陶蕊 談玉琴

[摘? 要] 隨著知識創(chuàng)新時代的到來，深度學(xué)習(xí)正成為基礎(chǔ)教育改革的新趨勢. 深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者掌握非結(jié)構(gòu)化的深層知識，并進(jìn)行批判性高階思維的打造、主動的知識構(gòu)建、有效的遷移應(yīng)用及真實(shí)問題的解決，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維、元認(rèn)知能力等高階思維和能力的發(fā)展. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是新課標(biāo)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效載體. 文章以強(qiáng)化圓錐曲線的運(yùn)算能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)為核心，從四個維度（運(yùn)算根基、運(yùn)算方向、運(yùn)算速度、運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)）淺談圓錐曲線教學(xué)中強(qiáng)化運(yùn)算能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐與探索.

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算能力;深度學(xué)習(xí);圓錐曲線

富蘭在《極富空間》一書中提出：“深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)是：使學(xué)生獲得成為一個具有創(chuàng)造力的、與人關(guān)聯(lián)的、參與合作的終身問題解決者的能力和傾向.”深度學(xué)習(xí)既是一個學(xué)習(xí)個體主動建構(gòu)知識的過程，又需要學(xué)習(xí)主體之間將知識和信息進(jìn)行交換和重組. 深度學(xué)習(xí)是在具體的學(xué)習(xí)過程中實(shí)現(xiàn)的. 數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是解決數(shù)學(xué)問題的必備條件，也是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效載體.

[?]概念的界定

（1）數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，分析運(yùn)算條件、依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程. 主要包括理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.

（2）深度學(xué)習(xí). 布魯納說過：“學(xué)習(xí)存在表層和深層兩個過程，掌握知識經(jīng)驗(yàn)的過程是學(xué)習(xí)的表層，而通過掌握知識，形成一定的思考方式、學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)解決問題的能力和自信才是學(xué)習(xí)的深層過程，真正的學(xué)習(xí)包括獲取知識、發(fā)展能力和形成態(tài)度.”所以，深度學(xué)習(xí)是相對于淺層學(xué)習(xí)而言的，是一種基于理解的學(xué)習(xí)，因此理解批判性思維、整合學(xué)習(xí)內(nèi)容、構(gòu)建知識體系和有效進(jìn)行知識遷移的學(xué)習(xí)活動，是構(gòu)建高效課堂、內(nèi)化核心素養(yǎng)的重要途徑.

[?]圓錐曲線教學(xué)中強(qiáng)化運(yùn)算能力的目的與意義

著名的數(shù)學(xué)家波利亞指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”運(yùn)算能力是善于解題的必備條件，是高中生應(yīng)該具備的一種重要的數(shù)學(xué)能力. 圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn)，從近幾年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷的結(jié)構(gòu)來看，2道填空題和選擇題小題，1道解答題大題，分值大概30分左右. 解題的特點(diǎn)是入口很寬、方法靈活、運(yùn)算量大，但是很多學(xué)生“敗”在了運(yùn)算上，得分率偏低，所以強(qiáng)化圓錐曲線的運(yùn)算能力顯得尤為重要！

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升運(yùn)算素養(yǎng).“成功的教學(xué)不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.”運(yùn)算來源于學(xué)習(xí)活動本身，為學(xué)生提供了一種情境，使其在多元的運(yùn)算剖析與評價活動中，克服畏難心理、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化運(yùn)算能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

（2）優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)新能力.美國心理學(xué)家吉爾福特指出：“人的創(chuàng)新能力必須要有敏銳的洞察力，要能夠透過事物的表面現(xiàn)象把握其內(nèi)在本質(zhì)特性.”深度剖析運(yùn)算算理，厘清運(yùn)算本質(zhì);領(lǐng)悟運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)新能力.

（3）教學(xué)相長，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展.美國教育心理學(xué)家波斯納提出了一個教師成長公式：教師成長=經(jīng)驗(yàn)+反思. 通過強(qiáng)化運(yùn)算能力的研究促進(jìn)教師反思，反思學(xué)生的“學(xué)”、反思自己的“教”，在反思中改進(jìn)教學(xué)策略，提升教學(xué)效益，促進(jìn)專業(yè)發(fā)展.

