朱一文

(中山大學哲學系暨邏輯與認知研究所，廣州 510275)

1 問題的提出

南北朝是中國數(shù)學發(fā)展的重要時期。唐顯慶元年(656)，李淳風(602—670)等編訂的十部算經(jīng)中，除了漢代《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》、魏劉徽所作《海島算經(jīng)》、唐王孝通所撰《緝古算經(jīng)》，剩余的六部算書《綴術(shù)》《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》都完成于這一時期。因此，盡管分期略有差異，學術(shù)界普遍認為三國至隋代中國傳統(tǒng)數(shù)學理論獲得了高度發(fā)展([1]，頁33—38；[2]，頁14—15；[3]，頁3—5)，最終形成了以十部算經(jīng)為代表的理論體系[4—7]。

不過，盡管我們對這一理論體系已有相當程度的了解，但是對此背后的歷史動因卻并不十分清楚(1)陳巍認為《五曹算經(jīng)》“田曹”卷的田地面積算法與北魏土地制度的實際需求有關(guān)，這是少數(shù)關(guān)于影響南北朝數(shù)學社會歷史因素的研究。參見參考文獻[8]。。學術(shù)界普遍認為作為中國傳統(tǒng)學術(shù)顯學的經(jīng)學在南北朝時期出現(xiàn)了分野([9]，頁170—192；[10]，頁173—187；[11]，頁188—200)，初唐顏師古(581—645)校訂“五經(jīng)”(2)初唐“五經(jīng)”指《毛詩》《尚書》《禮記》《周易》《春秋左傳》五部儒家經(jīng)典。、孔穎達(574—648)等編撰《五經(jīng)正義》完成了經(jīng)學的統(tǒng)一([11]，頁237—247)。那么，算學是否也有從分野到統(tǒng)一的過程？該問題的復(fù)雜性在于：時人就已觀察到南北經(jīng)學“所為章句，好尚互不相同”([12]，頁2709)，但是在算學領(lǐng)域似乎知識的一般性(generality)才是學者們共同持有的價值(3)林力娜(Karine Chemla)通過《九章算術(shù)》劉徽注論證在中國古代數(shù)學中一般性(generality)是高于抽象性(abstraction)的認識論價值。參見參考文獻[13]。。

事實上，南北朝時期算學與經(jīng)學的關(guān)系確實十分密切。周瀚光認為北周甄鸞所撰《五經(jīng)算術(shù)》是輔助閱讀儒家經(jīng)典的工具書[14]，陳巍認為它是經(jīng)學中的算學[15]。筆者將《五經(jīng)算術(shù)》與初唐儒家對于同樣文獻的注疏作對比，揭示出兩者并不相同，因此該書既不是儒經(jīng)的輔助讀物，也不是經(jīng)學中的算學[16—20]?！段褰?jīng)算術(shù)》實際折射出南北朝時期儒家算法傳統(tǒng)的興起[21]，它與以《九章算術(shù)》為代表的傳統(tǒng)算學分庭抗禮，甄鸞撰、李淳風等注釋該書是將傳統(tǒng)算學應(yīng)用于經(jīng)學[22—23]。這些研究說明有必要從算學與經(jīng)學關(guān)系的視角重新審視南北朝數(shù)學史，增進我們對于數(shù)學本質(zhì)的理解。

2 南北傳統(tǒng)算學的分途與合流

前人已經(jīng)觀察到南北算學有所差別。李迪認為“這個時期的數(shù)學家一方面學習和研究《九章算術(shù)》……另一方面又打破《九章》格局……”([6]，頁214)郭書春認為南朝算學“在魏晉數(shù)學的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展”，“與之相對照的是，北朝出現(xiàn)了一批普及性著作”，并認為“就抽象程度和理論水平而言”，后者不如前者([7]，頁171)。紀志剛則“用《世說新語》對南學和北學的概括，來總結(jié)南北兩朝的數(shù)學特點，即：南朝數(shù)學清通簡要，北朝數(shù)學淵綜廣博”([3]，頁9)。筆者認為有必要在算學與經(jīng)學關(guān)系的脈絡(luò)下來理解南北朝算學史。

