趙利琴

[摘 ?要] “類比”不僅是數(shù)學(xué)思維的“法寶”，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“法寶”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中“類同”，在數(shù)學(xué)方法學(xué)習(xí)中“類異”，在數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)中“類推”。通過類比學(xué)習(xí)，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)新知，更能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] “類比”視角;類同;類異;類推

所謂“類比”，是指“一種找出兩個(gè)或者兩個(gè)以上事物的某些相同、相異、相似、相反等特征，將一事物的有關(guān)屬性、特質(zhì)推移到另一事物的過程”。“類比”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的一種思想方法、策略方式?！邦惐取辈粌H是數(shù)學(xué)思維的“法寶”，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“法寶”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)施類比教學(xué)，能豐富學(xué)生的想象力，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)、結(jié)構(gòu)，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。類比教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極遷移，能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能?；凇邦惐取币暯?，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入發(fā)掘類比思維的時(shí)空，穩(wěn)固類比思維的根脈，對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不同的類比。通過比較、分析，引導(dǎo)學(xué)生積極地求同、求異、求似，進(jìn)而助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移。

一、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“類同”

概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本組成要素。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入研究概念教學(xué)。從根本上說，概念教學(xué)有兩個(gè)主要的方面：一是引導(dǎo)學(xué)生把握概念的內(nèi)涵，二是引導(dǎo)學(xué)生把握概念的外延。概念學(xué)習(xí)過程說到底就是去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的抽象化、概括化的過程。抽象、概括是概念學(xué)習(xí)的重要思想。作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生舍棄數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，提煉概念的本質(zhì)屬性，這個(gè)過程需要學(xué)生展開積極的“類同”。

為此，在概念教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供與概念有關(guān)聯(lián)的多樣、豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、抽象和概括。這個(gè)過程偏重于同化建構(gòu)、上位遷移。其中，一種是同類事物的抽象、提煉;另一種是跨層次事物的抽象、提煉。比如教學(xué)“高”這一概念，需要教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知。首先是學(xué)習(xí)三角形的高，其次是學(xué)習(xí)平行四邊形的高，再次是學(xué)習(xí)梯形的高，等等。比如教學(xué)“三角形的高”這一概念，教師不僅要呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)范式，還要呈現(xiàn)多樣的非標(biāo)準(zhǔn)的其他范式。如銳角三角形的三條高、直角三角形的三條高、鈍角三角形的三條高等。以“銳角三角形的高”為例，教師不僅可以變化三角形的位置，還可以改變?nèi)切蔚姆较?，等等。通過多元化變式引導(dǎo)學(xué)生建立本質(zhì)意義上的“三角形的高”的概念。在此基礎(chǔ)上教學(xué)“平行四邊形的高”，就可以從圖形特征、數(shù)學(xué)概念、位置關(guān)系、知識(shí)關(guān)聯(lián)等方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比。比如在圖形特征方面，三角形的高是頂點(diǎn)到底邊的垂直距離，因此平行四邊形的高就是頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直距離。為此，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)可以畫幾條高、經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)可以畫幾條高，等等。比如在位置關(guān)系方面，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比三角形的高的位置和平行四邊形的高的位置，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形的高只有三條，而平行四邊形的高卻有無數(shù)條，在平行四邊形的兩條平行邊之間的垂直線段的長度都是平行四邊形的高，等等。通過“三角形的高”“平行四邊形的高”以及“梯形的高”等概念的建立，才能幫助學(xué)生有效地建構(gòu)“高”的概念。顯然，這個(gè)過程是一個(gè)“類同”的過程，它能集中、有效地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

概念教學(xué)過程中的“類同”，要讓學(xué)生思考并用數(shù)學(xué)語言描述對(duì)象的共同要素和邏輯關(guān)系。這個(gè)過程需要引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷解構(gòu)、變換、類比等思維、想象的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)對(duì)比，從而讓學(xué)生厘清易于混淆的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺;要引導(dǎo)學(xué)生有效地梳理和整合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的大概念、高端點(diǎn)等，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

二、在數(shù)學(xué)方法教學(xué)中“類異”

“類同”是一個(gè)從多樣化到本質(zhì)化、單一化的思維、推理過程。與此相反，“類異”就是運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象或直觀想象，幫助學(xué)生建構(gòu)不同的數(shù)學(xué)模型、實(shí)施多樣化應(yīng)用的過程。在數(shù)學(xué)方法教學(xué)中，教師要有效地利用“類異”，豐富學(xué)生在情境中實(shí)踐應(yīng)用的感受與體驗(yàn)。換言之，同樣的數(shù)學(xué)法則、定理等在不同的情境中有著不同的應(yīng)用。