[?]圓錐曲線教學(xué)中強(qiáng)化運(yùn)算能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐與探索

荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾指出：“數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造.”圓錐曲線中蘊(yùn)含著豐富的運(yùn)算方法與技能，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)和再創(chuàng)造能力的重要載體. 教師要整合資源、搭建平臺，從夯實(shí)運(yùn)算根基、指明運(yùn)算方向、提升運(yùn)算速度、鞏固運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)四個維度，幫助學(xué)生在運(yùn)算的過程中用自己的體驗(yàn)、自己的思維，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，提升運(yùn)算能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

1. 強(qiáng)化概念，夯實(shí)運(yùn)算根基、促進(jìn)深度理解

李邦河院士說過：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”圓錐曲線的概念是其一切幾何性質(zhì)的“根”與“源”，是解幾何綜合題的重要背景，也是高考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn). 教學(xué)中要挖掘概念的深層次內(nèi)涵，從更高的層面尋求深化的認(rèn)識過程，搭建知識框架、感悟數(shù)學(xué)思想，夯實(shí)運(yùn)算根基、促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

（1）多元表征，深度理解概念、內(nèi)化核心素養(yǎng). G·波利亞曾經(jīng)說過：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握內(nèi)在的規(guī)律和聯(lián)系.”創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，幫助學(xué)生探究概念的起源及發(fā)展、挖掘概念的多元表征、構(gòu)建概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，多元聯(lián)系、多維比較，促進(jìn)學(xué)生深度理解圓錐曲線的概念，為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供優(yōu)良的中樞端，內(nèi)化核心素養(yǎng).

案例1：多元表征視角下的兩道高考試題.

題1：（2015年浙江省高考數(shù)學(xué)文科第7題）如圖4所示，斜線段ΑΒ與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是（? ）

A. 直線 B. 拋物線

C. 橢圓 D. 雙曲線的一支

題2：（2008年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第10題）如圖5所示，AB是平面α的斜線段，A為斜足. 若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動，使得△ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是（? ）

A. 圓B. 橢圓

C. 一條直線 D. 兩條平行直線

（2）優(yōu)化變式，揭示概念本質(zhì)、內(nèi)化核心素養(yǎng).許多運(yùn)算錯誤是由于對概念的理解有偏差：理解不全的概念、模糊近似的概念、張冠李戴的概念等. 這就需要優(yōu)化概念的變式教學(xué)、揭示概念的本質(zhì)，在對比優(yōu)化中幫助學(xué)生理清概念的內(nèi)涵與外延，為在運(yùn)算中準(zhǔn)確應(yīng)用概念掃清障礙.

案例2：橢圓與雙曲線本質(zhì)的差異.

題3：如圖6所示，圓O的半徑為定長r，P是圓上任意一點(diǎn)，A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

變式：如圖7所示，A是圓O外一定點(diǎn)（注：其他條件與題3相同），點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

（3）強(qiáng)化鞏固，深化概念應(yīng)用，發(fā)展核心素養(yǎng). 設(shè)計(jì)與概念有關(guān)的微專題，強(qiáng)化概念的應(yīng)用，體會圓錐曲線概念的內(nèi)涵與外延，體驗(yàn)在遇到不同問題的情境下巧妙回歸定義、規(guī)避復(fù)雜的運(yùn)算，從而達(dá)到事半功倍的愉悅心理狀態(tài). 在感悟與體驗(yàn)中提升運(yùn)算能力、發(fā)展核心素養(yǎng).

（4）拓展提升，升華概念精髓，發(fā)展核心素養(yǎng).日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說過：“在學(xué)校所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后不到一年兩年就忘掉了. 然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們生活和工作中發(fā)揮著作用.”數(shù)學(xué)概念是思想方法的發(fā)源地，在教學(xué)中要提煉蘊(yùn)含于概念中的思想方法，升華概念精髓. 在拓展訓(xùn)練中將知識內(nèi)化，提升運(yùn)算的思維品質(zhì)，培育創(chuàng)新能力、發(fā)展核心素養(yǎng).

案例3：巧借類比思想，升華概念精髓.

G·波利亞說過：“類比是一個偉大的引路人.”在數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中，類比是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法. 高中數(shù)學(xué)新課程已經(jīng)將“類比推理”能力的培養(yǎng)作為了課程目標(biāo)之一，在近幾年的高考中也大量出現(xiàn)了能力立意，“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的類比題. 圓與橢圓是兩類重要的有心二次曲線，圓的很多性質(zhì)及與其相應(yīng)的解題方法可以與圓錐曲線類比.

題4：（2012年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第21題）如圖9所示，橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為，不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分.（1）求橢圓C的方程;（2）求△ABP面積取最大值時直線l的方程.

