汪曉慧

[摘 ?要] 數(shù)學學習的主要內(nèi)容應(yīng)該是數(shù)學的結(jié)構(gòu). 讓學生學會如何去思考，如何將新的思維、知識、方法等納入認知結(jié)構(gòu)，是數(shù)學教學的關(guān)鍵所在. 文章通過一節(jié)專題復(fù)習課的反思，談?wù)勗诮虒W中如何有效地設(shè)計教學主線，提升學生學習的有效性，促進學生提升數(shù)學核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 認知結(jié)構(gòu);主線設(shè)計;專題復(fù)習

數(shù)學學習，解題是其中非常重要也是極其關(guān)鍵的一種形式，“數(shù)學學習是數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的組織（同化）和重新組織（順應(yīng)）并形成新結(jié)構(gòu)的過程，即是一個‘再創(chuàng)造’過程”[1]. 因此，在日常教學中，尤其是在專題復(fù)習的過程中，如何有效地提高學生分析、解決問題的能力就顯得至關(guān)重要. 隨著教學改革的推進，我們對教師教學、學生學習的研究越來越多，越來越明顯地強調(diào)學生的學習. 但是在實際的教學中，背誦加模仿操練的模式還是隨處可見，這樣的情況產(chǎn)生的是碎片化學習. 教師的教學就題論題，學生的學習模仿操練，嚴重影響了教學效果的提升，加重了教學負擔和學習壓力.

數(shù)學是一門結(jié)構(gòu)性很強的學科. 在教學中，對數(shù)學知識、思維、方法等結(jié)構(gòu)的研究和思考還是比較缺乏的，而數(shù)學知識、思維、方法等結(jié)構(gòu)又是數(shù)學學習的基礎(chǔ)和關(guān)鍵. “數(shù)學知識不是孤立的單點或離散的片段，數(shù)學方法也不是個別無關(guān)的一招一式，它們血肉相連，組成一條一條的‘知識鏈’，并組合為知識體系，形成一定的知識結(jié)構(gòu).”[2]在教學中，尤其是在復(fù)習課的教學中，就題論題、就事論事的情況仍然常見，將數(shù)學復(fù)習理解為解題，并認為僅靠解題就能提升學生對概念的理解、定理的運用，這是非常危險的，對學生的數(shù)學學習造成的負面影響也是非常大的. 顧廣林曾指出：“讓學生學到結(jié)構(gòu)化的知識，形成完整的認知結(jié)構(gòu)，應(yīng)是復(fù)習課的追求. ”[3]因此在教學中，教師要努力讓學生形成結(jié)構(gòu)化知識、結(jié)構(gòu)化思維、結(jié)構(gòu)化方法. 下面，筆者將以一節(jié)初三（九年級）二次函數(shù)背景下相似問題的專題復(fù)習課為例，談?wù)剬ｎ}復(fù)習課教學主線的設(shè)計.

本節(jié)課的主線設(shè)計

1. 教學主線的設(shè)計

本節(jié)課是一節(jié)初三（九年級）的專題復(fù)習課，知識點相對集中，需要學生對二次函數(shù)、相似三角形等知識的綜合理解和運用，其中最關(guān)鍵的是相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用.

首先，相似三角形的判定及性質(zhì)涉及較多的數(shù)學定理，尤其是對定理條件的熟練應(yīng)用是關(guān)鍵. 我們知道“相似”追根溯源是“全等”的一般化，因此對其本源性知識要有一個全面的理解，通過邊角滿足的條件進行分析.

其次，本節(jié)課是在二次函數(shù)背景下解決問題，所以有其特殊性，需要綜合考慮二次函數(shù)的相關(guān)知識及二者（二次函數(shù)、相似三角形）在相應(yīng)背景下產(chǎn)生的新問題.

第三，本節(jié)課主要考慮的是相似三角形的問題，所以需要從相似三角形條件的變換、要素的交替進行思考分析.

第四，問題分析過程中，確定性和不確定性是難點所在，對于問題中的不確定性因素，發(fā)現(xiàn)并分析其中的規(guī)律，找出解決辦法.

在這樣的分析過程中，可以引導(dǎo)學生真正理解相似相關(guān)知識的本質(zhì)，理解其在二次函數(shù)背景下相關(guān)問題的特殊性.

2. 學情的綜合分析

本節(jié)課需要考慮的是在二次函數(shù)的背景下相似三角形的判定問題，因此要求學生熟練掌握相似三角形的知識，尤其是其判定定理;需要學生根據(jù)已知條件對相似三角形的判定進行分類討論，因此要求學生對于不確定情形下的問題能進行合理適當?shù)姆诸愑懻?需要考慮在綜合的背景下對相似問題的解決，這對學生分析問題、解決問題、推理能力等方面都有較高的要求.

