林漢

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模本身并非顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是屬于能力與素養(yǎng)范疇的知識(shí)，因此對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的教學(xué)更多的應(yīng)當(dāng)是滲透與融合的思路. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法，滲透數(shù)學(xué)建模思想，可以有效地促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高中學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)課堂;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)建模方法

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型的建立與運(yùn)用是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容. 在核心素養(yǎng)培育的背景之下，數(shù)學(xué)建模更是被納入數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，成為其組成要素之一. 那么，在核心素養(yǎng)培育的背景之下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值呢？其中最關(guān)鍵的還是要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模方法. 考慮到數(shù)學(xué)建模本身并非顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是屬于能力與素養(yǎng)范疇的知識(shí)，因此對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的教學(xué)更多的應(yīng)當(dāng)是滲透與融合的思路. 事實(shí)上，從學(xué)生開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，數(shù)學(xué)建模就已經(jīng)存在了. 而初中數(shù)學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中發(fā)揮著承上啟下的作用，既銜接小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，又為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模方法，既是對(duì)學(xué)生此前獲得的數(shù)學(xué)建模思路進(jìn)一步地強(qiáng)化，也是為今后建構(gòu)更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系奠定基礎(chǔ). 從這個(gè)角度來看，數(shù)學(xué)建模思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的思想，學(xué)生需要掌握一定的建模方法，才能更好地發(fā)展思維能力，提高綜合素質(zhì).

在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野里，對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解有兩個(gè)層次：一是狹義的數(shù)學(xué)建模，即指建立實(shí)物數(shù)學(xué)模型;二是廣義的數(shù)學(xué)建模，即指建立起能夠運(yùn)用于具體問題的解決過程中的模型. 數(shù)學(xué)本身是一門抽象的學(xué)科，因此對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)本著廣義的思路，將數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)規(guī)律都納入數(shù)學(xué)建模及其研究的視野當(dāng)中. 而對(duì)學(xué)生來說，形成“數(shù)學(xué)概念及規(guī)律就是解決數(shù)學(xué)問題的工具（模型）”的認(rèn)識(shí)，原本也屬于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本內(nèi)涵. 有了這樣的理解之后，再思考數(shù)學(xué)建模方法的融合，也就更加貼近實(shí)際了.

初中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建模方法的理論梳理

本課題的研究有兩個(gè)層次：一是對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的梳理，二是對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法的梳理. 從理論的角度來看，數(shù)學(xué)建模方法是比較豐富的，適合初中生學(xué)習(xí)與運(yùn)用的數(shù)學(xué)建模方法有層次分析法、聚類分析法、回歸分析法等（數(shù)學(xué)建模方法遠(yuǎn)不止這些）. 這些方法有一個(gè)共同的特征就是分析，通過分析可以剝離研究對(duì)象的一些非數(shù)學(xué)屬性，只留下體現(xiàn)一定邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)屬性，最終就可以成為一個(gè)數(shù)學(xué)模型. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所強(qiáng)調(diào)的“過程與方法”這一維度的目標(biāo)，同時(shí)也是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具體組成要素落地途徑的一種探究. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，而且要將數(shù)學(xué)建模能力上升為建模思想. 數(shù)學(xué)教師要研究數(shù)學(xué)建模思想的形成途徑，并在建模過程中通過模型的運(yùn)用及用后反思，來幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)，進(jìn)而形成建模思想.

對(duì)于“二元一次方程組”這部分知識(shí)，最基本的教學(xué)要求就是讓學(xué)生掌握二元一次方程組的概念. 稍有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)教師都知道，掌握概念的過程并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的背誦定義的過程，學(xué)生知道了“每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”，并不意味著學(xué)生掌握了二元一次方程組這個(gè)概念，因?yàn)閺恼J(rèn)知的角度看，這只是“知其然”，學(xué)生未必“知其所以然”. 在數(shù)學(xué)中為什么要引入二元一次方程組？二元一次方程組在實(shí)際的問題解決當(dāng)中有哪些運(yùn)用價(jià)值？從這些問題的回答可以看出學(xué)生是否經(jīng)歷二了元一次方程組概念建立的過程，在教學(xué)中教師只有將這個(gè)過程建立起來，讓學(xué)生去體驗(yàn)和分析，這樣的教學(xué)才是有效的.

初中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建模方法的實(shí)踐探索

通過上述分析，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)作為建構(gòu)新知識(shí)及解決問題的工具性存在，讓數(shù)學(xué)知識(shí)的作用“模型化”是數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)的重要思路. 實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境中，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的運(yùn)用中，在數(shù)學(xué)問題的解決中，都存在著融入數(shù)學(xué)建模思想的空間.

