吳天鳳，李 莉，楊洪濤*

（1.安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南232001；2.安徽理工大學(xué)礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽淮南232001）

1 引 言

直線導(dǎo)軌是實(shí)現(xiàn)高端數(shù)控機(jī)床進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)的根本，精確地對(duì)直線導(dǎo)軌誤差分析建模及補(bǔ)償，是提高機(jī)床加工精度的前提［1］。數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)常用堆棧式結(jié)構(gòu)工作臺(tái)，每個(gè)方向依靠?jī)筛本€導(dǎo)軌共同支撐。XY工作臺(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差是機(jī)床幾何誤差的重要組成部分，必須對(duì)其進(jìn)行全面補(bǔ)償才能提高機(jī)床加工精度［2-4］。

目前進(jìn)行數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償考慮的由于導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差引起的工作臺(tái)誤差主要包括定位誤差［5］、平動(dòng)誤差［6］和角度誤差［7］等，并將這些誤差代入多體系統(tǒng)誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行補(bǔ)償，取得了一定效果。由于導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差不僅與導(dǎo)軌系統(tǒng)本身質(zhì)量有關(guān)，而且受到運(yùn)動(dòng)速度、溫度等參數(shù)的影響［8］，X向?qū)к壥前惭b在Y向?qū)к壷希虼嗽诠ぷ髋_(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程中，Y方向?qū)к壪到y(tǒng)誤差不僅會(huì)產(chǎn)生本方向上常見的線值誤差和角度誤差，而且還會(huì)傳遞至安裝其上的X方向?qū)к壪到y(tǒng)，使其產(chǎn)生附加的線值和角度誤差，從而產(chǎn)生附加阿貝誤差［9］，與X向?qū)к壪到y(tǒng)原始阿貝誤差相互耦合，可見Y向?qū)к壪到y(tǒng)的誤差影響是二維的，與工作臺(tái)X向運(yùn)動(dòng)誤差之間存在相關(guān)性和抵償性。針對(duì)機(jī)床幾何誤差建模以及考慮到阿貝誤差的影響，現(xiàn)有的國內(nèi)外專家對(duì)此方向開展了許多研究。張恩忠等［10］利用激光干涉儀和溫度傳感器實(shí)際測(cè)量的數(shù)控機(jī)床定位誤差和溫度數(shù)據(jù)，建立了基于牛頓插值法和最小二乘法的幾何與熱復(fù)合誤差建模，并根據(jù)復(fù)合模型進(jìn)行了補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。但利用激光干涉儀測(cè)量數(shù)據(jù)過程中，不符合阿貝原則，因此實(shí)際定位誤差測(cè)量過程中會(huì)包含阿貝誤差的存在，造成補(bǔ)償結(jié)果不精確。趙狀等［11］基于阿貝原則對(duì)齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行了優(yōu)化，并基于阿貝原則和布萊恩原則推導(dǎo)了阿貝誤差對(duì)機(jī)床定位誤差精度影響的理論計(jì)算公式，并實(shí)測(cè)機(jī)床體對(duì)角線誤差進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，提高了幾何誤差補(bǔ)償效果，但是理論推導(dǎo)過程中并未考慮到工作臺(tái)下層導(dǎo)軌對(duì)上層導(dǎo)軌的附加影響，因此建立的阿貝定位誤差模型不精確。LIU等［12］對(duì)數(shù)控機(jī)床的幾何誤差測(cè)量進(jìn)行了研究，分析了阿貝誤差的產(chǎn)生原理。建立了基于阿貝原理的誤差模型，并通過軟件補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)阿貝誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，從而提高數(shù)控機(jī)床的加工精度。CHEN［13］等人對(duì)傳統(tǒng)兩維工作臺(tái)的定位誤差補(bǔ)償方法進(jìn)行了研究，提出一種利用CO2激光加工的方法對(duì)機(jī)床定位誤差預(yù)測(cè)和定位精度的校正。ZHONG等［14］提出一種五軸數(shù)控機(jī)床位置幾何誤差建模方法，建立了定位誤差模型，通過使用基于遞歸軟件的誤差補(bǔ)償方法對(duì)定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，提高了機(jī)床定位精度。