2.1 南朝傳統(tǒng)算學之特色

南朝算學的代表人物是何承天(370—447)、祖沖之(429—500)及其子祖暅之(一說祖暅，456—536)，三人生活的年代涵蓋南方宋(420—479)、齊(479—502)、梁(502—557)三朝。何承天作《元嘉歷》、創(chuàng)設(shè)調(diào)日法，并以之來設(shè)置朔望月的奇零部分([24]，頁261—265)。北宋周琮指出何氏創(chuàng)立此法([25]，頁1686)，南宋秦九韶《數(shù)書九章》給出了該算法的計算細節(jié)。李繼閔詳細分析了調(diào)日法算理([26]，頁212—288)。李淳風《隋書·天文志》云何氏“周天三百六十五度三百四分之七十五。天常西轉(zhuǎn)，一日一夜，過周一度。南北二極，相去一百一十六度、三百四分度之六十五強”([27]，頁512)。據(jù)此計算，錢寶琮認為何氏使用了22/7的圓周率數(shù)值([5]，頁87)(4)李淳風《隋書·律歷志》論述圓周率，提到劉歆、張衡、劉徽、王藩、皮延宗和祖沖之等人(見參考文獻[27]，第387頁)。除了皮延宗，其他人的圓周率數(shù)值都流傳至今。因此，錢寶琮認為《隋書》“說有皮延宗而遺漏了何承天大概是錯記的”(見參考文獻[5]，第87頁)。然而，兩處文獻同為李淳風所撰，記錯的可能性非常小。事實上，李氏注釋《九章算術(shù)》、撰《隋書·律歷志》都把22/7歸功于祖沖之。因此皮延宗應(yīng)該另有新率，而何承天可能對22/7“用而不知”。。

祖沖之作《大明歷》，其求上元積年，在確定日名、歲名、回歸年和朔望月的條件下，需解同余方程組([28]，頁66—70)。李淳風《隋書·律歷志》載祖沖之“更開密法”得到圓周率在3.1415926至3.1415927之間，及355/113與22/7兩個近似值([27]，頁387)；并載祖氏分別以“算術(shù)”和“圓率”考訂氏量和王莽銅斛事跡(5)原文分別有“祖沖之以算術(shù)考之”和“祖沖之以圓率考之”字樣(見參考文獻[27]，第408—409頁)。這兩條與李淳風關(guān)于率和圓周率發(fā)展的論述正好對應(yīng)。李淳風《晉書·律歷志》考察氏量的文字與《隋志》相同，但“以算術(shù)考之”上沒有“祖沖之”三字，這是因為根據(jù)李氏撰寫原則《晉志》中盡量避免出現(xiàn)晉朝之后的人物名字(參見參考文獻[23])。因此，郭書春認為“祖沖之以算術(shù)考之”的“祖沖之”三字是衍文，是有問題的(參見參考文獻[29])。。《隋書·律歷志》又載祖沖之“又設(shè)開差冪、開差立，兼以正圓參之。指要精密，算氏之最者也。所著之書，名曰《綴術(shù)》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理”([27]，頁388)(6)郭書春據(jù)此認為初唐學官看不懂《綴術(shù)》(見參考文獻[7]，第194頁)，這是有問題的。此條為李淳風所記，而李氏同時也是唐代國子監(jiān)算學館的學官，教習包含《綴術(shù)》在內(nèi)的十部算經(jīng)。李氏應(yīng)該不會說自己看不懂《綴術(shù)》。實際上，李淳風這里是指北朝算學館的學官看不懂《綴術(shù)》，進而暗示《綴術(shù)》在唐朝已經(jīng)獲得了很好的教學。李氏這一策略把數(shù)學與王朝正統(tǒng)性相結(jié)合，從而論證數(shù)學的重要性(參見參考文獻[23])。?！毒Y術(shù)》今已不存，開差冪和開差立大約與解方程相關(guān)?！赌淆R書》云祖沖之“注《九章》、造《綴術(shù)》十篇”([30]，頁906)。祖氏《九章注》今已不存，唯有李淳風注釋《九章算術(shù)》保存了祖暅之在劉徽注基礎(chǔ)上對開立圓術(shù)的推演。

綜上所述，南朝的算學研究主要是在三個領(lǐng)域中：第一，天文歷算的不定分析；第二，量器尺寸的考訂；第三，《九章算術(shù)》劉徽注所未盡之處(包含劉氏涉及的天文歷算和量器尺寸的問題)。由于關(guān)系到歷算，所以南朝算學很可能是在師徒、父子間傳承。

