胡能其

【摘要】以“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，教師通過(guò)設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題為學(xué)習(xí)支架引導(dǎo)學(xué)生積極思考，體會(huì)知識(shí)的發(fā)展和生成過(guò)程，理解知識(shí)的本質(zhì)，從而提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)定義;核心素養(yǎng);問(wèn)題支架;教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）教學(xué)內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第一章“三角函數(shù)”的第二節(jié)“任意角的三角函數(shù)”.

（2）教學(xué)內(nèi)容分析

教材地位：三角函數(shù)是一個(gè)重要的周期函數(shù)模型，它在幾何學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.任意角的三角函數(shù)定義則是整個(gè)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握好三角函數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要載體.

教學(xué)任務(wù)：本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是將學(xué)生原認(rèn)知下的直角三角形模型下的銳角三角形函數(shù)定義擴(kuò)展到直角坐標(biāo)系下任意角的三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生體會(huì)到將初中銳角三角函數(shù)用邊的比值定義到高中用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值定義再到單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義的合理性和必要性，并在定義的基礎(chǔ)上理解和掌握三角函數(shù)的符號(hào)的判定以及特殊角的三角函數(shù)值的求解.

蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：三角函數(shù)的定義從初中的銳角到高中的任意角，從平面幾何到解析幾何，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）目標(biāo)

① 經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);

② 理解任意角的三角函數(shù)的終邊定義法和單位圓定義法兩種定義;

③ 掌握任意角的三角函數(shù)的符號(hào);

④ 初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性.

（2）目標(biāo)解析

① 學(xué)生能在原有的銳角三角函數(shù)的認(rèn)知的基礎(chǔ)上，明確任意角三角函數(shù)的定義擴(kuò)展的必要性和合理性，體會(huì)從直角三角形模型到直角坐標(biāo)系模型的建模過(guò)程，并能抽象出任意角的三角函數(shù)定義，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng);

② 學(xué)生能理解任意角的三角函數(shù)的終邊定義法和單位圓定義法及它們的聯(lián)系，并且能利用定義求出特殊角的三角函數(shù)值，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng);

③ 學(xué)生能夠根據(jù)定義得出任意角的三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào);

④ 學(xué)生能夠根據(jù)定義初步體會(huì)三角函數(shù)周而復(fù)始的特性.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

雖然學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)的定義，有了一定的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，但由于初中的銳角三角函數(shù)定義是在直角三角形的模型下建立的，而在將銳角放到直角坐標(biāo)系下時(shí)，一開(kāi)始仍然要以初中的直角三角形模型為起點(diǎn)引入，這樣就造成學(xué)生在對(duì)其他象限角的三角函數(shù)的定義進(jìn)行理解時(shí)很難脫離直角三角形模型而轉(zhuǎn)為點(diǎn)的坐標(biāo)比值定義，這應(yīng)該是本節(jié)課教學(xué)遇到的一個(gè)難點(diǎn).另外，為了學(xué)生能更好地理解三角函數(shù)的定義和今后能更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，教材引入了單位圓定義法，而沒(méi)有提及終邊定義法.事實(shí)上，兩種定義法是一致的，但也各具優(yōu)點(diǎn)，所以就需要教師做好權(quán)衡.筆者建議兩種定義都傳授給學(xué)生，但側(cè)重單位圓定義法.

四、教學(xué)支持條件分析

（1）在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的定義，且明白銳角三角函數(shù)的值與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了很好的學(xué)習(xí)起點(diǎn).

（2）教師可利用幾何畫(huà)板軟件，讓學(xué)生直觀體會(huì)任意角三角函數(shù)的定義與終邊上點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的位置無(wú)關(guān)，也可以讓學(xué)生通過(guò)直觀演示體會(huì)三角函數(shù)周而復(fù)始的重要屬性.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1 復(fù)習(xí)回顧，激發(fā)興趣

問(wèn)題1 初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？

師生活動(dòng)：

（1）由學(xué)生寫(xiě)出初中銳角三角函數(shù)的定義.

（2）教師追問(wèn)：如果在不改變角的大小的前提下將直角三角形的三邊都擴(kuò)大或者縮小，銳角所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值會(huì)改變嗎？

設(shè)計(jì)意圖：回顧初中銳角三角函數(shù)定義，并讓學(xué)生明確對(duì)于每個(gè)銳角它所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值是唯一的，突出函數(shù)概念的特征，為學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義做準(zhǔn)備.

教師追問(wèn)：5π3的正弦、余弦和正切值分別是多少呢？

師生活動(dòng)：明確按照初中的銳角三角函數(shù)定義是沒(méi)有辦法求5π3的正弦、余弦和正切值的.

設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣.

環(huán)節(jié)2 問(wèn)題支架，構(gòu)建新知

問(wèn)題2 根據(jù)初中銳角三角函數(shù)的定義用點(diǎn)P的坐標(biāo)寫(xiě)出銳角α的三角函數(shù)值.

如圖1所示，設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊在第一象限，在銳角α的終邊上任取一點(diǎn)P（a，b），它

與原點(diǎn)的距離r=|OP|=a2+b2>0，過(guò)點(diǎn)P作x 軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長(zhǎng)度為a， 線段MP的長(zhǎng)

度為b.求：

sin α=.

cos α=.

tan α=.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)由直角三角形的銳角三角函數(shù)模型轉(zhuǎn)為象限角的銳角三角函數(shù)模型的建模過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生將角α的三角函數(shù)值由邊的比值轉(zhuǎn)為點(diǎn)P的坐標(biāo)比值，導(dǎo)入新課.

