楊曉艷

[摘 ?要] 解析幾何中的角問題是高考的重點題型，該類問題常以圓錐曲線與直線為背景，構(gòu)建幾何角，探究角之間的數(shù)量關(guān)系. 合理轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵，文章以一道解析幾何倍角關(guān)系問題為例，開展問題透視，多解探究，并總結(jié)角轉(zhuǎn)化策略，結(jié)合實例拓展探究，同時基于教學(xué)實踐進行解后反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;離心率;斜率;傾斜角;方法

[?]考題再現(xiàn)，問題透視

1. 問題呈現(xiàn)

考題：（2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷第21題）雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上，當BF⊥AF時，

AF

=

BF

.

（1）求C的離心率;

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

2. 問題透視

上述是一道關(guān)于雙曲線與直線的解析幾何綜合題，考題共分兩問，第一問求雙曲線的離心率，考查離心率的相關(guān)知識;第二問則是關(guān)于倍角關(guān)系的證明題，問題依托雙曲線的頂點A、焦點F、曲線上的動點B構(gòu)建了∠BFA和∠BAF，考查圓錐曲線中的角計算和倍角轉(zhuǎn)化知識.

對于第一問，解析關(guān)鍵是從條件中提取關(guān)于a，b，c的一組關(guān)系，然后結(jié)合a2+b2=c2來逐步推導(dǎo). 而第二問的難點主要有兩個：一是如何轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的幾何角，二是如何構(gòu)建倍角關(guān)系. 解析時需要理清問題圖像，把握圖像特征，問題所涉∠BFA和∠BAF為△ABF的內(nèi)角，而該三角形較為特殊，探究倍角關(guān)系可將其放置在對應(yīng)三角形中，利用與“數(shù)”“形”結(jié)合緊密的三角函數(shù)來間接構(gòu)建.

[?]思路構(gòu)建，逐問突破

（1）可設(shè)雙曲線的半焦距為c，則右焦點F的坐標為（c，0），點B位于雙曲線上，則點B的坐標可表示為

c，±

. 又知

AF

=

BF

，則=a+c，故c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2，所以雙曲線C的離心率為2.

（2）點B位于第一象限，可設(shè)點B（x，y），其中x>a，y>0，因為雙曲線的離心率e=2，則c=2a，b=a，可求得雙曲線的漸近線方程為y=±x，所以∠BAF∈

0，

，∠BFA∈

0，

，可推知點A（-a，0），點F（2a，0）.

①當x>a，x≠2a時，根據(jù)正切與直線斜率關(guān)系可得tan∠BFA=-k=-= -，tan∠BAF=k=，所以tan2∠BAF====-=tan∠BFA. 因為2∠BAF∈

0，

，所以∠BFA=2∠BAF.

②而當x=2a時，由（1）問可得∠BFA=，∠FAB=，所以∠BFA=2∠BAF.

綜上可知，∠BFA=2∠BAF.

[?]切換視角，多解探究

上述在探究第（2）問的倍角關(guān)系時基于三角形引入了正切函數(shù)，并基于直線斜率與正切值的關(guān)系來轉(zhuǎn)化求解，從而完成了證明. 實際上對于該問還可以采用不同的方法加以突破，多解探究的視角有兩個：一是采用不同的方式設(shè)定點B的坐標;二是從不同視角處理其中的角問題. 下面詳細探究，全面呈現(xiàn)多解思路.

多解探究1——設(shè)定參數(shù)方程

上述基于雙曲線的標準方程設(shè)定了點B的坐標，實際計算時運算量較大，此時可考慮利用雙曲線的參數(shù)方程，設(shè)定點B的參數(shù)坐標，即點B（asecθ，atanθ），則根據(jù)原解法的思路可得tan∠BFA= -k=-=，tan∠BAF=k==，則tan2∠BAF=，整理可得tan2∠BAF=，即tan2∠BAF=tan∠BFA，結(jié)合角的取值范圍可確定∠BFA=2∠BAF.

評析：上述利用雙曲線的參數(shù)方程，設(shè)出動點B的參數(shù)坐標，后續(xù)計算有兩個優(yōu)勢：一是優(yōu)化了運算過程，二是避免了分類討論. 其中所涉角為三角形內(nèi)角是隱含條件，在倍角證明時要充分利用.

多解探究2——平面向量轉(zhuǎn)化

在處理解析幾何角的問題時除了可以利用直線斜率與正切關(guān)系外，還可以利用向量對角的反映，利用向量運算來推導(dǎo)關(guān)鍵條件.

設(shè)點B（x，y），由圓錐曲線的定義可得BF=2x-a，作∠BFA的角平分線，與AB交于點M. 由三角形的內(nèi)角平分性質(zhì)可得===，則可得向量關(guān)系=，即x+a=（x-x），可解得x==，所以有MA=MF，則∠BFA=2∠BAF.

