肖亞東

[摘 ?要] 平行四邊形的性質(zhì)是“平行四邊形”這一章的起始課. 對于起始課的教學，教師不但要完成本節(jié)課固有的知識教學，還要講清整章的知識脈絡. 這節(jié)課能否教好，不但取決于教者的已有認知水平，還取決于教者對教材的理解程度，對數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學文化的詮釋程度，以及能否將教材有機整合，能否做到與學生深度對話.

[關(guān)鍵詞] 變構(gòu);深度對話;裂變學力

變構(gòu)學材是一種真正的、深度的、最優(yōu)化的學習. 陸志強教師提出的“變構(gòu)學程，裂變學力”為變構(gòu)提供了具體的要求和操作規(guī)程. 要做到變構(gòu)學材，教師要對知識體系的銜接了如指掌，對學生的學習狀態(tài)一清二楚. 要做有價值的教學，要求教師與學生進行深度對話，而要做到深度對話，則需要教師從學生的角度去理解教材，用動態(tài)的眼光閱讀學材，關(guān)注學情，以任務為驅(qū)動，解構(gòu)舊知并與新知建立關(guān)聯(lián)，同時不斷地反思知識體系、調(diào)整知識體系，并構(gòu)建新的知識體系. 下面，筆者以“平行四邊形”（人教版）的章起始課為例，嘗試變構(gòu)學材，力求與學生進行深度對話.

課例

1. 探索新知

師：請同學們仿照研究等腰三角形的步驟和方法，來研究特殊的四邊形——平行四邊形.（教師板書，并在黑板上畫出一個平行四邊形）

活動一：操作實踐.

師：請同學們拿出事先準備好的兩個全等三角形，然后拼圖. 看看能拼出多少個不同的四邊形.

（學生操作并畫出拼成的四邊形. 同時，教師引導學生將這些四邊形進行分類. 這些四邊形大致可以分為兩類，一類是鄰邊相等的四邊形，另一類是對邊相等的四邊形. 我們把鄰邊相等的四邊形形象地稱為“箏形”. “箏形”這一名詞在人教版教材“軸對稱”一章的數(shù)學活動中有所提及. 而把另一類對邊相等的四邊形稱為平行四邊形）

師：同學們在小學已經(jīng)學過平行四邊形了，下面請同學們回憶一下什么是平行四邊形，即平行四邊形的定義.

生1：對邊平行的四邊形是平行四邊形.

師：生1的說法全面嗎？

生2：應該是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

師：生1說的為什么不對呢？

生3：因為梯形也有對邊平行.

師：對！梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行.

（教師板書，并規(guī)范講解平行四邊形的表示方法）

師：請同學們對照圖形（此處圖形略）說出平行四邊形的基本元素，即分別說出對邊、鄰邊、對角、同旁內(nèi)角.

（學生依次說出了對邊、鄰邊、對角、同旁內(nèi)角）

師：請同學們通過觀察與測量，猜想這些元素之間的關(guān)系，并嘗試用文字語言表達出來.

（學生動手測量，并歸納總結(jié)）

生4：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對邊平行.

師：好，這由定義可知. 定義是最原始的性質(zhì)，也是最原始的判定. （此時教師寫下符號語言）

接下來，教師引導學生繼續(xù)探究平行四邊形的性質(zhì). 通過探究與討論，學生得出如下結(jié)論：

平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等;平行四邊形的同旁內(nèi)角互補.

師：接下來，請同學們證明剛才總結(jié)的平行四邊形的其中兩條性質(zhì)——對邊相等、對角相等. 證明時要注意什么？

生5：證明文字命題時要注意寫出已知、求證和證明過程.

（通過證明這兩個命題正確，師生共同得到平行四邊形的性質(zhì)——對邊相等、對角相等）

設計意圖 上述過程通過對平行四邊形的探索，進一步鞏固了探索等腰三角形的步驟，從而將研究幾何問題的經(jīng)驗加以固化. 同時，讓學生明白研究四邊形問題可以將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，這也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想. 特別地，在證明命題的過程中，教師要引導學生學會用定義去證明.

活動二：如何判斷一個四邊形是平行四邊形呢？

預設效果：首先，學生想到的是平行四邊形的定義，然后教師引導學生通過添加邊或角的條件進一步得出其他判定方法. 學生通過討論，會得到如下命題.

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

接下來，教師讓學生證明這些命題是否正確.

設計意圖 教師引導學生通過寫平行四邊形的性質(zhì)的逆命題得到平行四邊形的判定命題，接著讓學生證明命題是否正確. 在證明的過程中，教師引導學生將研究四邊形的問題轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題，即找三角形全等的條件.

2. 鞏固新知

例題 （1）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，∠A ∶ ∠B=2 ∶ 3，求平行四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù).

（2）如圖1所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，求平行四邊形ABCD各邊的長.

變式 （1）如圖2所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，點E在CD上，若AE平分∠BAD，求CE的長.

（2）如圖3所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，點E在CD上，點F在AB上，若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求證：DE=BF.