教師追問(wèn)：改變點(diǎn)P的位置，銳角α的三角函數(shù)值會(huì)改變嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明白每一個(gè)角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值是唯一確定的，不會(huì)隨著點(diǎn)的位置而改變，符合函數(shù)的定義，為任意角三角函數(shù)定義的合理性提供依據(jù).

問(wèn)題3 三角函數(shù)的定義由直角三角形的邊的比值變?yōu)榻K邊上的點(diǎn)的比值，你覺(jué)得這種定義的變化能幫我們研究非銳角的三角函數(shù)的值嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生跳出直角三角形模型，在象限角的模型下利用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，為講解任意角三角函數(shù)的定義做鋪墊.

師生活動(dòng)：教師結(jié)合學(xué)生對(duì)問(wèn)題2和問(wèn)題3的探討和學(xué)習(xí)，給出任意角的三角函數(shù)的終邊定義法的定義.

如圖2所示，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊在第一象限，在α終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離r=|OP|=x2+y2>0，則定義sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx（x≠0）.

問(wèn)題4 如圖3所示，設(shè)角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊與單位圓（半徑為1）的交點(diǎn)為P（x，y），請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛學(xué)過(guò)的任意角的三角函數(shù)定義寫(xiě)出角α 的三角函數(shù)值，并說(shuō)明它們有什么特別之處？

師生活動(dòng)：教師通過(guò)探究活動(dòng)，給出任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)與三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而利用單位圓定義三角函數(shù)的定義.

設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)單位圓將三角函數(shù)的定義變得更簡(jiǎn)潔和清晰，從而使學(xué)生掌握任意角三角函數(shù)的單位圓定義法的定義，并體會(huì)單位圓定義法其實(shí)是終邊定義法的一種特殊情況，從而發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

問(wèn)題5 請(qǐng)同學(xué)們利用單位圓定義法寫(xiě)出0，π2，π，3π2，2π，5π2，3π的三角函數(shù)值，并說(shuō)明sin α在[0，2π）內(nèi)的大小變化規(guī)律.

師生活動(dòng)：

（1）學(xué)生自主完成.

（2）教師利用幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行演示，讓學(xué)生直觀感受sin α的值的變化情況以及正弦函數(shù)周而復(fù)始的屬性.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步掌握單位圓定義法，也讓學(xué)生體會(huì)單位圓定義法的簡(jiǎn)潔和清晰，同樣讓學(xué)生感受三角函數(shù)周而復(fù)始的特性.

問(wèn)題6 根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義寫(xiě)出正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域及它們?cè)诟飨笙薜姆?hào).

師生活動(dòng)：

（1）學(xué)生自主完成.

（2）教師歸納總結(jié)三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義得出三角函數(shù)的定義域及其符號(hào)規(guī)律，進(jìn)一步掌握任意角三角函數(shù)定義的應(yīng)用.

環(huán)節(jié)3 例題分析，應(yīng)用新知

例1 完成問(wèn)題1中求5π3的正弦、余弦和正切值.

例2 已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值.

師生活動(dòng)：

（1）學(xué)生根據(jù)所學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)的兩種定義選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.

（2）教師根據(jù)學(xué)生的解題情況分析比較兩種定義的各自特點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的方法解題.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.

例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組sin α<0，tan α>0成立時(shí)，角α為第三象限角，反之也對(duì).

師生活動(dòng)：

（1）教師先提示學(xué)生需雙向證明.

（2）學(xué)生自主完成.

（3）教師總結(jié)并對(duì)答題規(guī)范做出示范.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能夠根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角的位置和根據(jù)角的位置判定三角函數(shù)值的符號(hào).

環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，提煉方法

（1）學(xué)習(xí)內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)的兩種定義，任意角的三角函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律.

（2）求任意角的三角函數(shù)值的基本思路：在直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確畫(huà)出象限角的位置—根據(jù)所求角的特征—選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾?

（3）根據(jù)任意角的兩種三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的位置的方法：先根據(jù)一種三角函數(shù)值的符號(hào)確定角可能所在的位置，再結(jié)合另一種三角函數(shù)值的符號(hào)確定角可能所在的位置，最后確定角的位置.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

目標(biāo)檢測(cè)題：

題組一：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義求7π6的三個(gè)三角函數(shù)值.

檢測(cè)目標(biāo)：利用三角函數(shù)單位圓定義法求特殊角的三角函數(shù)值.

（Ⅱ）已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P0（-12，5），求角α的三個(gè)三角函數(shù)值.

檢測(cè)目標(biāo)：利用三角函數(shù)終邊定義法求三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾?

題組二：（Ⅰ）設(shè)角α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在sin α，cos α，tan α，tan α2中，哪些有可能取負(fù)值？

檢測(cè)目標(biāo)：判定角的三角函數(shù)值的符號(hào).

（Ⅱ）已知角α滿足sin α<0，cos α>0，則角α為第幾象限角？

檢測(cè)目標(biāo)：根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號(hào)判定角的位置.

設(shè)計(jì)意圖：掌握三角函數(shù)值符號(hào)的規(guī)律.

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