上述學(xué)者關(guān)于基于阿貝原則的機(jī)床幾何誤差建模以及定位誤差補(bǔ)償?shù)难芯恐?，基本上只考慮單一方向的導(dǎo)軌系統(tǒng)引起的阿貝誤差，造成機(jī)床誤差補(bǔ)償效果有限，因此本文對(duì)溫度作用下的數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)單向運(yùn)動(dòng)二維阿貝誤差的變化規(guī)律、傳遞機(jī)理和建模方法開展研究。

2 數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源及相關(guān)性分析

2.1 導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源分析

數(shù)控機(jī)床目前經(jīng)常采用的是堆棧式結(jié)構(gòu)XY工作臺(tái)，如圖1所示。X方向?qū)к壨ㄟ^溜板安裝在Y方向?qū)к壷?，工作臺(tái)則安裝在X導(dǎo)軌溜板的上面，待加工的工件則放在工作臺(tái)上［15］。每個(gè)方向?qū)к壪到y(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中均存在六項(xiàng)幾何誤差，包括三項(xiàng)平動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差［16］。當(dāng)導(dǎo)軌沿X方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，三項(xiàng)平動(dòng)誤差包括定位誤差σxx和Y方向上的直線度誤差σxy和Z方向上的直線度誤差σxz。三項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差包括偏擺角誤差εxz、俯仰角誤差εxy、滾轉(zhuǎn)角誤差εxx（誤差符號(hào)下標(biāo)的第一個(gè)字母表示運(yùn)動(dòng)的方向，第二個(gè)字母表示誤差產(chǎn)生的方向）如圖2所示。在溫度作用下，每項(xiàng)幾何誤差分量會(huì)產(chǎn)生附加熱誤差，包括偏擺角熱誤差俯仰角熱誤差和滾轉(zhuǎn)角熱誤差因此每項(xiàng)誤差分量分別是原始誤差分量、附加熱誤差的疊加。

圖1 數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of CNC machine tool table

圖2 三軸機(jī)床X向?qū)к壱苿?dòng)副6項(xiàng)誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of the six errors of X axis

2.2 XY工作臺(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差相關(guān)性分析

2.2.1Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運(yùn)動(dòng)Y方向誤差分析

設(shè)工件待加工點(diǎn)在XY工作臺(tái)上的理想位置坐標(biāo)為B(x，y)，X和Y向?qū)к壣系墓鈻虐惭b位置如圖1所示［17］。設(shè)X，Y軸光柵測(cè)量系統(tǒng)的讀數(shù)頭與零點(diǎn)之間的距離分別為x，y。當(dāng)工作臺(tái)沿著Y軸單向運(yùn)動(dòng)時(shí)，Y軸導(dǎo)軌存在由于機(jī)床制造精度等原因產(chǎn)生的幾何誤差，將相應(yīng)的線值和角度誤差分別用和俯仰角偏擺角滾轉(zhuǎn)角表示。由于溫度變化的影響［18-21］，Y向?qū)к壱泊嬖诹烁郊訜嵴`差：俯仰熱誤差偏擺熱誤差滾轉(zhuǎn)熱誤差因此Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運(yùn)動(dòng)時(shí)的各誤差分量分別是上述原始誤差、附加熱誤差的矢量和。

2.2.2Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運(yùn)動(dòng)各誤差分量對(duì)X軸導(dǎo)軌誤差相關(guān)性分析