2.2 北朝前期算學之特色

北朝前期算學與三本數(shù)學著作關(guān)系密切：《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》?！秾O子算經(jīng)》成書于公元400年前后[31]。原本《夏侯陽算經(jīng)》今已不存，只有約600字被征引下來[32]。今本《夏侯陽算經(jīng)》是唐中葉韓延所著?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》約成書于431—450年之間[33]，是書序云“其夏侯陽之方倉，孫子之蕩杯，此等之術(shù)，皆未得其妙”([34]，頁1b)，并署名“清河張丘建”。故知其為北朝數(shù)學著作，且成書晚于《夏侯陽算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》。三書在撰寫體例、預(yù)備知識、算學內(nèi)容等方面有傳承關(guān)系。

《孫子算經(jīng)》卷上首先給出度量衡、大數(shù)記法制度、“周三徑一”“方五邪七”、黃金、白金等物質(zhì)比重，繼而論述算籌記數(shù)法和乘除法，之后給出谷物換算率、分數(shù)便捷運算口訣及兩道籌算乘除實例([35]，頁2a—6a)。這些都沒有出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中。今本《夏侯陽算經(jīng)》引“夏侯陽曰：夫筭之法，約省為善。有分者通之……”([36]，頁2a)《張丘建算經(jīng)》序云：“夫?qū)W算者，不患乘除之為難，而患通分之為難?！?[34]，頁1a)其卷上開頭就是六道籌算分數(shù)乘除實例([34]，頁2a—5b)(7)林力娜分析了這六問的籌算操作及其反映出的文本語言特點。參見參考文獻[37]。。很明顯，該書認為先前數(shù)學著作未講清楚籌算分數(shù)算法(尤其是通分)，故著力介紹之。其實，與其說籌算記數(shù)、整數(shù)和分數(shù)運算、度量衡制度等是預(yù)備知識([6]，頁214)，不如說是寫出《九章算術(shù)》未言之處(《孫子算經(jīng)》還給出了籌算開方的具體細節(jié))——由此打破算學在師徒或父子間傳授的藩籬，導致北朝算學的傳授模式與南朝不盡相同。

今本《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》都分成上、中、下三卷，史籍載《夏侯陽算經(jīng)》有三卷([38]，頁2039)或一卷([39]，頁1545)，它們都不是《九章算術(shù)》的九卷編排。雖然《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》有不少算題類似或者直接取自《九章算術(shù)》([3]，頁62—63、 86—87)，但是兩書都擴展了新的算題語境，如《孫子算經(jīng)》物不知數(shù)、孕婦生男生女問題、《張丘建算經(jīng)》百雞問題。《孫子算經(jīng)》序云：“夫筭者，天地之經(jīng)緯，群生之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之準平，四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱紀……”([36]，頁1a)此論述十分夸張地表現(xiàn)出作者認為算學無所不包的觀點，展現(xiàn)了擴大算學應(yīng)用范圍的傾向(8)關(guān)于《孫子算經(jīng)》序言所蘊含意義的分析，參見參考文獻[40]。。

綜上所述，北朝前期相關(guān)算學著作中的基礎(chǔ)知識、不定問題等主要是拓展《九章算術(shù)》未盡之處，從而使得這些算書成為習算者較好的數(shù)學課本。宋劉義慶(403—442)《世說新語》云“如籌算，雖無情，運之者有情”([41]，頁239)，言中了南朝算學的特點——旁觀者僅憑籌算操作并不能完全感受到運籌者之情，這一情感的內(nèi)在性對天算知識的私密性是一種保護?！秾O子算經(jīng)》等數(shù)學著作試圖將籌算過程寫下來，正是希望將運籌者之情紙面化，從而開啟了籌算文本化之進程(9)數(shù)學史家研究古代籌算制度的重要文獻，一處是《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》中的文字描述，另一處是宋元秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰等人著作中的算圖。前者開啟了籌算文本化之進程，后者使中國傳統(tǒng)數(shù)學取得了半文本化和符號化成就。參見參考文獻[42—45]。。

