的設(shè)問(wèn)而形成的一連串問(wèn)題，具有指向明確、思路清晰、內(nèi)在邏輯性強(qiáng)等特點(diǎn)。可見(jiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)有一些基本共識(shí)：?jiǎn)栴}鏈?zhǔn)怯啥鄠€(gè)問(wèn)題所組成的;問(wèn)題鏈中的問(wèn)題是有聯(lián)系的，而非散亂的;教學(xué)目標(biāo)、學(xué)科思維以及學(xué)生認(rèn)知是確立問(wèn)題鏈的三大基點(diǎn)。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈?zhǔn)墙處熢谡n外預(yù)設(shè)并在課上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干數(shù)學(xué)問(wèn)題序列，既為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的骨架，又為學(xué)生發(fā)展高階思維提供了可能性。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)則是利用問(wèn)題鏈中的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考、建構(gòu)知識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的基本思維方法，在具體教學(xué)中倡導(dǎo)給學(xué)生“冷靜思考的時(shí)間”和“充分表達(dá)的機(jī)會(huì)”。具體包括以下內(nèi)涵：

第一，問(wèn)題鏈?zhǔn)怯芍鞲蓡?wèn)題組成的，即問(wèn)題鏈中的問(wèn)題是反映數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及問(wèn)題解決過(guò)程的處于核心地位的關(guān)鍵問(wèn)題。比如，面對(duì)“運(yùn)動(dòng)員在10米跳臺(tái)上跳水，請(qǐng)根據(jù)起跳時(shí)間與離水面的高度之間的函數(shù)關(guān)系圖，判斷運(yùn)動(dòng)員在不同時(shí)刻高度變化的快慢”這一情境任務(wù)，可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：（1）如何刻畫(huà)高度變化的快慢情況？（2）以?xún)蓚€(gè)具體的時(shí)間段0≤t≤0.3，0≤t≤0.5為例，怎樣比較兩個(gè)時(shí)間段高度變化的快慢？這里，問(wèn)題（1）將情境任務(wù)轉(zhuǎn)化為需要探究的關(guān)鍵問(wèn)題，既為問(wèn)題解決提供方向，又為學(xué)生思考提供空間，因此可以作為問(wèn)題鏈中的主干問(wèn)題;而問(wèn)題（2）則將情境任務(wù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉浅＞唧w的問(wèn)題，直接讓學(xué)生去比較兩個(gè)時(shí)間段的高度變化率，這就把學(xué)習(xí)重心轉(zhuǎn)向求解，而非探索問(wèn)題解決的思路，因此不能作為問(wèn)題鏈中的主干問(wèn)題。當(dāng)然，在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的情況對(duì)設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，在主干問(wèn)題的基礎(chǔ)上增加輔助問(wèn)題（子問(wèn)題）。比如，上面的問(wèn)題（2）即可作為問(wèn)題（1）的輔助問(wèn)題。

教育研究與評(píng)論中學(xué)教育教學(xué)/2021年第1期獨(dú)家策劃第二，問(wèn)題鏈?zhǔn)怯行虻模磫?wèn)題與問(wèn)題之間是有關(guān)聯(lián)的、整體性的，而非散亂的、碎片化的。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)試圖為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考的基本脈絡(luò)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)模擬數(shù)學(xué)家的思考過(guò)程。因此，這里的“序”以體現(xiàn)基本數(shù)學(xué)思維為目的。

第三，問(wèn)題鏈?zhǔn)窃谡n外預(yù)設(shè)的，但并非線性的。預(yù)設(shè)性是學(xué)校教育的典型特征，因此主要用于課堂教學(xué)的問(wèn)題鏈也是在課外預(yù)設(shè)的。但為了給學(xué)生提供多維思考的空間，教師的預(yù)設(shè)往往是多重的（彈性的）。比如，高中階段用類(lèi)比思想研究等比數(shù)列時(shí)，可以提出一個(gè)問(wèn)題：“等差數(shù)列是一個(gè)特殊的數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。類(lèi)似地，你還能找到哪些特殊的數(shù)列？”面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生除了提出等比數(shù)列之外，還很可能提出等和數(shù)列、等積數(shù)列。因此，在預(yù)設(shè)問(wèn)題鏈時(shí)需要思考，如果學(xué)生提出等和數(shù)列、等積數(shù)列，該如何設(shè)置后續(xù)的問(wèn)題。所以，問(wèn)題鏈在預(yù)設(shè)時(shí)，不能是完全線性的，而應(yīng)盡可能地對(duì)有價(jià)值的思考方向及其問(wèn)題做出預(yù)設(shè)。