評析：上述在計算證明倍角問題時引入了向量，利用向量運算推導(dǎo)出關(guān)鍵條件：MA=MF，該種方法是解析幾何常用的幾何法，核心思想是把握問題的幾何特征，結(jié)合解析運算挖掘幾何性質(zhì).

[?]方法總結(jié)，拓展探究

1. 方法總結(jié)

上述倍角問題可以歸結(jié)為解析幾何角問題，所涉兩角的顯著特點是角的一邊與坐標方向相一致，故可結(jié)合角與直線的傾斜角聯(lián)系來轉(zhuǎn)化構(gòu)建，即用點坐標來表示所要研究的角的正切值. 實際上解析幾何中的角問題還有如下三種情形，對于不同情形可采用不同的轉(zhuǎn)化方法.

情形一：當角的兩邊所在直線的斜率容易求得時，可將角看作是兩條直線的夾角，或一條直線到另一直線的旋轉(zhuǎn)角，此時可以利用到角與夾角公式來求解，所涉公式均與直線的斜率相關(guān)，故需要討論直線的斜率不存在的情形.

情形二：當一個角是銳角、直角或鈍角時，可將該角視為是兩個向量的夾角，則可將角條件轉(zhuǎn)化為點坐標之間的關(guān)系，需要關(guān)注的是兩個向量的夾角的大小范圍為[0，π].

情形三：當問題所涉為三角形的內(nèi)角時，可聯(lián)系三角形的其他邊、角條件，利用三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化角問題.

2. 拓展探究

問題：設(shè)橢圓C：+y2=1的右焦點為點F，過點F的直線l與C交于點A和B，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)坐標原點為O，試證明：∠OMA=∠OMB.

解析：（1）由題意可知右焦點F（1，0），直線l的方程為x=1，分析可得點A

1，

或

1，-

，所以直線AM的方程為y=-x+或y=x-.

（2）①當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

②當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)l的方程為y=k（x-1） （k≠0），設(shè)點A（x，y）、點B（x，y），則x，x<2，直線MA和MB的斜率之和可表示為k+k=+=. 聯(lián)立y=k（x-1）與+y2=1，整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，由根與系數(shù)關(guān)系可得x+x=，xx=，所以2kxx-3k（x+x）+4k=0，從而有k+k=0，故直線MA和MB的傾斜角互補，所以有∠OMA=∠OMB.

綜上可知，∠OMA=∠OMB.

評析：上述證明圓錐曲線中的角相等，對應(yīng)角可視為是兩條直線的傾斜角，故解析時充分利用了直線斜率的特殊結(jié)論，即若兩直線的斜率之和為0，則兩條直線的傾斜角互補. 另外對于解析幾何中的垂直問題，可用直線斜率之積為-1來加以證明，斜率的構(gòu)建思路與上述總結(jié)的方法相似.

[?]解后反思，教學(xué)建議

上述深入探究了解析幾何中角的問題，并總結(jié)了相應(yīng)的構(gòu)建思路，向量法、斜率法是常見的解析方法. 挖掘問題本質(zhì)，注重知識關(guān)聯(lián)，總結(jié)問題解法是解題探討的關(guān)鍵，下面基于教學(xué)實踐進行深入反思.

1. 透視考點，挖掘本質(zhì)

透視問題考點，挖掘問題本質(zhì)是解題探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，解析幾何綜合題所涉考點較為眾多，審題環(huán)節(jié)時要深刻理解題意，把握問題的考查方向、知識要點. 可提取問題的關(guān)鍵詞，結(jié)合圖像理解問題的構(gòu)建思路，然后關(guān)聯(lián)教材知識點，定位問題考點. 如上述考題證明解析幾何中的倍角關(guān)系，實則考查的是等角關(guān)系構(gòu)建，解析過程用到了直線斜率，故本質(zhì)上是關(guān)于直線傾斜角與斜率的問題. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生逐句審題，全方位思考，定位考點，重點剖析突破.

2. 知識關(guān)聯(lián)，形成體系

解析幾何兼具代數(shù)與幾何兩大知識模塊的特征，解析過程要充分把握曲線的函數(shù)與幾何屬性，從“形”的角度審視圖像，從“數(shù)”的角度逐步推理. 同時關(guān)注問題的知識關(guān)聯(lián)，挖掘定義的幾何意義，如離心率的幾何意義、斜率運算中特值的幾何意義等. 教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生充分探究圓錐曲線的知識考點，結(jié)合函數(shù)知識的研究方法，分析圖形變化，推導(dǎo)定理公式，立足知識聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識體系.