2.3 從經(jīng)學史看南北算學差異之原因

顏之推(531—597)《顏氏家訓》云：“算術(shù)亦是六藝要事。自古儒士論天道，定律歷者，皆學通之。然可以兼明，不可以專業(yè)。江南此學殊少，唯范陽祖暅精之，位至南康太守。河北多曉此術(shù)。”([46]，頁524—525)該論述符合我們對南北算學差異之分析。隋初劉祐撰《九章雜算文》([38]，頁2039)，書名體現(xiàn)了北朝算學既繼承《九章算術(shù)》，又在此基礎(chǔ)上擴展算題語境的特點。

南北算學為何會形成這些差異？這個問題學術(shù)界討論較少，自然地回答是南北分治導致經(jīng)學、文學和史學等都有所不同([10]，頁17—44)，因而算學概不能外。筆者認為此說固然不誤，但還可以進一步討論。《北史·儒林傳》云：“南人約簡，得其英華；北人深蕪，窮其枝葉?！?[12]，頁2709)葉純芳認為此說“語義不詳，且有重南輕北之嫌，近人多不以為然”，并認為南北經(jīng)學之別大致是“南朝重魏晉經(jīng)學、北朝重兩漢經(jīng)學”([11]，頁188—190)。玄理化是魏晉經(jīng)學的特色之一。葉氏以南朝唯一完整傳世至今的經(jīng)學著作——梁皇侃(488—545)《論語義疏》為例，指出該書雖以何晏(？—249)《論語集解》為基礎(chǔ)，但玄風遠在何書之上。葉氏又指出北學基本保持漢代經(jīng)說傳統(tǒng)，較少受到玄學影響。與此相對，錢寶琮認為《九章算術(shù)》是東漢初年儒學的一部分[47]。筆者認為鄭玄引《九章算術(shù)》以注經(jīng)，力圖使之成為經(jīng)學的一部分[48]。郭書春論證劉徽受到鄭玄和魏晉玄學辯難之風的影響([49]；[50]，頁321—330)。以此觀之，南朝何承天、祖沖之父子等人的工作是建立在《九章算術(shù)》劉徽注之上；與北朝前期相關(guān)的《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》則建立在《九章算術(shù)》之上。故南北算學的分野大致是“南朝重劉徽注，北朝重《九章算術(shù)》”，恰與南北經(jīng)學分野的情況一致。

總之，從算學與經(jīng)學關(guān)系的角度看，鄭玄引《九章算術(shù)》注經(jīng)、劉徽注《九章算術(shù)》是兩大重要事件。前者進一步經(jīng)典化《九章算術(shù)》，使算學與經(jīng)學緊密聯(lián)系；后者則使中國數(shù)學打上了魏晉玄學的烙印。南朝算學繼承劉徽注，取得了很高的理論成就；北朝算學繼承《九章算術(shù)》和鄭玄注，補充相關(guān)基礎(chǔ)知識和新的算題，既改變了算學知識的傳承模式，又開啟了中國傳統(tǒng)籌算文本化之歷程。

2.4 南北算學之合流

南北朝后期，分途的算學逐漸合流。紀志剛觀察到一個值得注意的現(xiàn)象：北魏后期(公元520年之后)，歷家蜂起，至隋朝初年(584年前后)，60余年間竟有10部歷法問世(其中4部未正式頒布)([3]，頁8)。這與北魏初期行用《景初歷》、前期改歷不多的情況形成鮮明對比。紀氏認為這是因為張子信的一系列天文學發(fā)現(xiàn)。其實，張氏發(fā)現(xiàn)主要影響隋初的《皇極歷》和《大業(yè)歷》。筆者認為北魏后期改歷頻繁可能與公元525年祖暅之被魏兵俘虜，在元延明(484—530)家滯留一年有關(guān)。當時，信都芳為元氏召入賓館。在他的建議下祖暅之獲得禮遇，第二年祖氏被送回南朝。在滯留期間，祖氏向信氏傳授天文歷算([12]，頁2933； [51]，頁675)。信都芳由此對歷法更加精通，私撰《靈憲歷》，并對李業(yè)興等人的《興和歷》提出批評[52]。今本《夏侯陽算經(jīng)》卷上有“梁大同元年甄鸞校之……”([36]，頁6b)可知甄鸞原為梁朝人(梁大同元年為535年)，之后入仕北周，作《天和歷》(北周天和元年為566年)。由此可見，南北朝后期多有南方算家因各種原因往北，從而形成合流。

