郭耀宇

歷史是教學(xué)的指南，數(shù)學(xué)史能夠呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。數(shù)學(xué)學(xué)科知識中有不少來源于人們在現(xiàn)實(shí)生活中的觀察與實(shí)踐總結(jié)。數(shù)學(xué)教師如果能夠結(jié)合數(shù)學(xué)史料，精心設(shè)計(jì)一些探究活動或?qū)嶒?yàn)操作，那么學(xué)生便能親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，做到知其然并知其所以然。本文試以圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)為例，以圓面積計(jì)算在數(shù)學(xué)史上的發(fā)生發(fā)展來設(shè)計(jì)相關(guān)活動，從借鑒數(shù)學(xué)史教學(xué)價值的角度來談?wù)勅绾畏e累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、重現(xiàn)數(shù)學(xué)史，通過實(shí)驗(yàn)操作積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

古埃及萊茵德草書第50題這樣記錄：假設(shè)一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。這說明古埃及人有了圓面積的近似計(jì)算公式。基于這一史實(shí)，筆者先請學(xué)生回憶以前長方形面積公式的推導(dǎo)過程，明確了是用單位正方形先去數(shù)個數(shù)，然后再推導(dǎo)公式。接著在課堂上安排了兩個實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)一：以觀察為主，課件展示用單位正方形來鋪滿圓，發(fā)現(xiàn)總有縫隙或超出，無法契合鋪滿，引出用直邊圖形面積直接代替曲邊圖形面積的矛盾沖突。實(shí)驗(yàn)二：以操作為主，告知學(xué)生古埃及圓的面積計(jì)算公式相傳是從數(shù)谷粒的方法中歸納得到的，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作來經(jīng)歷這個過程。給每個學(xué)習(xí)小組（四人一組，共十組）分發(fā)一個“外方內(nèi)圓”的圖形（圖1），每個小組圓的直徑大小不等。實(shí)驗(yàn)步驟1：挑一挑——學(xué)習(xí)小組從組長帶來的米粒中挑選出大小均勻的米粒（討論并明確為什么要大小均勻）。步驟2：鋪一鋪——把大小均勻的米粒鋪滿整個圓并記錄下米粒數(shù)，然后把四個邊角的空白也鋪滿，即鋪滿與其外切的正方形，并記錄下米粒數(shù)。步驟3：說一說——討論鋪的過程為什么要盡量做到不重疊又不留縫隙（這樣才能盡最大可能逼近圖形的近似面積）。步驟4：算一算——計(jì)算鋪滿圓與鋪滿正方形的米粒數(shù)量之間的比值（表1）。步驟5：辨一辨——明確這個比值就是這兩個圖形面積間的關(guān)系，用正方形的面積乘這個比值就等于圓的面積。步驟6：想一想——此時因?yàn)橛辛烁鹘M實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的支撐，而學(xué)生又知道正方形的面積是可以用公式計(jì)算的，所以完全可以拋開正方形內(nèi)的米粒數(shù)而用正方形的面積乘這個比值，圓的面積就可以被粗略地計(jì)算出來了，即圓的面積大約等于正方形面積的。

這個實(shí)驗(yàn)操作雖然無法精確地得到圓的面積計(jì)算公式，但學(xué)生通過“挑—鋪—說—算—辨—想”等實(shí)驗(yàn)操作積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，知道了圓面積計(jì)算最早發(fā)生的形態(tài)。這會激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是在積累活動經(jīng)驗(yàn)的過程中感知到曲邊圖形（圓）與直邊圖形（正方形）的面積有一定的關(guān)聯(lián)，這使得后續(xù)將圓轉(zhuǎn)化為長方形來求得面積變得更為順理成章。

二、借鑒數(shù)學(xué)史，通過合作探究積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在上述實(shí)驗(yàn)操作中萌發(fā)了把圓面積轉(zhuǎn)化成直邊圖形面積來研究的想法，于是筆者啟發(fā)學(xué)生回顧平行四邊形的面積是如何通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成長方形面積的過程。在轉(zhuǎn)化思想的支撐下，進(jìn)行了如下對話。