因此，在學生的學習過程中，本節(jié)課的重點是讓學生能根據(jù)已知條件確定相似三角形的全定條件及相似三角形的對應(yīng)關(guān)系;同時，有兩個難點需要引起注意，一是對相似三角形對應(yīng)關(guān)系的確定，二是對相似三角形問題中出現(xiàn)的不確定性問題的分類討論.

3. 教學實施過程

問題的提出應(yīng)該建立在問題發(fā)生、發(fā)展合力的基礎(chǔ)上，同時在問題歸納推理的前提下. 本節(jié)課主要是提煉學生在學習過程中遇到的、顯現(xiàn)出來的一系列問題背后的規(guī)律、模式化知識和方法，以更加有效地納入學生的認知結(jié)構(gòu). 教學設(shè)計要關(guān)注學生的自主學習，要在學生學習過程中一些關(guān)鍵的地方進行指導(dǎo)、提煉，引導(dǎo)學生順利完成學習活動. 具體的實施過程如下：

（1）引入問題.

分析前一天回家作業(yè)的第一題，重點是第三小問的解決思路. （引例）如圖1所示，已知拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），B（9，10），AC∥x軸.

①求這條拋物線的解析式;

②求tan∠ABC的值;

③若點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上的一點，當△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標.

設(shè)計意圖 ?通過對前一天布置的回家作業(yè)的第一題的第三小問的分析解答，引出本節(jié)課主要解決的問題，同時通過分析，明晰這類問題常規(guī)的解決思路.

（2）學習新課.

問題1：如引例，其他條件不變，第三小問分別改為以下情形.

情形1：如圖2所示，點M是拋物線對稱軸上的一點，△CDM與△ABC相似，求點M的坐標.

情形1與引例基本類似，屬于“兩個三角形中一個全定、一個待定，并且有一個角對應(yīng)相等”的模型，因此本題由學生自主解答，強化引例的思路和方法的運用.

情形2：如圖3所示，點M是y軸上的一點，點N是直線AC上的一點，△ACM與△ABN相似，求點M的坐標.

情形2與之前的情形有所區(qū)別，屬于“兩個三角形都不確定，但各有一個固定角”的模型，通過互推確定這兩個三角形，進而解決問題. 本情形中隱含了分類討論思想，在教學中要關(guān)注學生分類討論意識的形成，這也是本節(jié)課的“暗線”所在.

情形3：如圖4所示，點M是拋物線對稱軸上的一點，點N是直線AC上的一點，△ACM與△ABN相似，求點M的坐標.

情形3屬于“兩個三角形都不確定，但其中一個定角，一個定形狀”的模型，可通過相似關(guān)系解決. 本情形仍然考查學生由問題的不確定性而引起的分類討論思想.

設(shè)計意圖 ?對于這樣三個情形的設(shè)計，引導(dǎo)學生有目的、有方向、有邏輯地分析、思考問題，而不是試運氣. 在對這幾個問題的綜合分析、梳理下，引導(dǎo)學生形成二次函數(shù)背景下相似問題的基本分析套路，能有方法解決問題;清楚學生分析問題的思路，明確學生解決問題的方向，優(yōu)化學生應(yīng)用模式的途徑.

問題2：由“課前練習2”引入問題. （課前練習2）如圖5所示，已知拋物線經(jīng)過點A（0，3），B（4，1），C（3，0）.

①求該拋物線的解析式;

②連接AC，BC，AB，求∠BAC的正切值;

③點P是該拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，過點P作PG⊥AP交y軸于點G，當點G在點A的上方，且△APG與△ABC相似時，求點P的坐標.

本題表面上看似一個三角形全定、一個三角形待定，與前面的第一種情形相同，但實際上按照前面的方法并不好解決此題，此時需要綜合學生的知識技能，通過轉(zhuǎn)化解決問題.

設(shè)計意圖 ?在學生形成了一定解決思路和模式的情況下，回到“一個三角形全定、一個三角形待定”的情形卻與之前的解決方法不一樣，突破學生的固化思維，讓學生在模式化學習中能自由運用.

4. 歸納反饋

通過課堂歸納、課后鞏固等環(huán)節(jié)，提煉、優(yōu)化本節(jié)課的教學主線，明了提出問題、分析問題、解決問題的認識主線，進一步提升本節(jié)課的教學效果.