《隋書·律歷志》載：“《甄鸞算術(shù)》云：‘周朝市尺，得玉尺九分二厘?！?[27]，頁405)又載：“《甄鸞算術(shù)》云：‘玉升一斗，得官斗一升三合四勺?！?[27]，頁410)可見，甄鸞仕周之后研究度量衡和量器的問題。據(jù)李儼統(tǒng)計，史籍記載甄鸞撰注的算書極多，計有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《數(shù)術(shù)記遺》《三等數(shù)》《甄鸞算術(shù)》等11部([53]，頁70—72)。這些書由南北算書和甄鸞自撰著作組成。初唐國子監(jiān)算學館的數(shù)學教科書總計12部，即十部算經(jīng)加上《數(shù)術(shù)記遺》《三等數(shù)》兩部。與此相比，甄氏撰注算書僅少了祖沖之《綴術(shù)》和唐王孝通所撰《緝古算經(jīng)》(10)甄鸞未注《綴術(shù)》很可能是因為看不懂(即《隋書·律歷志》所云“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”)。。因此，甄鸞撰注算書導致了南北算書的合流，并為李淳風選擇算學館教科書奠定了基礎(chǔ)。

總之，在南北朝后期，隨著祖暅之、甄鸞等出于各種原因來到北方，形成了南北算學、算書合流之趨勢：算學研究語境獲得了擴展，知識傳授模式逐漸完備。隋唐建立國子監(jiān)算學館、李淳風等注釋十部算經(jīng)之后，南北傳統(tǒng)算學最終完成了合流。

3 經(jīng)算的興起與算學的再次分途

南北朝數(shù)學史值得注意的另一面是：在擴大算學應(yīng)用范圍的過程中，出現(xiàn)了《五經(jīng)算術(shù)》這部解釋儒家經(jīng)典中數(shù)學文獻的著作。筆者將之與南北朝隋唐儒家對經(jīng)典的同例注疏作對比，發(fā)現(xiàn)兩者并不相同[16—21]。因此，《五經(jīng)算術(shù)》折射出傳統(tǒng)算學研究與經(jīng)學研究中算法的分歧。張纘所撰《算經(jīng)異義》([27]，頁1026)，從書名上看，應(yīng)是解釋不同算學著作間的“異義”，類似東漢儒學大師許慎(約58—147)的《五經(jīng)異義》和鄭玄的《駁五經(jīng)異義》。這一“異義”體現(xiàn)在兩方面：

其一，一系列解釋儒家經(jīng)典的算學著作出現(xiàn)。元延明欲抄集五經(jīng)算事為《五經(jīng)宗》(一說《五經(jīng)宗略》)，并令信都芳算之([54]，頁1955)?！皶用髂媳迹寄俗宰ⅰ?[12]，頁2933)。元氏《五經(jīng)宗》原意也許只是將儒家關(guān)于數(shù)學的注解抄出來，但信氏注釋之后，無疑加上了傳統(tǒng)算學的內(nèi)容。李迪認為甄鸞是將之其中數(shù)學性強的部分抽出來，加按語完成《五經(jīng)算術(shù)》([6]，頁275)。兩唐書所載陰景愉《七經(jīng)算術(shù)通義》和宋泉之《九經(jīng)術(shù)疏》應(yīng)該也是類似的作品。

