杜曉亮

[摘? 要] 期末復(fù)習(xí)課的有效性問題，一直是一線教師教學(xué)研究的重點(diǎn). 構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的期末復(fù)習(xí)課，不僅可以讓學(xué)生掃清知識盲區(qū)，還可以站在全局角度去看待一個學(xué)期的學(xué)習(xí)內(nèi)容，真正做到前后勾連、融會貫通.

[關(guān)鍵詞] 期末復(fù)習(xí)課;聯(lián)系拓展;前后一致.

復(fù)習(xí)課是一種重要的課型，也是令教師頭疼的一種課型. 頭疼的是上完復(fù)習(xí)課的效果不佳：似乎會的學(xué)生仍然會，不會的學(xué)生仍然不會，學(xué)生并沒有因復(fù)習(xí)課而生長、成長. 因此，如何上復(fù)習(xí)課是非常值得教師去研究和思考的. 下面以北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊的一節(jié)期末復(fù)習(xí)課“從線段的中點(diǎn)談起”為例，闡述筆者的一些嘗試與思考.

教學(xué)過程

1. 課前導(dǎo)學(xué)，復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

（1）線段的中點(diǎn)：線段中點(diǎn)的圖形及符號語言. 線段中點(diǎn)的三種表示方法（如圖1所示）：

①因?yàn)镃是線段AB的中點(diǎn)，所以____=____.

②因?yàn)镃是線段AB的中點(diǎn)，所以____=2____，或____=2____.

③因?yàn)镃是線段AB的中點(diǎn)，所以____=____，或____=____.

反之推理，仍然成立：

①因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB上，且____=____，所以C是線段AB的中點(diǎn).

②因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB上，且____=2____，或____=2____，所以C是線段AB的中點(diǎn).

③因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB上，且____=____，或____=____，所以C是線段AB的中點(diǎn).

教學(xué)說明? 通過看圖填空的形式，幫助學(xué)生回憶線段中點(diǎn)的概念，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：選取適當(dāng)?shù)谋硎痉绞降闹匾? 最終引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用線段中點(diǎn)的概念解決問題.

（2）如圖2所示，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，則DE與AB滿足什么數(shù)量關(guān)系？

（3）若點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，則DE與AB滿足什么數(shù)量關(guān)系？請你畫出相應(yīng)的圖形，并針對你的結(jié)論說明理由.

教學(xué)說明? 問題（2）是典型的線段雙中點(diǎn)問題，考慮到本節(jié)課是期末復(fù)習(xí)課，距離線段中點(diǎn)的學(xué)習(xí)已經(jīng)有一段時間了，因此圖形由教師展示，降低學(xué)生的入手門檻，學(xué)生借助于圖形能很快地解決這個問題. 問題（3）是問題（2）的變式問題，將“點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)”改變?yōu)椤包c(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)”，其他條件沒有變化. 教師有意沒有給出具體的圖形，讓學(xué)生根據(jù)自己的思考畫圖求解. 目的是培養(yǎng)學(xué)生遷移、應(yīng)用的能力，同時滲透著分類討論思想.

（4）回憶：在第二章的學(xué)習(xí)中，是否有關(guān)于中點(diǎn)的知識？它們是依托于誰展開研究學(xué)習(xí)的？

教學(xué)說明? 通過問題（4）的思考，期待學(xué)生能夠搜尋頭腦中的記憶存儲，讓學(xué)習(xí)第二章的場景在他們的頭腦中重現(xiàn)，引出本節(jié)復(fù)習(xí)課的“主陣地”——數(shù)軸.

2. 例題導(dǎo)學(xué)，串聯(lián)重點(diǎn)知識

例題：已知點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別為1，2，-3，

（1）請在數(shù)軸上標(biāo)記出A，B，C三點(diǎn)的位置，并比較它們的大小.

教學(xué)說明? 由“課前導(dǎo)學(xué)”引出數(shù)軸之后，再用一個簡單的畫圖問題幫助學(xué)生回憶數(shù)軸的三要素，以及它的基本功能——表示有理數(shù)（七年級第一學(xué)期學(xué)生認(rèn)識的數(shù)域?yàn)橛欣頂?shù)）. 這不同于以往常見的復(fù)習(xí)課教學(xué)，沒有直接問學(xué)生“什么是數(shù)軸的三要素”，因?yàn)楣P者在日常教學(xué)中通過觀察發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生能夠快速說出數(shù)軸的三要素，但他們并沒有理解“為什么要有數(shù)軸的三要素”，也不清楚這三要素的具體功能是什么，基本上都是“知其然而不知其所以然”. 因此，利用學(xué)生自己畫數(shù)軸這一教學(xué)活動，讓學(xué)生切實(shí)地感受三要素是必需的，也能由此理解三要素的具體功能.