比如行程問題總體的解題方法、公式、策略等是“路程=速度×?xí)r間”，但在具體的應(yīng)用過程中可以分為“相遇問題”和“追及問題”，因而解題方法、公式、策略等就相應(yīng)地演變?yōu)榱恕奥烦毯?速度和×相遇時(shí)間”“路程差=速度差×追及時(shí)間”。不僅如此，在“相遇問題”中，又可以分為“相向而行問題”和“相背而行問題”，而且在這些問題中，情境又有著豐富的變化，如“同時(shí)出發(fā)”“先出發(fā)”“中途休息”等。不同的問題情境必然要對(duì)公式、方法等進(jìn)行變異應(yīng)用。比如這樣的一道習(xí)題就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上進(jìn)行思考：“甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)勻速開出，到達(dá)終點(diǎn)后迅速返回，第一次在距離A地50千米處相遇，第二次在距離B地30千米處相遇，兩地相距多少千米？”第一次相遇，甲、乙兩車一共行駛了一個(gè)全程，其中甲車行駛了50千米;第二次相遇，甲、乙兩車一共行駛了三個(gè)全程，甲車行駛了三個(gè)50千米，也就是150千米;而這時(shí)甲車也行駛了一個(gè)全程再加上30千米，因此全程是120千米。這樣的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用了基本行程問題的解題方法，但卻不是簡單的應(yīng)用，而是一種情境變化式的靈活應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣的解題方法“類異”的問題有很多，比如著名的“蘇步青問題”，即“兩人從相距3000米的兩地相向而行，甲每分鐘行140米，乙每分鐘行160米，甲帶著一只狗，狗每分鐘行250米。狗同甲一起出發(fā)后，遇到乙時(shí)即轉(zhuǎn)身向甲走，如此反復(fù)，直至甲、乙兩人和狗同時(shí)相遇，狗一共走了多少米？”在解決這類問題的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用的就是行程問題的基本數(shù)量關(guān)系。但顯然，這不是機(jī)械地套用，而是要求學(xué)生靈活地、靈動(dòng)地應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生掌握最基本的數(shù)量關(guān)系，如工程問題的“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”，倍比問題的“一份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)量”，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的“單位‘1’的量×分率=比較量”，等等。在此基礎(chǔ)上，通過變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生靈活遷移所學(xué)的知識(shí)、方法、策略，引導(dǎo)學(xué)生有效地觀察、猜想、思考、類比、發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生解決問題。

三、在數(shù)學(xué)原理教學(xué)中“類推”

所謂“原理”，是指“具有普遍意義的基本規(guī)律”。數(shù)學(xué)中的原理、公理、定理、法則等是人們在大量的觀察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過比較、歸納、概括、推理而形成的。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行“類推”，從一類原理、定理、法則等類比出有關(guān)聯(lián)的其他原理、定理、法則等。通過這樣的“類推”，助推學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)。

比如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”，教師就可以從學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)原理“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”等展開教學(xué)。一方面，教師要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)“比與分?jǐn)?shù)、比與除法的聯(lián)系與區(qū)別”，另一方面要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，從而催生、喚醒、激活學(xué)生的“類推”心理，產(chǎn)生“類推”動(dòng)力，構(gòu)建新舊知識(shí)的鏈接點(diǎn)、新知識(shí)的生長點(diǎn)。在除法中有“商不變的規(guī)律”，在分?jǐn)?shù)中有“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，在小數(shù)中有“小數(shù)的性質(zhì)”，那么在比中是否有“比值不變的規(guī)律”，是否有“比的基本性質(zhì)”呢？正是通過“類推”，能引導(dǎo)學(xué)生積極地、大膽地且符合情理地進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并根據(jù)除法、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和比的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，助推學(xué)生獨(dú)立地提出猜想、驗(yàn)證猜想，從而自主地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。在數(shù)學(xué)原理的“類推”過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“原理是什么”，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生思考、探究“原理為什么”。原理“類推”的關(guān)鍵在于：深入理解事物的本質(zhì)，把握事物的內(nèi)容、形式、關(guān)系。通過“類推”，學(xué)生能積極地、主動(dòng)地從一類特定對(duì)象的原理、規(guī)律、性質(zhì)推導(dǎo)另一類特定對(duì)象的原理、規(guī)律和性質(zhì)?？梢赃@樣說，“類推”是人類數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用的一種模式。通過“類推”的思維模式，逐步培育學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”，讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

“類比”在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著無法比擬的作用。通過“類比”，能幫助學(xué)生理順數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念的“類同”、方法的“類異”以及原理的“類推”，其實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提煉概念、方法、原理等的本質(zhì)，以及洞察概念、方法和原理等之間的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷“類比”過程，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，還有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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