其二，經(jīng)算傳統(tǒng)的興起(11)本文匿名審稿人認為“漢、三國、南北朝、隋唐的儒家注疏儒家經(jīng)典中的算學內(nèi)容、算法與《九章算術(shù)》及其劉徽注傳統(tǒng)的算學內(nèi)容、算法體量上不對稱，而且前者淺易、粗泛，后者更專門、精深，將它們并立是否合適？(傳統(tǒng)社會中，專門研究算學的人是輕視儒家的數(shù)學水平的)”。筆者同意兩家算法傳統(tǒng)在體量上不對稱的觀點，但強調(diào)兩者在算法文化與數(shù)學實作上是可以比較的。此外，誠如審稿人所言，專門研究算學的人是輕視儒家的數(shù)學水平的，但另一方面儒家算法傳統(tǒng)由于其強勢地位，也輕視算家傳統(tǒng)。因此，在此兩者形成另一種有趣的可比較之處。。漢儒鄭玄等注經(jīng)，時常用到《九章算術(shù)》，實際是期望將算學納入經(jīng)學，統(tǒng)一融合古今文說(12)鄭玄注解儒家經(jīng)典多次用到數(shù)學。例如鄭玄引鄭眾說注《周禮》九數(shù)，使得《九章算術(shù)》與九數(shù)關(guān)聯(lián)起來。鄭玄多次引粟米法或粟米之法注解經(jīng)典，又以數(shù)學來消除各經(jīng)版本之間的差異?！逗鬂h書·鄭玄傳》載鄭玄晚年寫給其子的書信云：“念述先圣之元意，思整百家之不齊，亦庶幾以竭吾才，故聞命罔徒?！?見參考文獻[55]，第1207頁)由是可知，數(shù)學成為鄭玄統(tǒng)一經(jīng)義的有力工具。。然而，他們的注解往往只給出計算結(jié)果或算法大概，而沒有具體細節(jié)，這提供了后世儒家發(fā)展數(shù)學的文本空間。皇侃《論語義疏》中給出幾何開方算法，開經(jīng)算之先河[21]。由于儒學強大的地位優(yōu)勢，儒家解經(jīng)并不理會傳統(tǒng)算學和《五經(jīng)算術(shù)》等著作，從而使得算學再次分途[22]。

在既有研究的基礎(chǔ)上，本節(jié)進一步探討經(jīng)算興起、算學再次分途的過程，以使對于南北朝數(shù)學史的論述更為完備。

3.1 經(jīng)算之興起

皇侃是梁經(jīng)學大家，“尤明三禮、孝經(jīng)、論語。兼為國子助教，于學講說，聽者常數(shù)百人。撰《禮記講疏》五十卷。書成奏上，詔入秘閣”，“又撰《論語義》《禮記義》，見重于世，學者傳焉”([56]，頁1744)。其所撰《論語義疏》注解“千乘之國”，在馬融注的基礎(chǔ)上補充開方細節(jié)，然而卻非《九章算術(shù)》籌算開方術(shù)[21]。皇氏開方算法基于圖形操作([57]，頁8—9)，不僅不用籌算，而且不同于劉徽等算家對開方的幾何理解(即已知方面積求其邊)，認為開方是利用已知面積求做一個方形。唐賈公彥發(fā)展了皇氏開方算法[21]。

皇侃《禮記義疏》之《坊記篇》注解周代天子、諸侯國之大小，《服問篇》注解喪服绖帶大小，都用數(shù)學([58]，頁1032—1036)?！抖Y記·喪服》給出五服绖帶(即頭帶和腰帶)相差1/5遞減，鄭玄注給出首绖9寸，以下依次計算?；适献ⅰ叭曛畣省痹啤笆桌勎宕缬?，要帶四寸余……要帶四寸余，其首绖合五分加一，成五寸余也”([58]，頁1036)。雖然首绖數(shù)值不同于鄭注，但皇氏開啟了對此問題計算細節(jié)的討論?？追f達、賈公彥按鄭玄數(shù)值和經(jīng)算方法給出了完整的計算細節(jié)[18，22]。

孔穎達《禮記正義》“服問篇”在引用上述皇侃義疏之后，云“此皇氏熊氏之說”([59]，頁1659)。熊氏即是北朝經(jīng)學大家熊安生(？—578)。據(jù)《北史·熊安生傳》載，熊氏受業(yè)于陳達、徐遵明、李寶鼎等人?？资枵f明熊氏很可能通過某種方式受到皇侃的影響。南北朝后期學者交流頻繁，沈重(500—583)是南朝經(jīng)學大家，北周武帝(560—578在位)聞其名，以厚禮聘至周都([12]，頁2741—2742；[60]，頁808—811)。北方學者來南者亦有崔靈恩、盧廣、蔣顯等人([11]，頁203)?；寿┲v學聽眾常數(shù)百人，包含其算法在內(nèi)的學說完全可能傳到北方。隋代大儒劉焯(544—610)和劉炫(546—613)受業(yè)于熊安生?？追f達嘗入劉焯門下，其編撰《禮記正義》“仍具皇氏以為本，其有不備，以熊氏補焉”([59]，頁1223)，可見孔氏對皇侃禮學成就的肯定。賈公彥氏系有北學淵源，其注疏《周禮》《儀禮》亦多因襲舊疏([61]，頁153—159、201—212)。