以二元一次方程組為例，教師可以給出具體的問題情境，讓學(xué)生進(jìn)入情境去思考相關(guān)的數(shù)學(xué)量及其關(guān)系. 比如人教版教材中該章節(jié)的引言里有這樣一個(gè)問題：籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分，某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分，那么這個(gè)隊(duì)的勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？

這個(gè)情景素材對(duì)于初中學(xué)生來說并不陌生，在實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中，學(xué)生也會(huì)積極地加工這一素材并找到其中的關(guān)系. 此時(shí)，教師就可以借助回歸分析法（統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一種分析數(shù)據(jù)的方法，其作用在于研究了解兩個(gè)或者多個(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)與具體的關(guān)系），讓學(xué)生去分析情境中涉及的量與關(guān)系（這一點(diǎn)要說明白，要成為學(xué)生的顯性認(rèn)識(shí)）. 當(dāng)然，這里沒有必要向?qū)W生介紹“回歸分析法”這一方法的名稱，只需讓學(xué)生體驗(yàn)這種方法的運(yùn)用過程即可. 事實(shí)證明，當(dāng)初中學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，他們很容易發(fā)現(xiàn)籃球比賽的場(chǎng)數(shù)與積分是兩個(gè)關(guān)鍵量，如果將這兩個(gè)量分別設(shè)為x和y，那么很自然地就得到了x+y=10和2x+y=16這兩個(gè)方程. 將這兩個(gè)方程聯(lián)立起來，就組成一個(gè)二元一次方程組.

當(dāng)然，此時(shí)要得出二元一次方程組的概念還為時(shí)尚早，教師應(yīng)當(dāng)采取變式的方式，再給學(xué)生提供兩個(gè)情境，讓學(xué)生去解決兩個(gè)問題，得到兩個(gè)二元一次方程組. 當(dāng)三個(gè)二元一次方程組呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，再讓學(xué)生進(jìn)行分析與歸納，最終得出這些方程組的共同特征，即含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1. 如此，建立二元一次方程組的概念的過程，就是一個(gè)運(yùn)用回歸分析法建立數(shù)學(xué)模型的過程.

評(píng)估這樣的教學(xué)過程，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在情境當(dāng)中運(yùn)用分析的方法得出基本關(guān)系，在梳理關(guān)系的基礎(chǔ)上總結(jié)出數(shù)學(xué)特征，然后用一個(gè)專門的數(shù)學(xué)概念來概括這一特征，體現(xiàn)最本質(zhì)的數(shù)學(xué)關(guān)系，由此便建立起了數(shù)學(xué)模型. 這種模型建立的過程，對(duì)于學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，是有著積極意義的.

初中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建模方法的價(jià)值總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法，其意義不言而喻. 首先，它改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中過于強(qiáng)調(diào)知識(shí)教學(xué)，只重視學(xué)生應(yīng)試能力培養(yǎng)的狀態(tài)，真正將課程改革所提出的三維目標(biāo)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育作為教學(xué)的重要任務(wù)，這是一個(gè)顯著的進(jìn)步. 其次，從學(xué)生的角度來看，在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性更強(qiáng)，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)的意識(shí)更強(qiáng)，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用也更加流暢. 這說明只要給學(xué)生提供一個(gè)良好的學(xué)習(xí)平臺(tái)，數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的一些理想目標(biāo)會(huì)更容易實(shí)現(xiàn).

堅(jiān)持這樣的教學(xué)思路還有一個(gè)好處，就是學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程當(dāng)中，對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的運(yùn)用從陌生走向熟悉，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，他們?cè)谶@種潛移默化的學(xué)習(xí)過程中所形成的能力，可以有效地遷移到新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題解答的過程當(dāng)中，而這正是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)基本特征. 換句話說，重視數(shù)學(xué)建模方法的融入，可以讓初中數(shù)學(xué)課堂由淺層走向深入. 因此，從某種意義上來看，以在課堂上融入數(shù)學(xué)建模方法為突破口來優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)，可能是一個(gè)有益的思路.

總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法，滲透數(shù)學(xué)建模思想，可以有效地促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高中學(xué)生解決實(shí)際問題的能力. 學(xué)生的這種能力一旦形成，便可讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果，這在很大程度上可以改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)枯燥難學(xué)的觀感，從而讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠真正地發(fā)揮承上啟下的積極作用.

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