徐劍

[摘 ?要] 利用課本所賦予的教學(xué)功能，關(guān)注課本習(xí)題的“深加工”，基于“用教材教”的教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)，可以促使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，促成學(xué)生思維的不斷深化，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說更是極有意義. 具體來說，課本習(xí)題是引出新知的重要源泉，習(xí)題多解是拓展思維的內(nèi)在活力，習(xí)題變式是深化理解的外在助力，習(xí)題拓展是獲得一般結(jié)論的不竭動力.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題;一題多解;變式;拓展;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

從課程改革實(shí)施至今，從關(guān)注學(xué)生“雙基”的培養(yǎng)到當(dāng)下的核心素養(yǎng)的培育，越發(fā)凸顯教學(xué)的創(chuàng)造性和發(fā)展性. 這樣的大環(huán)境下，不少教師盡管已經(jīng)意識到課堂重心需要轉(zhuǎn)變，卻沒有認(rèn)真思考如何實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)變，在教法和學(xué)法上保留著原有方式，停留在“教教材”的教學(xué)模式，無法在真正意義上提升學(xué)生的素養(yǎng).

課本習(xí)題是編者從知識內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求出發(fā)精心設(shè)計(jì)而成的，具有一定的典型性和發(fā)展性，是豐富教學(xué)設(shè)計(jì)的良好素材，是數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn). 教師的教育智慧體現(xiàn)在對教材的準(zhǔn)確理解和教學(xué)理念的精準(zhǔn)貫徹，從而教師需要吃透課本精神與實(shí)質(zhì)，細(xì)細(xì)揣摩每個(gè)習(xí)題，利用課本所賦予的教學(xué)功能，關(guān)注到課本習(xí)題的“深加工”，基于“用教材教”的教學(xué)理念，充分實(shí)現(xiàn)教學(xué)理念與課堂教學(xué)的完美契合，為學(xué)生開辟一條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新天地.

課本習(xí)題是引出新知的重要源泉

不少教師只知課本習(xí)題在鞏固基礎(chǔ)知識技能方面的效能，卻忽視了課本習(xí)題在新課引入時(shí)同樣具有重要的意義. 良好的開端是成功的一半，富有創(chuàng)意地進(jìn)入新課是每個(gè)教師需要深思的問題，也是長久以來困擾教師的一個(gè)難題. 課本習(xí)題是引出新知的重要源泉，倘若從學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以課本習(xí)題為新知的生長點(diǎn)創(chuàng)設(shè)情境，通過問題引領(lǐng)，同樣可以讓學(xué)生產(chǎn)生主動探究的欲望，促進(jìn)思維活動的有效推進(jìn).

案例1：以“雙曲線”的導(dǎo)入為例.

出示習(xí)題：如圖1，已知圓O內(nèi)有一定點(diǎn)A，且定長r為圓O的半徑，點(diǎn)P為圓O上的一個(gè)動點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與半徑OP交于點(diǎn)Q，試說出隨著點(diǎn)P在圓O上不斷運(yùn)動時(shí)點(diǎn)Q的軌跡，并說明理由.

師：大家還能回憶起這一問題的解答過程嗎？結(jié)論是什么？（學(xué)生經(jīng)過回憶，七嘴八舌地說出解答過程，并闡明結(jié)論“點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)O和點(diǎn)A為焦點(diǎn)的橢圓”）

師：剛才大家的回答都非常精彩. 那么，倘若稍加變換問題，將題目的條件“圓O內(nèi)有一定點(diǎn)A”變?yōu)椤皥AO外有一定點(diǎn)A”，“半徑OP”變?yōu)椤爸本€OP”，則點(diǎn)Q的軌跡又是什么呢？（學(xué)生在自身的已有認(rèn)知中進(jìn)行猜想和討論，課堂氣氛火熱）

師：下面，通過幾何畫板的演示來驗(yàn)證大家的猜想. （通過演示，在師生互動和直觀中讓學(xué)生感知一個(gè)新的曲線）

師：經(jīng)過剛才一系列條件的變化，點(diǎn)Q滿足什么幾何條件？我們該如何刻畫諸如此類的曲線呢？（引出課題）

評析：傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般會生硬地拋出概念，讓學(xué)生自我消化;而本例中，教師從實(shí)際出發(fā)，以課本習(xí)題為載體創(chuàng)設(shè)情境，提出與概念相關(guān)的典型問題，不僅可以活躍課堂氣氛，還可以自然而然地讓學(xué)生建立感性認(rèn)知，水到渠成地實(shí)現(xiàn)課堂生成.

習(xí)題多解是拓展思維的內(nèi)在活力

日常教學(xué)中，開展習(xí)題多解的探究可以很好地引導(dǎo)學(xué)生全方位地認(rèn)識和掌握習(xí)題，活化所學(xué)知識，增強(qiáng)知識之間的聯(lián)系，同時(shí)也可以拓展學(xué)生思維的寬度和維度，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思考方式. 因此，教師可以根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，靈活地選擇適合“一題多解”的典型習(xí)題，讓學(xué)生在“一題多解”中積累解題經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)思想，拓展思維活力;同時(shí)尋求獨(dú)特而簡捷的解題方法，以達(dá)到提高解題能力的目的. 這里值得注意的是，習(xí)題的多解需要從問題的不同角度展開，標(biāo)新立異構(gòu)建不同的思路，而對于一些怪、偏、繁的解法大部分情況下都可以選擇略過.