（2）與點(diǎn)A的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是____，B，C兩點(diǎn)之間的距離為____.

思考：此問題能讓你回憶起哪個公式？

（3）數(shù)軸上的點(diǎn)D到A，C兩點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)D表示的數(shù)是_____.

思考：此問題能讓你回憶起哪個公式？

教學(xué)說明? 通過問題（2）幫助學(xué)生回憶如何表示數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離;問題（3）是問題（2）的延續(xù)，通過距離相等引出中點(diǎn)公式，這也與“課前導(dǎo)學(xué)”提出的問題前后呼應(yīng). 有一部分學(xué)生是直接通過數(shù)軸的“形”找到點(diǎn)D的位置的，求出了點(diǎn)D表示的“數(shù)”. 教師在肯定其思考的正確性之時要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：解決問題時可以從“數(shù)”與“形”兩方面去思考.

（4）若點(diǎn)E，F(xiàn)表示的數(shù)分別為x，y：

①當(dāng)x-1=x+3時，x的取值為______;（你還會另一種方法嗎？）

②x-1+x+3的最小值為______，此時x的取值為______;

③若（x-1+x+3）（y-3+y+2）=20，求x-3y的最大值和最小值.

教學(xué)說明? 問題（4）-①從表面上看是一個絕對值方程，似乎是一個超綱問題，但其可以轉(zhuǎn)化為a=b這一模型，這個模型對學(xué)生而言，不難理解. 接下來，教師追問：“你還會另一種方法嗎？”把學(xué)生的目光從代數(shù)方面引向幾何方面——由于在解決問題（3）時剛剛總結(jié)過，因此學(xué)生能很快想到幾何方法——并且發(fā)現(xiàn)問題（3）與問題（4）-①其實(shí)是同一個問題. 通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生對絕對值的幾何意義的理解會更加深入，也能體會到數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，這比教師一味說教的效果要好很多. 問題（4）-②是對絕對值的幾何意義及應(yīng)用的深度挖掘，此時教師可以追問：“3個絕對值相加你會做嗎？4個呢？5個呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？”問題（4）-③是繼續(xù)對絕對值的幾何意義及應(yīng)用的深度挖掘，顯示了其與代數(shù)式求值的緊密聯(lián)系，旨在讓學(xué)生深切感受數(shù)學(xué)的整體性.

（5）若動點(diǎn)P，Q分別從A，C同時出發(fā)，向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒3個單位長度.設(shè)運(yùn)動時間為t秒，

①當(dāng)t=____時，P，Q到原點(diǎn)的距離相等;

②在運(yùn)動開始時，數(shù)軸上有一點(diǎn)M，從Q點(diǎn)出發(fā)，在Q，P兩點(diǎn)之間不間斷地來回運(yùn)動，點(diǎn)M的速度為每秒2個單位長度. 當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時，點(diǎn)M的運(yùn)動路程為____.

思考：你能給問題（5）設(shè)計一個生活中的情境嗎？

教學(xué)說明? 問題（5）是數(shù)軸上的動點(diǎn)問題. 問題（5）-①看似中點(diǎn)問題，但其實(shí)它是有2種情形的——一是P，Q在原點(diǎn)兩側(cè)，二是P，Q在原點(diǎn)右側(cè). 如果用代數(shù)解法，那么它就只是一個絕對值相等問題. 這樣做的好處是不會漏解，而且滲透著數(shù)形結(jié)合思想，還與前面復(fù)習(xí)的知識遙相呼應(yīng)，體現(xiàn)了知識的一致性、系統(tǒng)性. 問題（5）-②既是一個動點(diǎn)問題，又可以賦予適當(dāng)?shù)那榫匙優(yōu)橐粋€行程類的應(yīng)用題. 北師大版教材有一個“聯(lián)絡(luò)員”的問題與它高度相似，很容易喚醒學(xué)生去聯(lián)想.

3. 考題檢學(xué)，檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果

（2017·龍華改編）如圖3所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，點(diǎn)B表示的數(shù)為-4，C為線段AB的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（t>0）秒.

（1）點(diǎn)C表示的數(shù)是____;

（2）當(dāng)t=____時，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A處;

（3）點(diǎn)P表示的數(shù)是____（用含字母t的代數(shù)式表示）;

（4）當(dāng)t=____時，線段PC的長為2個單位長度;

（5）若動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，那么，當(dāng)t=____時，PQ的長為1個單位長度.

（6）若數(shù)軸上一動點(diǎn)M所表示的數(shù)為x，則x-6+x+4的最小值為____.