教學主線的設(shè)計建議

章建躍博士認為，課堂教學主線是教師在“理解數(shù)學”“理解教學”“理解學生”的基礎(chǔ)上形成的課堂結(jié)構(gòu)和教學線索，其基本表現(xiàn)形式是反映當前數(shù)學知識本質(zhì)、具有邏輯關(guān)聯(lián)性、循序漸進、逐步深入的“問題串”. 同時強調(diào)，教學主線一定要反映學生的認知規(guī)律[4]. 所以在教學中，設(shè)計有效的“問題串”是整節(jié)課成敗的關(guān)鍵因素，而“‘問題串’是教學進程的鏈條，‘問題串’要突出所授內(nèi)容的結(jié)構(gòu)”. 實際上，好問題的創(chuàng)設(shè)應(yīng)成為教師教學設(shè)計的基本追求之一.

（1）要有好問題. 根據(jù)章建躍博士的意見，一節(jié)好課應(yīng)該有“一串”好問題. 這些問題應(yīng)該是在“理解數(shù)學”“理解教學”“理解學生”的基礎(chǔ)上形成的有助于學生完善知識結(jié)構(gòu)、提升思維結(jié)構(gòu)、優(yōu)化方法結(jié)構(gòu)的一連串問題. 一節(jié)課的問題不在于多少，而在于問題的質(zhì)量、問題的廣度和深度，以及提出問題的契機、方式和形式，還有學生解決問題的自覺性、獨立性和積極性.

（2）整體符合規(guī)律. 章建躍博士特別強調(diào)，教學主線一定要反映學生的認知規(guī)律. 我們的教學主線不但要符合學生的認知規(guī)律，還要切合教學實際，符合學生的成長規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，符合學生認知結(jié)構(gòu)形成、完善的規(guī)律，要有利于學生將新的知識、方法、思想納入認知結(jié)構(gòu)，完善新的結(jié)構(gòu)，而不是對一些所謂的方法、技能、技巧死記硬背. 畢竟在數(shù)學學習的過程中，尤其是隨著年齡的增加，知識難度逐漸加大，真正需要去記憶的東西會越來越少，更多的數(shù)學問題都可以通過對數(shù)學概念的理解并結(jié)合主觀能動性進行推理解答.

（3）利于結(jié)構(gòu)完善. 李昌官博士認為，數(shù)學是結(jié)構(gòu)性很強的學科，數(shù)學教學應(yīng)堅持結(jié)構(gòu)性原則[5]. 現(xiàn)在的教學中存在著一個非常普遍的現(xiàn)象，即教知識、不教結(jié)構(gòu)，所以導(dǎo)致學生獲得的是零散的知識，未能將知識組織、聯(lián)系在一起，這就是為何會有很多知識豐富、能力低下的現(xiàn)象. 因此，如何在教學中強化知識之間的聯(lián)系，幫助學生形成、發(fā)展、完善知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)，應(yīng)該成為教師最關(guān)鍵或最重要的任務(wù)之一.

書本上的知識是靜態(tài)的，教師實施教學，非常關(guān)鍵的一點就是要讓這種靜態(tài)的知識動起來，讓動態(tài)的知識成為學生完善認知結(jié)構(gòu)的催化劑. 我們要意識到并始終牢記：知識的作用主要不是知識量的作用，而是知識的有效結(jié)構(gòu)的作用[6]. 尤其是在復(fù)習課中，就題論題，大搞題海戰(zhàn)術(shù)無益于學生的成長，只有將課上所講的內(nèi)容有機地串接起來，形成有效的結(jié)構(gòu)，才能最大限度地提升學生的學習效率.

參考文獻：

[1]黃偉. 中小學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)探究[J]. 重慶教育學院學報，2005（06）.

[2]俞健，蘇擁英. 知識結(jié)構(gòu)對解題過程影響的一些嘗試[J].數(shù)學學習與研究，2015（01）.

[3]顧廣林. 用“結(jié)構(gòu)化”引領(lǐng)復(fù)習課教學——直角三角形復(fù)習課的教學實錄與反思[J]. 中學數(shù)學月刊，2017（12）.

[4]章建躍. 章建躍數(shù)學教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.

[5]李昌官. 論數(shù)學教學的結(jié)構(gòu)性原則[J]. 中小學數(shù)學（高中版），2017（10）.

[6]易廣聰. 重視知識結(jié)構(gòu)的形成 ?提高學生的數(shù)學素質(zhì)[J]. 現(xiàn)代教育論叢，1998（04）.

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