師：“大家能應(yīng)用轉(zhuǎn)化的方法合作探究出圓的面積嗎？”生1：“可以把圓切開，重新拼接?！睅煟骸叭我馇锌梢詥幔俊鄙?：“可以在圓里面切出一個正方形或長方形?！睅煟骸扒型晁倪呅魏?，外圍剩下的4小塊還是曲邊圖形，沒法計(jì)算?！鄙?：“可以沿著半徑切?！鄙?：“可以沿著直徑切?！薄藭r，筆者再順?biāo)浦劢榻B數(shù)學(xué)史上古印度數(shù)學(xué)家關(guān)于圓面積的探究：古印度數(shù)學(xué)家受切西瓜的啟發(fā)，把圓切成小瓣，然后把這些小瓣上下對接（介紹到此為止，不再往下）。接下來在切西瓜這一動作表象的作用下，請學(xué)生用帶來的圓形紙片在小組內(nèi)合作學(xué)習(xí)，探究圓面積該如何計(jì)算。為了使探究活動更為高效，筆者建議學(xué)習(xí)小組對圓進(jìn)行偶數(shù)等分。各個學(xué)習(xí)小組分別對圓進(jìn)行了四等分、六等分、八等分、十等分、十二等分、十六等分，然后重新拼接。隨著等分的份數(shù)逐漸增加，筆者使用希沃授課助手將各小組拼擺的圖形投影到屏幕上進(jìn)行對比，學(xué)生強(qiáng)烈地感受到分的份數(shù)越多，拼接出來的圖形越接近于長方形，這樣就可以把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積來計(jì)算。此時筆者再追問：“圓的面積大小有變化嗎？”生：“不變，圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積?！睅煟骸伴L方形的面積=長×寬，那么這個長方形的長和寬分別是哪條？等于什么？”因?yàn)橛杏H身的探究經(jīng)歷，學(xué)生輕松答出長方形的長等于圓周長的一半，即πr，寬等于半徑，即r，于是得到了圓的面積計(jì)算公式：S=πr2。在整個公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生密切合作，他們完成了等分、拼接、交流、推導(dǎo)四個探究活動。通過這些探究活動，學(xué)生經(jīng)歷了圓面積轉(zhuǎn)化及其計(jì)算公式產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，既感受了數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，又發(fā)展了思維能力。這不僅幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)，而且極大地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、聯(lián)系數(shù)學(xué)史，通過學(xué)以致用積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)金字塔告訴我們：輸出式學(xué)習(xí)是一種最高效的學(xué)習(xí)方式。學(xué)以致用則是輸出式學(xué)習(xí)的直接表現(xiàn)。讓學(xué)生在學(xué)會圓的面積計(jì)算之后，立刻加以應(yīng)用，不但能鞏固所學(xué)，而且在應(yīng)用中能體會到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

筆者在課堂上設(shè)計(jì)了一道馬兒吃草的問題：馬的韁繩被綁在一個樹樁上，已知繩子的長度是5米，求這匹馬能吃到草的最大面積是多少？在解決這個問題的過程中，能幫助學(xué)生體驗(yàn)從生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的升華，這樣的升華能幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并選擇適當(dāng)?shù)牟呗约右越鉀Q。接下來，學(xué)生展示了這道題的兩種解決策略：一是直接應(yīng)用公式S=πr2進(jìn)行解答;二是應(yīng)用S=πr×r進(jìn)行計(jì)算。從學(xué)生的發(fā)言中得知，在解題的過程中他們想到了圓的面積就是轉(zhuǎn)化后的長方形面積，長方形的長是圓周長的一半，寬是圓的半徑，當(dāng)想到了長×寬就想到了πr×r。第二種解決策略說明了學(xué)生對探究活動的過程和結(jié)果已完成了內(nèi)化，凸顯了利用數(shù)學(xué)活動獲得知識、形成能力的獨(dú)特價值。此時可聯(lián)系數(shù)學(xué)史，借助多媒體展示“圓田術(shù)”：大約在1800多年前，漢代數(shù)學(xué)家劉徽對《九章算術(shù)》中記載的圓面積公式（圓田術(shù)）進(jìn)行注解——半周半徑相乘，得積步。也就是說圓面積等于圓的一半周長乘半徑，這樣聯(lián)系數(shù)學(xué)史的學(xué)以致用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)得以積累，學(xué)習(xí)的熱情得以激發(fā)。

總之，數(shù)學(xué)史猶如一座神奇的數(shù)學(xué)寶藏，它蘊(yùn)含著豐富的知識、方法和思想，只要我們深入挖掘，精心設(shè)計(jì)，必能為學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)操作、合作探究、學(xué)以致用機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的全過程，從而積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。