（3）如圖4所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，E，F(xiàn)兩點在CD上，若AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，則AE與BF之間存在怎樣的位置關(guān)系？

（4）如圖5所示，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).

①求證：DE=BF.

②若在CD上任意取一點M作MN⊥AB，垂足為N，則DE，MN，BF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？從中你能得出什么結(jié)論？

設計意圖 上述題組訓練能讓學生進一步鞏固平行四邊形的性質(zhì)，且通過不斷添加條件，不僅會讓學生得到不同的結(jié)論，還會達到一圖多變、一題多變的目的，能培養(yǎng)學生思維的廣闊性、靈活性、發(fā)散性. 解題過程中還提煉出了等腰三角形（由平行、角平分線得出）數(shù)學模型，教師強調(diào)后，能增強學生的模型意識.

3. 課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)課的學習，你們有哪些收獲？

預設效果：（學生的回答）平行四邊形的定義、性質(zhì)，通過類比研究等腰三角形的方法得出平行四邊形的性質(zhì)和判定;研究四邊形時可以將其轉(zhuǎn)化為研究三角形，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想;遇到比例可以列方程求解，體現(xiàn)了方程思想.

師：（總結(jié)）以后我們在學習新的圖形時，可以運用研究已有圖形的經(jīng)驗來研究新的圖形，以達到觸類旁通的目的. 平行四邊形有對角線，對角線之間有什么關(guān)系，這是下節(jié)課研究的內(nèi)容. 當然，后面我們還要研究平行四邊形的判定，以及特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定，希望同學們能夠帶著已有的經(jīng)驗繼續(xù)研究.

關(guān)于課例的幾點說明

1. 變構(gòu)學材的出發(fā)點

李庾南教師曾說過，培養(yǎng)與發(fā)展學力的教學才是真正有價值的教學. 平行四邊形的性質(zhì)課例有若干種，有的教師從學生的感官出發(fā)，通過實物展示總結(jié)出平行四邊形;有的教師從拼圖開始，剪兩個完全相同的三角形，通過拼圖得出不同的幾何圖形，再將這些圖形進行分類，總結(jié)出平行四邊形. 而筆者從學生的已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過舊知引入新知，前后銜接自如、方法恰當，且進一步推廣和應用了研究幾何圖形的經(jīng)驗. 本課例在變構(gòu)的過程中吸取了陸志強教師提出的“變構(gòu)學程，裂變學力”精華，從學生的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，在學生的知識生長點處進行變構(gòu)，這與傳統(tǒng)的課例相比，過程更流暢.

2. 變構(gòu)學材的過程就是與學生深度對話的過程

“平行四邊形”（人教版）這一章的前言明確指出，“利用已有的幾何知識和方法，探索并證明它們（指平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)定理和判定定理. 進一步體會研究圖形幾何性質(zhì)的思路和方法，即通過觀察、類比、特殊化等途徑和方法發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)，再通過邏輯推理證明它們”. 可見，教師在備課的過程中，不但要備文本內(nèi)容，還要認真地研讀教材的章首語，仔細推敲每一句話的內(nèi)涵，結(jié)合學生的認知規(guī)律，在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)開展有效的教學，這就是與學生的深度對話，也是從“教教材”到“用教材教”的轉(zhuǎn)變. 本課例做到了回顧舊知與探索新知的深度對話，掌握證明與思想方法的深度對話，了解新知由來與舊知體系的深度對話. 與學生深度對話，就是從學生的內(nèi)心深處出發(fā)，挖掘?qū)W生的邏輯生長點，符合學生的認知規(guī)律，讓學生碰撞思維的火花，從而享受到學習的快樂. 平行四邊形不是孤立的，它其實是三角形知識的延續(xù)，且研究平行四邊形的性質(zhì)與判定定理對后續(xù)研究特殊平行四邊形、梯形等幾何圖形有正向的引導作用.

3. 漸次生成結(jié)構(gòu)化板書

美國教育心理學家奧蘇貝爾提出了“先行組織者”這一概念. 所謂“先行組織者”，就是先于具體的教學內(nèi)容而向?qū)W生呈現(xiàn)的一種引導性材料，它要求比新知識本身具有較高的抽象、概括和綜合水平，能清晰地說明學生認知結(jié)構(gòu)中原有的知識與新知識的關(guān)聯(lián)，用最基本的常識性的概念來勾勒整體輪廓，使學生獲得一個總體印象. 在執(zhí)教的過程中筆者發(fā)現(xiàn)，僅憑語言的講解，教學會顯得蒼白無力，教學應重點抓住主要知識的生成過程. 在知識生成的過程中，教師要善于捕捉信息，將主要的知識點依次羅列下來呈現(xiàn)在黑板上，最后小結(jié)時形成結(jié)構(gòu)化的板書. 比如上述課例，可以羅列出與下列問題有關(guān)的知識點：三角形與四邊形有怎樣的關(guān)系？怎樣類比三角形研究四邊形？從哪些方面進行類比？類比研究的方法有哪些？后續(xù)有待研究的知識有哪些？根據(jù)上述知識點，最后勾畫出完整的知識導圖，為后續(xù)學習內(nèi)容的研究指明方向.

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