總之，皇侃延續(xù)魏晉玄風，創(chuàng)設(shè)儒家算法。其重要特征是依靠文字進行推理，與以《九章算術(shù)》為代表的傳統(tǒng)算學不盡相同。南北朝后期學者交流頻繁，皇氏算法很可能隨著其經(jīng)學研究一道傳至北方，并獲得進一步發(fā)展。入隋之后，經(jīng)學趨向統(tǒng)一。唐初孔穎達編撰《五經(jīng)正義》、賈公彥撰《周禮注疏》《儀禮注疏》都運用了經(jīng)算方法。隨著這些著作成為唐初國子監(jiān)的儒學教科書，經(jīng)算逐漸為大部分讀書人所熟悉，并形成了儒家獨特的算法傳統(tǒng)。

3.2 算學之再次分途

如果說南北傳統(tǒng)算學的差別與政治地理、南北經(jīng)學分野等相關(guān)，那么算家與儒家兩家算法傳統(tǒng)之分途則情況完全不同。兩家傳統(tǒng)可視為不同之數(shù)學文化——不同群體所共享的做數(shù)學方式有別(13)林力娜把數(shù)學文化定義為群體所共享的做數(shù)學的方式(參見參考文獻[62])。筆者此處采用了她的說法。。傳統(tǒng)算學之《九章算術(shù)》及劉徽注，其術(shù)依靠籌算實施，具有構(gòu)造性和機械化特色[63]，其數(shù)學推理有寓理于算的特點([64]，頁38)，文本具有“問題+算法”的形式。儒家算法傳統(tǒng)則不用籌算，其算法也不具有構(gòu)造性和機械化特色，數(shù)學推理亦依賴文字而非寓理于算，問題文本則隱藏在儒家經(jīng)典注疏中，這些都與傳統(tǒng)算學不同。儒家算法傳統(tǒng)十分契合經(jīng)學研究的特點，是經(jīng)學中的算學，故后世稱之為“經(jīng)算”。

算家出現(xiàn)許多類似《五經(jīng)算術(shù)》把算學應(yīng)用于經(jīng)學的著作，實際是希望取代經(jīng)算體系，然而終不能成功。其主要原因有二：第一，經(jīng)學與算學地位差距懸殊。雖然在算家看來，儒家算法傳統(tǒng)比較初級和簡單，甚至劣于算家傳統(tǒng)，但是經(jīng)學的地位遠遠超過算學——附之于經(jīng)學之經(jīng)算則亦如此。既然經(jīng)算體系已經(jīng)形成，那么諸儒注解經(jīng)典時，便不再考慮使用算家傳統(tǒng)。這一情形背離了鄭玄將《九章算術(shù)》引入儒家經(jīng)典的初衷，反映出經(jīng)算傳統(tǒng)深受魏晉玄風之影響。第二，初唐國子監(jiān)儒學三館與算學館并立，兩家算法傳統(tǒng)都獲得了制度的確認。然而，在師資、生源、考試方式等方面，兩者都差距懸殊[22]。制度化使得兩家算法傳統(tǒng)之別從學術(shù)領(lǐng)域進入實際生活。因此，經(jīng)學研究必須沿用經(jīng)算傳統(tǒng)，《五經(jīng)算術(shù)》則被限于算學領(lǐng)域內(nèi)部(14)算家往往傾向于算學應(yīng)用的普遍性，而唐代儒家則堅持經(jīng)學研究使用經(jīng)算體系，宋代大儒朱熹更認為不同領(lǐng)域所用之數(shù)不同(參見參考文獻[22][65])。林力娜認為不同數(shù)學文化會形成不同的數(shù)學本體論(參見參考文獻[66])。。相較之下，盡管算學與天文歷算也并非完全相同[45]，但是兩者在地位、制度安排方面頗為接近，因此歷算往往應(yīng)用傳統(tǒng)算學，兩者的差別較小。