第四，預(yù)設(shè)的問(wèn)題是在師生交互下呈現(xiàn)的。這是指，在課堂中，問(wèn)題鏈中的問(wèn)題并不是原封不動(dòng)地由教師逐個(gè)呈現(xiàn)給學(xué)生的，其呈現(xiàn)順序、呈現(xiàn)跨度、呈現(xiàn)方式甚至呈現(xiàn)內(nèi)容等都會(huì)因?qū)嶋H情況而做出調(diào)整。

第五，問(wèn)題鏈教學(xué)倡導(dǎo)利用主干問(wèn)題及其關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生冷靜思考、充分表達(dá)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)。在課堂上如何設(shè)置數(shù)學(xué)問(wèn)題以及如何利用數(shù)學(xué)問(wèn)題推進(jìn)教學(xué)過(guò)程，是數(shù)學(xué)教學(xué)需要研究的問(wèn)題。師生問(wèn)答是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中常見(jiàn)的教學(xué)行為。但需要注意的是，并不是課堂上有了數(shù)學(xué)問(wèn)題或用了問(wèn)答的教學(xué)方式，就能稱(chēng)為問(wèn)題鏈教學(xué)。首先，問(wèn)題鏈教學(xué)強(qiáng)調(diào)通過(guò)“問(wèn)題”為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考的載體。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要沉思與體悟，缺乏冷靜的獨(dú)立思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是淺層次的。當(dāng)然，學(xué)生思考的結(jié)果往往是內(nèi)隱的，有時(shí)甚至是混沌的，而表達(dá)是學(xué)生將思考所得、所悟外顯的過(guò)程，也是進(jìn)一步梳理思維的過(guò)程。能夠引發(fā)學(xué)生思考并且需要學(xué)生表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往不是一目了然的，而是具有一定深度和啟發(fā)性的。因此，問(wèn)題鏈教學(xué)倡導(dǎo)的并不是小步子的師生問(wèn)答，而是利用“大問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)學(xué)生的冷靜思考、充分表達(dá)。其次，問(wèn)題鏈教學(xué)試圖通過(guò)“鏈”為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考的脈絡(luò)，在脈絡(luò)化的思考中體驗(yàn)并學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思維框架與思維方法。因此，問(wèn)題鏈教學(xué)倡導(dǎo)的并不是簡(jiǎn)單地設(shè)置多個(gè)問(wèn)題，而是通過(guò)多個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)出一定的思維脈絡(luò)。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的基本特征

（一）目標(biāo)指向的綜合性與高階性

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)不僅關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的深度理解、數(shù)學(xué)基本思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，由此形成用數(shù)學(xué)眼光看待世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述世界的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。也有研究將這樣具有豐富性、綜合性與高階性的目標(biāo)概括為學(xué)會(huì)“像數(shù)學(xué)家一樣思考問(wèn)題”。我們認(rèn)為，“像數(shù)學(xué)家一樣思考問(wèn)題”的教育意蘊(yùn)不在于數(shù)學(xué)知識(shí)的精深程度，而在于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解以及數(shù)學(xué)家思考問(wèn)題時(shí)的角度、方法、思維品質(zhì)及其背后的精神兩大方面。

一方面，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解反映到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，即要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不是“掐頭去尾留中段”的，而是知道數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈、明白數(shù)學(xué)的源與流。只有這樣理解知識(shí)，才能學(xué)到“活”的知識(shí)，掌握可以應(yīng)用的知識(shí)，也才能認(rèn)識(shí)到一個(gè)個(gè)知識(shí)是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)與知識(shí)之間是有內(nèi)在的發(fā)展脈絡(luò)的。所以，數(shù)學(xué)知識(shí)理解的過(guò)程是學(xué)生創(chuàng)生意義的過(guò)程，而理解的結(jié)果則是學(xué)生創(chuàng)生的意義。