因?yàn)槎褩Ｊ絏Y工作臺(tái)的特殊結(jié)構(gòu)，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)安裝在Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)上，所以在X軸導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的過程中，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差會(huì)通過溜板結(jié)構(gòu)傳遞至上層結(jié)構(gòu)，引起X方向?qū)к壆a(chǎn)生相應(yīng)的各種附加誤差，因此下面分析X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)各項(xiàng)誤差的特性和計(jì)算公式。

由上述分析可知，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身同樣存在了Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)類似的三項(xiàng)線值誤差σxx，σxy，σxz，和三項(xiàng)角度誤差，俯仰角偏擺角滾轉(zhuǎn)角包括由于溫度影響引起的附加熱誤差X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)三項(xiàng)線值誤差不受Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的影響，但是Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差會(huì)傳遞到X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)，因此X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合偏擺角βz(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身偏擺角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角的矢量和。

同理，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合俯仰角αx(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身俯仰角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角的矢量和。

同理，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合滾轉(zhuǎn)角γx(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身滾轉(zhuǎn)角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)俯仰角的矢量和。

3 導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差引起的XY工作臺(tái)阿貝誤差建模

3.1 阿貝偏移分析

在以光柵尺為位置控制單元的機(jī)床上，運(yùn)動(dòng)軸的位置是靠光柵測(cè)量系統(tǒng)實(shí)時(shí)反饋得到的，光柵尺的位置作為基準(zhǔn)測(cè)量軸線［11］。在XY工作臺(tái)誤差測(cè)量的過程中，從圖1可知，Y軸光柵尺的基準(zhǔn)線與待加工工件所在的測(cè)量線不在同一條直線上，不滿足阿貝原理［22］，因而存在阿貝誤差［23-24］。待加工點(diǎn)B與Y向光柵測(cè)量系統(tǒng)之間的阿貝偏移關(guān)系如圖3（a）所示，其中測(cè)量點(diǎn)B與光柵零點(diǎn)之間的直線距離為沿Y軸導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)的阿貝偏移大小。設(shè)Ax為該阿貝偏移在X方向上的分量大小，由機(jī)床的結(jié)構(gòu)分析可知，Ax與加工點(diǎn)B的X坐標(biāo)相關(guān)。同理Az為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點(diǎn)B的Z坐標(biāo)相關(guān)。

同理，待加工點(diǎn)B與X光柵測(cè)量系統(tǒng)之間的阿貝偏移如圖3（b）所示。By為該阿貝偏移在Y方向上的分量大小，與加工點(diǎn)B的Y坐標(biāo)相關(guān)。BZ為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點(diǎn)B的Z坐標(biāo)相關(guān)。

圖3 B點(diǎn)和光柵測(cè)量系統(tǒng)之間阿貝偏移示意圖Fig.3 Abbe offset diagram between point B and grating measuring system

3.2 阿貝誤差計(jì)算

3.2.1Y軸導(dǎo)軌單向運(yùn)動(dòng)一維阿貝誤差建模

在上述分析的Y向?qū)к壪到y(tǒng)俯仰和偏擺綜合角度誤差作用下，測(cè)量點(diǎn)B在Y向的阿貝誤差包括兩個(gè)分量δpy和δfy，其與對(duì)應(yīng)的阿貝偏移與角度誤差關(guān)系如圖4所示。

從圖4（a）可知，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)原始偏擺角β0yz和B點(diǎn)X方向上的阿貝偏移Ax聯(lián)合作用產(chǎn)生的偏擺阿貝誤差δpy可利用式（7）計(jì)算：

從圖4（b）可知，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)原始俯仰角和B點(diǎn)Z方向上的阿貝偏移Az聯(lián)合作用下產(chǎn)生的俯仰阿貝誤差δfy可利用式（8）計(jì)算：

因此由偏擺阿貝誤差δpy和俯仰阿貝誤差δfy聯(lián)合作用下的待加工點(diǎn)B在Y方向的阿貝誤差δy1為：

同理分析可知，在溫度綜合影響下的Y軸導(dǎo)軌單向運(yùn)動(dòng)一維阿貝誤差模型為：

圖4 待測(cè)量點(diǎn)B點(diǎn)沿Y導(dǎo)軌方向的阿貝誤差示意圖Fig.4 Abbe error diagram of point B to be measured along the Y guide rail

