胥慶

[摘 ?要] 三角形的“四心”中隱含了一定的特征性質(zhì)，從向量視角深入剖析可獲得相應(yīng)的向量結(jié)論，對(duì)于探索定義本質(zhì)，破解幾何與向量問題有著一定的幫助. 文章結(jié)合實(shí)例拓展探究三角形的“四心”，并深入反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 三角形;四心;向量;共線;建模

探究背景

平面向量既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，也是研究數(shù)學(xué)的工具，可實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)問題的互化，即可利用向量將幾何問題代數(shù)化，也可將代數(shù)問題幾何化. 向量與幾何有著緊密的聯(lián)系，可借助平面向量來研究三角形的“四心”，即重心、垂心、內(nèi)心和外心. 三角形的“四心”是從幾何視角進(jìn)行的定義，“四心”對(duì)應(yīng)了一定的幾何性質(zhì)，實(shí)際上可從向量視角探尋“四心”與向量的關(guān)系，探究過程需立足性質(zhì)定義，構(gòu)建知識(shí)關(guān)聯(lián).

反思總結(jié)

三角形“四心”的定義性質(zhì)較為簡(jiǎn)單，從向量視角來分析則可以獲得獨(dú)特的結(jié)論，這也是高中對(duì)“四心”考查的重要形式，即從向量視角對(duì)三角形定量分析，挖掘性質(zhì)定理的內(nèi)涵. 而在實(shí)際教學(xué)中建議采用分環(huán)節(jié)探討、遞進(jìn)式挖掘的方式，逐步探討知識(shí)本質(zhì)，構(gòu)建解題思路.

1. 立足定義，探究性質(zhì)

三角形的“四心”定義容易理解，探究學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是挖掘性質(zhì)，形成知識(shí)鏈. 以三角形“內(nèi)心”為例，其是角平分線的交點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可知內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心，從而形成“內(nèi)心定義→角平分線性質(zhì)→內(nèi)切圓關(guān)系”的知識(shí)鏈，同理可知三角形的“外心”與三角形外接圓密切相關(guān). 教學(xué)中教師可以采用對(duì)比探究的方式，分析三角形“四心”的性質(zhì)特征，進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，深刻理解定義背后的知識(shí)本質(zhì).

2. 向量分析，總結(jié)結(jié)論

向量是研究幾何圖形的重要工具，可將傳統(tǒng)的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何定量分析，相較于傳統(tǒng)的幾何推理，該方法體現(xiàn)了向量中數(shù)與形的二元結(jié)合，這也是從向量視角探究三角形“四心”的意義所在. 利用向量分析三角形“四心”，應(yīng)注重兩點(diǎn)：一是體現(xiàn)定義的性質(zhì)特征，二是論證向量結(jié)論. 在探究過程中，教師要注重推理的邏輯性，引導(dǎo)學(xué)生把握證明原理，靈活運(yùn)用共線、等積、變形等方法技巧，由此提升學(xué)生的論證能力.

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