另一方面，正如米山國(guó)蔵所指出的，應(yīng)將應(yīng)用化、擴(kuò)張化與一般化、組織化與系統(tǒng)化、研究與發(fā)明、統(tǒng)一建設(shè)以及嚴(yán)密化等六方面的數(shù)學(xué)精神，以及由精神產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基本思想和為實(shí)現(xiàn)思想形成的數(shù)學(xué)基本方法，銘刻于學(xué)生頭腦中，并使之活躍于學(xué)生的日常業(yè)務(wù)中，這才是“真正教育的旨趣”。

（二）問(wèn)題設(shè)置的真實(shí)性與適切性

在問(wèn)題鏈教學(xué)中，問(wèn)題是核心要素，啟動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí);而問(wèn)題與問(wèn)題之間形成的鏈?zhǔn)且环N思維鏈，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供了基本的脈絡(luò)。因此，問(wèn)題鏈中的問(wèn)題設(shè)置是否合理成為問(wèn)題鏈教學(xué)是否有效的關(guān)鍵因素。從問(wèn)題鏈教學(xué)的目標(biāo)來(lái)看，一個(gè)好的問(wèn)題至少需要具備真實(shí)性與適切性?xún)蓚€(gè)方面的特征。

問(wèn)題的真實(shí)性表現(xiàn)在情境的真實(shí)性上。當(dāng)然，情境真實(shí)性的表現(xiàn)是多方面的，既是指情境本身來(lái)自真實(shí)世界，也是指情境反映了數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的真實(shí)脈絡(luò)。數(shù)學(xué)教學(xué)尤其需要關(guān)注后者的價(jià)值。因?yàn)椋S著數(shù)學(xué)的發(fā)展，其抽象性越來(lái)越強(qiáng)，構(gòu)造性越發(fā)明顯，與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系也變得更加疏遠(yuǎn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征在于充分的思考自由。比如，虛數(shù)盡管在當(dāng)今有著廣泛的應(yīng)用，但在最初是為了解決有些方程無(wú)實(shí)數(shù)根的問(wèn)題而構(gòu)造出來(lái)的。在教學(xué)虛數(shù)時(shí)，也可以創(chuàng)設(shè)類(lèi)似的情境，讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程。這樣的數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)，盡管并非來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界，但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)說(shuō)就是真實(shí)的。

問(wèn)題的真實(shí)性還表現(xiàn)在情境的相關(guān)性上。一方面，問(wèn)題源于情境，即問(wèn)題是在情境中自然產(chǎn)生的，而非人為植入的。另一方面，問(wèn)題解決需要借助情境信息。比如：“某病人第一天服5滴藥，以后每天增加5滴;當(dāng)劑量達(dá)到一天40滴時(shí)，堅(jiān)持3天;然后每天減少5滴，最后一天服5滴藥。如果每瓶藥20 mL，也就是200滴，那么該病人應(yīng)該買(mǎi)幾瓶藥？”

問(wèn)題的適切性是指，問(wèn)題適合學(xué)生的思維水平，能驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考。這一方面要求問(wèn)題能讓學(xué)生“夠得著”，使數(shù)學(xué)思考可展開(kāi)。問(wèn)題鏈教學(xué)試圖讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，但并非讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)家思考的問(wèn)題，而需要做教育的轉(zhuǎn)化，使之適合學(xué)生的思維水平。另一方面則要求主干問(wèn)題之間有思維跨度，使學(xué)生有自主思考的空間。因此，問(wèn)題鏈教學(xué)需要教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況預(yù)測(cè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，據(jù)此設(shè)計(jì)主干問(wèn)題。也正因?yàn)榇?，一?jié)課的主干問(wèn)題不宜過(guò)多，輔助問(wèn)題的設(shè)置更不能過(guò)于瑣碎，否則會(huì)壓縮學(xué)生思考的空間。

問(wèn)題的適切性還指，問(wèn)題適切于引領(lǐng)學(xué)生感悟基本的數(shù)學(xué)思維方法?！皵?shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)……從學(xué)生的思維出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，讓學(xué)生沉浸其中，體驗(yàn)過(guò)程，享受數(shù)學(xué)思考的樂(lè)趣，到達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解。”因此，問(wèn)題鏈教學(xué)需要通過(guò)問(wèn)題之間的關(guān)系反映基本的數(shù)學(xué)思維方法，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)有序的問(wèn)題解決過(guò)程中感受基本的數(shù)學(xué)思維方法，學(xué)會(huì)用它提出新的問(wèn)題。