3.2.2X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差建模

從圖5（a）可知，X向偏擺阿貝誤差δpx是由X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角βz(x，y)和加工點(diǎn)B在Y方向阿貝偏移聯(lián)合作用的結(jié)果，如圖5（b）所示X向俯仰阿貝誤差δfx是X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)俯仰角αy(x，y)和加工點(diǎn)在Z方向阿貝偏移聯(lián)合作用結(jié)果。

圖5 B點(diǎn)沿X導(dǎo)軌方向阿貝誤差示意圖Fig.5 Abbe error diagram of point B to be measured along the X guide rail

在溫度綜合影響下的Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差對(duì)X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差模型為：

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 XY工作臺(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差相關(guān)性驗(yàn)證

從2.2節(jié)可知，XY工作臺(tái)X軸導(dǎo)軌的角度誤差不僅與X軸導(dǎo)軌自身的角度誤差有關(guān)，而且與Y軸導(dǎo)軌角度誤差相關(guān)。為了驗(yàn)證XY工作臺(tái)沿X，Y軸導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)角度誤差的相關(guān)性，由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，實(shí)際機(jī)床的控溫操作難度較大，因此本文實(shí)驗(yàn)部分暫時(shí)未考慮溫度作用下的導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差相關(guān)性影響，只著重于考慮在正常環(huán)境溫度下的角度相關(guān)性分析。下面以X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

圖6 誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.6 Experimental device for error measurement

本文以TONMAC數(shù)控銑床為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，利用RenishawXL-80雙頻激光干涉儀［25］測(cè)量機(jī)床工作臺(tái)沿X軸、Y軸導(dǎo)軌單獨(dú)運(yùn)動(dòng)時(shí)和X，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)45°對(duì)角線方向上聯(lián)動(dòng)時(shí)的X軸偏擺角度［26］，所搭建的實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示。圖6（b）顯示的是工作臺(tái)沿著X方向和Y方向同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)的偏擺角測(cè)量裝置，即激光干涉儀的參考鏡和反射鏡安裝在工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)的45°對(duì)角線方向上。根據(jù)所測(cè)量的機(jī)床工作臺(tái)實(shí)際行程限制，設(shè)置工作臺(tái)的測(cè)量行程為150 mm，采樣的間距為5 mm，上述三種運(yùn)動(dòng)模式下每種行程重復(fù)測(cè)量三次，取三次平均值作為最終誤差測(cè)量結(jié)果，誤差曲線如圖7所示。將測(cè)量得到的X軸導(dǎo)軌和Y軸導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)的偏擺角按照式（4）進(jìn)行矢量和，計(jì)算得到Y(jié)軸的相關(guān)性綜合偏擺角誤差曲線如圖7所示，可以看出，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合偏擺角整體上與工作臺(tái)X，Y軸聯(lián)動(dòng)測(cè)量的X軸偏擺角相比，誤差呈下降趨勢(shì)，且最大差值達(dá)到0.92弧秒（arc sec），可以證明公式（4）的準(zhǔn)確性。同理可以證明X軸導(dǎo)軌的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角計(jì)算公式（5）和（6）的準(zhǔn)確性。

圖7 X導(dǎo)軌偏擺角相關(guān)性驗(yàn)證圖Fig.7 X guide rail yaw angle correlation verification diagram