教后思考

1. 期末復(fù)習(xí)課應(yīng)是一個逐步喚醒的過程

期末復(fù)習(xí)課是在學(xué)完一個學(xué)期的課程之后進(jìn)行的. 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的指示，對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法進(jìn)行全面回顧、系統(tǒng)整理，通過板塊整合、問題導(dǎo)學(xué)等方式全方位掃清死角，拓寬思路，以舊引新[1]. 由于時間有限，不可能像講授新課時做到面面俱到;但簡單地復(fù)述知識要點(diǎn)，效果又不理想. 筆者認(rèn)為，好的方式應(yīng)是教師設(shè)置合理的問題情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷回憶、思考、運(yùn)用、反思等一系列環(huán)節(jié)，將一些遺忘的知識、方法喚醒;并且在反思的過程中獲得新知以外的一些數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，將這些知識和經(jīng)驗(yàn)存儲在大腦之中，以便以后遇到類似問題時能夠及時調(diào)用. 本節(jié)課通過設(shè)置“課前導(dǎo)學(xué)”，將線段中點(diǎn)的基本概念以多種形式的填空題呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 起點(diǎn)低又不刻板，既讓學(xué)生容易入手，又有一定的思維量. 通過合理的問題幫助學(xué)生回憶線段中點(diǎn)的相關(guān)概念與典型問題，進(jìn)而激活學(xué)生的思維. 讓學(xué)生回憶本學(xué)期學(xué)過哪些與中點(diǎn)相關(guān)的知識，從而引入本節(jié)課的主題，使得學(xué)生可以快速進(jìn)入課堂.

2. 期末復(fù)習(xí)課應(yīng)是一個逐步串聯(lián)的過程

期末復(fù)習(xí)課不應(yīng)該是某幾節(jié)課或某一個章節(jié)的重復(fù)學(xué)習(xí). 教師在備課時，應(yīng)站在全冊書的角度去看待本學(xué)期所學(xué)的知識. 教師應(yīng)該更加關(guān)注課程之間的聯(lián)系、章節(jié)之間的聯(lián)系、知識之間的聯(lián)系、方法之間的聯(lián)系，甚至代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系. 本節(jié)課從線段中點(diǎn)的概念入手，引導(dǎo)學(xué)生回憶起數(shù)軸這一重要概念，通過畫數(shù)軸這一教學(xué)活動讓學(xué)生充分體會數(shù)軸三要素的必要性和重要性. 通過合理的問題設(shè)置，把兩點(diǎn)之間的距離、線段中點(diǎn)、絕對值的幾何意義等相關(guān)知識串聯(lián)起來，讓學(xué)生在思考與解決問題的過程中體會它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的前后一致、邏輯連貫、一以貫之.

3. 期末復(fù)習(xí)課應(yīng)是一個完善體系的過程

學(xué)習(xí)新知是一個循序漸進(jìn)的過程，這就產(chǎn)生了或多或少的碎片化知識. 筆者嘗試用問題化學(xué)習(xí)消除復(fù)習(xí)課效果不佳的弊端. 問題化學(xué)習(xí)就是通過系列的問題來引發(fā)持續(xù)性學(xué)習(xí)行為的活動，它要求學(xué)習(xí)活動以學(xué)習(xí)者對問題的自主發(fā)現(xiàn)與提出為開端，用有層次、結(jié)構(gòu)化、可拓展、可持續(xù)的問題系統(tǒng)貫穿學(xué)習(xí)過程和整合各種知識，通過系列問題的解決，達(dá)到學(xué)習(xí)的有效遷移，實(shí)現(xiàn)知識的連續(xù)建構(gòu)[2]. 章節(jié)復(fù)習(xí)可以使得章節(jié)內(nèi)部的知識更加系統(tǒng)化. 期末復(fù)習(xí)課可以站在全局的角度來看待所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，系統(tǒng)地梳理所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，將其適當(dāng)?shù)胤湃胍延械闹R體系，不斷地完善知識體系. 學(xué)生經(jīng)歷本節(jié)課的復(fù)習(xí)，可以感受到本學(xué)期章節(jié)之間的緊密聯(lián)系. 第二章的“數(shù)軸”、第三章的“代數(shù)式求值”、第四章的“線段中點(diǎn)”、第五章的“一元一次方程及其應(yīng)用”，它們雖然屬于不同的章節(jié)，但這些知識都有著非常緊密的聯(lián)系，并且在數(shù)學(xué)中扮演著非常重要的角色. 學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中，不斷地將這些知識、方法，以及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等恰當(dāng)?shù)厝谌胱约旱闹R體系，形成并提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]黃小燕. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略[J]. 廣西教育學(xué)院學(xué)報，2017（04）.

[2]蔡建新. 問題化學(xué)習(xí)，優(yōu)化初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（10）.