總之，經(jīng)算的興起導致算學再次分途，是以往不為學術(shù)界所知的一面。這一分途的原因來自文化與制度兩方面，折射出中國古代數(shù)學的多樣性和混雜性本質(zhì)。晚清以降，現(xiàn)代數(shù)學傳入中國。兩大算法傳統(tǒng)都被匯入現(xiàn)代數(shù)學的大海之中，從而再次實現(xiàn)了合流。

4 結(jié)語：重述南北朝算學史

綜上研究，筆者重述南北朝算學史。

東漢大儒鄭玄引《九章算術(shù)》注儒家經(jīng)典與魏景元四年劉徽注《九章算術(shù)》是影響南北朝傳統(tǒng)算學走向的兩件大事。鄭玄引《九章算術(shù)》的初衷是希望憑借數(shù)學融合古今文說，卻造成了算學與經(jīng)學密切相關(guān)的認識。劉徽注《九章算術(shù)》呈現(xiàn)出魏晉經(jīng)學之底色。南北朝時期，南朝重魏晉經(jīng)學，北朝重兩漢經(jīng)學。在算學屬于經(jīng)學的意義之下，《九章算術(shù)》與其劉徽注被分別理解為兩漢與魏晉之學。因此，南朝算學建立在劉徽注的基礎(chǔ)上，何承天、祖沖之父子的歷算、度量衡研究是其后繼，補劉徽算理研究之未盡，取得了高度理論化的成就，但傳授模式私密；北朝算學則以《九章算術(shù)》為基礎(chǔ)，《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》是其后繼，補《九章算術(shù)》基礎(chǔ)知識、算題語境等之未盡，在知識文本化、普及算學等方面取得突破。南北朝后期，隨著祖暅之、甄鸞等南人適北，南北算學逐漸合流。甄鸞注南北算書、撰《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》，隋唐建立國子監(jiān)算學館、李淳風等注釋十部算經(jīng)，完成了這一合流。

然而，經(jīng)算的興起卻造成算學的再次分途。梁經(jīng)學大家皇侃《論語義疏》《禮記義疏》延續(xù)魏晉玄風，創(chuàng)設(shè)儒家算法。南北朝后期，兩邊學術(shù)交流逐漸繁榮，北朝經(jīng)學大家熊安生等采納皇氏經(jīng)算方法，逐漸形成獨立于傳統(tǒng)算學的經(jīng)算傳統(tǒng)。唐初孔穎達等編撰《五經(jīng)正義》、賈公彥注疏《周禮》《儀禮》均延續(xù)儒家算法傳統(tǒng)。《五經(jīng)算術(shù)》這一類以傳統(tǒng)算學解釋儒家經(jīng)典中數(shù)學注疏的作品，表明算家意識到兩種算法傳統(tǒng)之別，并在普遍性的價值觀之下，將算學應(yīng)用于經(jīng)學。唐初李淳風將《五經(jīng)算術(shù)》納入十部算經(jīng)，確立其屬于算學經(jīng)典；又撰《隋志》《晉志》，極大地論述了數(shù)學對王朝正統(tǒng)性的作用[23]。隨著國子監(jiān)儒學三館與算學館的并立，兩家算法傳統(tǒng)都獲得了制度的保障，并一直延續(xù)到清末現(xiàn)代數(shù)學傳入為止[48，67]。

總之，南北朝數(shù)學的發(fā)展，受兩漢魏晉經(jīng)學的影響極大。南朝何承天、祖沖之、祖暅之的算學突破、皇侃創(chuàng)設(shè)儒家算法都受到魏晉玄風之影響。北朝算學普及性著作則受兩漢經(jīng)學之影響。隋朝一統(tǒng)，唐朝國子監(jiān)的設(shè)立，既完成了南北傳統(tǒng)算學之合流，又確保了算家與儒家兩種算法傳統(tǒng)之并立。

從本文的研究來看，政治地理、文化制度等因素都會影響不同數(shù)學傳統(tǒng)的形成。這些數(shù)學傳統(tǒng)在實作、文本語境、本體論和認識論價值等方面都可能有差別，顯示出數(shù)學的基礎(chǔ)或其本質(zhì)深受歷史和文化因素的影響。因此，如果數(shù)學史研究不局限于某一特定的數(shù)學認識，而采用開放的觀念，就有可能從歷史的角度給出“什么是數(shù)學”的新解答[68]。