4.2 工作臺(tái)二維阿貝誤差修正效果驗(yàn)證

為了比較由于工作臺(tái)二維阿貝誤差對(duì)工作臺(tái)定位誤差的影響，本文利用XL-80雙頻激光干涉儀測(cè)量XY工作臺(tái)導(dǎo)軌沿對(duì)角線45°方向上聯(lián)動(dòng)的定位誤差和聯(lián)動(dòng)偏擺角，再分別測(cè)量出X軸導(dǎo)軌的偏擺角、俯仰角和Y軸導(dǎo)軌的偏擺角和俯仰角，測(cè)量行程和采樣間距與4.1節(jié)測(cè)量過程保持一致。

首先對(duì)測(cè)量得到的工作臺(tái)定位誤差進(jìn)行傳統(tǒng)的阿貝誤差補(bǔ)償，即在聯(lián)動(dòng)定位誤差的基礎(chǔ)上減去相應(yīng)偏擺角、俯仰角與對(duì)應(yīng)阿貝偏移的乘積，補(bǔ)償結(jié)果記為補(bǔ)償后定位誤差1；同理，利用誤差相關(guān)性和二維阿貝誤差對(duì)定位誤差進(jìn)行阿貝誤差補(bǔ)償，即在聯(lián)動(dòng)定位誤差的基礎(chǔ)上減去聯(lián)動(dòng)偏擺角與阿貝偏移的乘積以及Y軸導(dǎo)軌偏擺角、俯仰角與其對(duì)應(yīng)阿貝偏移的乘積（公式（11）），補(bǔ)償結(jié)果記為補(bǔ)償后定位誤差2，結(jié)果如圖8所示。

圖8 導(dǎo)軌系統(tǒng)阿貝誤差修正對(duì)比圖Fig.8 Abbe error correction comparison diagram of guide rail system

從圖8中可以看出，利用工作臺(tái)二維阿貝誤差補(bǔ)償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢(shì)，且比用傳統(tǒng)方法補(bǔ)償后的定位誤差1最大相差3 μm左右，占補(bǔ)償后的工作臺(tái)總誤差的三分之一，補(bǔ)償效果更好，因此本文建立的工作臺(tái)二維阿貝誤差補(bǔ)償模型更符合工作臺(tái)實(shí)際的誤差分布特點(diǎn)和規(guī)律。

5 結(jié) 論

本文詳細(xì)分析了數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運(yùn)動(dòng)各誤差分量對(duì)X軸導(dǎo)軌誤差相關(guān)性，建立了XY工作臺(tái)Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差和上層X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差相關(guān)性模型，從中可以得出，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)綜合偏擺角是X軸導(dǎo)軌自身偏擺角和Y軸導(dǎo)軌偏擺角的矢量和，X軸導(dǎo)軌綜合俯仰角是X軸導(dǎo)軌自身俯仰角和Y軸導(dǎo)軌滾轉(zhuǎn)角的矢量和，X軸導(dǎo)軌綜合滾轉(zhuǎn)角是X軸導(dǎo)軌自身滾轉(zhuǎn)角和Y軸導(dǎo)軌俯仰角的矢量和。

建立了Y向?qū)к壪到y(tǒng)的阿貝誤差和X向?qū)к壪到y(tǒng)二維阿貝誤差計(jì)算模型，分別進(jìn)行了X軸導(dǎo)軌和Y軸導(dǎo)軌角度誤差相關(guān)性驗(yàn)證和導(dǎo)軌系統(tǒng)定位誤差補(bǔ)償效果對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明利用工作臺(tái)二維阿貝誤差補(bǔ)償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢(shì)，且比用傳統(tǒng)方法補(bǔ)償后的定位誤差1最大相差3μm左右，占補(bǔ)償后的工作臺(tái)總誤差的三分之一。本文所建立的導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差模型更符合數(shù)控機(jī)床XY工作臺(tái)誤差的實(shí)際變化規(guī)律，利用該模型導(dǎo)軌進(jìn)行的工作臺(tái)聯(lián)動(dòng)定位誤差補(bǔ)償效果比傳統(tǒng)補(bǔ)償方法的修正效果更好，為提高機(jī)床加工精度和在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度打下理論基礎(chǔ)。