案例2：一海島長期駐扎著一支軍隊(duì)，海島離岸邊最近的點(diǎn)B的距離為150 km，軍需品倉庫則設(shè)于岸邊與點(diǎn)B的距離為300 km的點(diǎn)A處，且點(diǎn)A和點(diǎn)B之間有一條鐵路. 倉庫內(nèi)有一批緊急物資需要在最短時(shí)間內(nèi)運(yùn)送到海島，可選用海陸聯(lián)運(yùn)的方式進(jìn)行運(yùn)送. 火車速度為50 km/h，輪船速度為30 km/h，現(xiàn)試著在岸邊選擇一點(diǎn)C，先火車運(yùn)送到點(diǎn)C，再從點(diǎn)C處以輪船運(yùn)送至海島，那么點(diǎn)C選在何處才能使得整個(gè)運(yùn)輸?shù)臅r(shí)間最短？

評析：“一題多解”的目的不僅僅在于解題本身，更在于學(xué)生思維的鍛煉. 實(shí)踐表明，學(xué)生的解法越多，思路越開闊，思維就越靈活. 本例是一道典型的“一題多解”的習(xí)題，可以通過判別式法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法等四種方法進(jìn)行解答. 通過教師的鼓勵、點(diǎn)撥，讓“冰冷的美麗”綻放“火熱的思考”，激發(fā)學(xué)生主動探索的熱情;學(xué)生獨(dú)辟蹊徑，形成了登臺展示的火熱場面，解法也就源源不斷地流淌了出來. 合理而有效地運(yùn)用好“一題多解”的訓(xùn)練能促進(jìn)學(xué)生思維的生長，在這里得到了很好的詮釋.

習(xí)題變式是深化理解的外在助力

由于課本中習(xí)題是以靜態(tài)的形式呈現(xiàn)的，且受到篇幅性和精華性的影響，不可能過于完善，從而易淡化學(xué)生的探究積極性，無法指引學(xué)生進(jìn)行深入探究. 而課本習(xí)題大部分都具有可探究性和可變性. 鑒于此，教師在教學(xué)的過程中，若是將教材中靜態(tài)的數(shù)學(xué)習(xí)題通過聯(lián)想和變通，以習(xí)題變式的形式呈現(xiàn)，則可以活躍學(xué)生的思維，幫助學(xué)生理解概念的生成過程和法則的發(fā)展過程，加深對知識的理解.

案例3：已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，試判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是什么函數(shù)，并予以證明.

變式：已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，試判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是什么函數(shù)，并予以證明.

評析：這是一道典型的習(xí)題變式，教師通過對教材習(xí)題的充分挖掘與利用，以變式的形式呈現(xiàn)，使得習(xí)題教學(xué)不再是“就題論題”的模式. 這樣利于加深學(xué)生對兩個(gè)常用結(jié)論的理解和認(rèn)識，利于指引學(xué)生的思維走向深處;這樣學(xué)生在教師變式的驅(qū)動下探清問題，揭示本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)力的生長. 在這個(gè)過程中，學(xué)生從中收獲的不再是一道數(shù)學(xué)習(xí)題，而是對一類數(shù)學(xué)問題的理解和一種主動探究的精神.

習(xí)題拓展是獲得一般結(jié)論的不竭動力

一些教師在日常練習(xí)中不太喜歡運(yùn)用課本習(xí)題，而會選擇從教輔資料中引例或是運(yùn)用高考題，這是源于他們認(rèn)為教材習(xí)題過于簡單，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維毫無益處. 對于這一觀點(diǎn)筆者不敢茍同. 事實(shí)上，教材習(xí)題不僅利于夯實(shí)“雙基”，還可以通過深入挖掘和有效拓展獲得一般結(jié)論，同時(shí)深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的真正理解.

案例4：以對“三角函數(shù)輔助角公式”的探究為例.

出示習(xí)題：化簡：①cosx-·sinx;②sinx+cosx;③（sinx-cosx）;④cosx-sinx.

評析：以上習(xí)題是“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”教學(xué)中的習(xí)題，目的是為了引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地逆用公式進(jìn)行化簡. 經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，以上四個(gè)習(xí)題均具備輔助角公式的一般形式，為了讓學(xué)生更自然地獲得一般性結(jié)論，教師可以讓學(xué)生化簡各式，并推導(dǎo)得出輔助角公式;更進(jìn)一步地，運(yùn)用輔助角公式再化簡以上各式，以此完美地詮釋其內(nèi)涵與外顯. 這樣的設(shè)計(jì)中，通過抽象和提煉，循序漸進(jìn)地使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)從“認(rèn)識”上升到“理清”的層面，喚醒學(xué)生的靈感，拓展得出一般結(jié)論，同時(shí)使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維又一次向縱深發(fā)展.

總之，是否能超越課本習(xí)題的固有設(shè)計(jì)，靈活運(yùn)用課本習(xí)題，除去需正確理解習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖之外，還需做到對學(xué)科知識的整體把握. 相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)有可能更需要把握教材. 如果能在教學(xué)設(shè)計(jì)中把握數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，關(guān)注到課本習(xí)題的“深加工”，展開習(xí)題多解、習(xí)題變式和習(xí)題拓展，就能使得教學(xué)有的放矢. 只有這樣，才能讓學(xué)生所學(xué)知識更系統(tǒng)、更具有遷移能力，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成以及數(shù)學(xué)思維能力的形成.

3251500316570