（三）問(wèn)題使用的靈活性與深刻性

在問(wèn)題鏈教學(xué)中，問(wèn)題使用表現(xiàn)出靈活性與深刻性?xún)蓚€(gè)特征。

問(wèn)題使用的靈活性具體表現(xiàn)在問(wèn)題呈現(xiàn)的內(nèi)容、方式以及順序等方面。問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，教師會(huì)盡可能地利用基本的數(shù)學(xué)思維方法對(duì)原有問(wèn)題進(jìn)行延伸、拓展，并根據(jù)教育價(jià)值尤其是教學(xué)目標(biāo)做出選擇。而問(wèn)題使用中，則應(yīng)讓學(xué)生在一個(gè)問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上，利用基本的數(shù)學(xué)思維方法提出新的問(wèn)題，從而使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的延伸與拓展過(guò)程。也正因?yàn)榇耍處熢O(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈與學(xué)生課堂上的真實(shí)反應(yīng)常會(huì)出現(xiàn)差異。比如，預(yù)設(shè)問(wèn)題的順序及其體現(xiàn)的思維與課堂的真實(shí)情況不相符，預(yù)設(shè)問(wèn)題的挑戰(zhàn)程度與學(xué)生的認(rèn)知水平不匹配等。這就需要對(duì)問(wèn)題內(nèi)容、方式以及順序等做出靈活的調(diào)整。其實(shí)，這與問(wèn)題鏈的預(yù)設(shè)強(qiáng)調(diào)多重性的思路是一致的。

問(wèn)題使用的深刻性是指，問(wèn)題要被充分使用，要給學(xué)生提供深入思考的時(shí)間與空間。一方面，要為每個(gè)問(wèn)題的思考留出足夠的時(shí)間，引發(fā)學(xué)生的深層思維;另一方面，要為學(xué)生的思考提供充分交流的機(jī)會(huì)，使其對(duì)問(wèn)題的探索更為全面。

（四）學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的伴隨性

在問(wèn)題鏈教學(xué)中，教學(xué)從問(wèn)題開(kāi)始，由問(wèn)題推動(dòng)，以問(wèn)題結(jié)束。也正因?yàn)榇耍瑔?wèn)題鏈教學(xué)打破了數(shù)學(xué)例題與習(xí)題的嚴(yán)格界限。在問(wèn)題的解決中，應(yīng)用舊知拓展建構(gòu)新知;又在問(wèn)題的進(jìn)一步拓展中，應(yīng)用新知。而在不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，又不斷評(píng)估著學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。因此，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的伴隨性是數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的另一特征。

總之，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)作為一種教學(xué)模式，其目標(biāo)取向和過(guò)程認(rèn)識(shí)等都為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了路徑。未來(lái)還需圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)這一新要求，在理論與實(shí)踐兩個(gè)層面做出進(jìn)一步的探索。

*本文系全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃課題教育部重點(diǎn)課題“指向深度理解的‘問(wèn)題鏈教學(xué)研究”（編號(hào)：DHA200318）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉儒德.基于問(wèn)題學(xué)習(xí)對(duì)教學(xué)改革的啟示[J].教育研究，2002（2）.

[2] 陳愛(ài)萍，黃甫全.問(wèn)題式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、特征與策略[J].教育科學(xué)研究，2008（1）.

[3] 王后雄.“問(wèn)題鏈”的類(lèi)型及教學(xué)功能——以化學(xué)教學(xué)為例[J].教育科學(xué)研究，2010（5）.

[4] 王先進(jìn).談問(wèn)題串的設(shè)計(jì)方法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（7）.

[5] 黃光榮.問(wèn)題鏈方法與數(shù)學(xué)思維[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（2）.

[6] 殷堰工.試論問(wèn)題鏈在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008（10）.

[7] 唐恒鈞，黃輝.數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的三個(gè)關(guān)鍵[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（5）.

[8] 唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問(wèn)題鏈教學(xué)[J].教育發(fā)展研究，2020（4）.

[9] 米山國(guó)蔵.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[10] 朱哲，陸吉健.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教與學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）.