題5：（2013年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第21題）如圖10所示，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C：+=1（a>b>0）的一個頂點(diǎn)，C的長軸是圓C：x2+y2=4的直徑.l，l是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)交圓C于A，B兩點(diǎn)，l交橢圓C于另一點(diǎn)D. （1）求橢圓C的方程;（2）求△ABD面積取最大值時直線l的方程.

題6：（2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第21題第（1）問）如圖11所示，設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0），動直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限. 已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo).

2. 優(yōu)化策略，指明運(yùn)算方向、促進(jìn)深度思考

“人的一生，是一連串決定交織而成的過程，其精華在于自己如何選擇. 生命的最高境界，就是選對舞臺，盡情揮灑才華，走出自己的路. ”所以解決問題需要最優(yōu)的解法，“方法大于苦干”. 浙江省高考數(shù)學(xué)的命題特點(diǎn)為：能力立意，“多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算”. 所以選擇運(yùn)算策略顯得尤為重要. 筆者對2014年至2020年共七年全國各地關(guān)于圓錐曲線的高考題進(jìn)行了分析，并結(jié)合浙江省高考數(shù)學(xué)的命題特點(diǎn)及其教學(xué)實(shí)踐，提煉了圓錐曲線優(yōu)化運(yùn)算的6種常用策略（見圖12），在解題中可以穿插運(yùn)用，幫助學(xué)生指明運(yùn)算方向、優(yōu)化運(yùn)算方法，在對比優(yōu)化中促進(jìn)深度思考、發(fā)展核心素養(yǎng).

策略.

題7：已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y2=4x上相異兩點(diǎn)，且滿足x1+x2=2.? （1）若AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)P（0，2），求直線AB的方程;（2）若AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，求△AMB面積的最大值及此時直線AB的方程.

（1）對比多元運(yùn)算方法，優(yōu)化選擇意識：

（2）反思算法，形成策略，提升運(yùn)算能力：

3. 強(qiáng)化運(yùn)算，提升運(yùn)算速度、促進(jìn)深度參與

設(shè)計(jì)有效的強(qiáng)化運(yùn)算的方案，強(qiáng)化運(yùn)算體驗(yàn)，積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生熟練掌握運(yùn)算——做到算理熟練、算式規(guī)范、算法簡捷、結(jié)果準(zhǔn)確.

（1）微專題式強(qiáng)化：精準(zhǔn)施教，點(diǎn)點(diǎn)擊破（見圖13）. 關(guān)注學(xué)情與考情：圓錐曲線命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生運(yùn)算的困難點(diǎn)與再生點(diǎn);以此為素材構(gòu)建微專題，利用微專題實(shí)施精準(zhǔn)的教學(xué)，突破運(yùn)算障礙.

案例5：弦長計(jì)算類微專題的設(shè)計(jì)點(diǎn).

設(shè)計(jì)點(diǎn)1：弦長公式優(yōu)選問題：普通弦長;焦點(diǎn)弦;通徑.

設(shè)計(jì)點(diǎn)2：弦長的取值范圍問題.

設(shè)計(jì)點(diǎn)3：巧借弦長轉(zhuǎn)化的綜合問題.

（2）微說題式強(qiáng)化：思維可視化. “說”源于“思”，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的最優(yōu)方法是“說題”. 在精心做題的基礎(chǔ)上，展示運(yùn)算方式、解題策略和推理依據(jù)，凸顯思維可視化，并通過歸納、概括，總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)性運(yùn)算策略. 在運(yùn)算教學(xué)中把學(xué)生引入“說題”，交流運(yùn)算困惑、分享運(yùn)算心得，有利于提升運(yùn)算能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng). 見圖14.

（3）微檢測式強(qiáng)化：提升效率.微檢測是指立足學(xué)情、教情、考情，針對近期（時間間隔不超過一周）講過的運(yùn)算類易錯題的專題性的鞏固與檢測. 考試題量在10道題以內(nèi)，時間在合適范圍以內(nèi);出題者可以是教師，也可以是學(xué)生. 通過微檢測幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算障礙，優(yōu)化運(yùn)算方案、提升運(yùn)算速度.

4. 錯中反思，鞏固運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)深度感悟

荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.”美國教育家杜威指出：“真正思考的人從自己的錯誤中吸取的知識比從自己成就中吸取的知識更多，錯誤與探索相聯(lián)姻、相交合，才能孕育出真理.”運(yùn)算錯誤是運(yùn)算能力提升的生長點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生在錯誤中反思，透析錯誤背后所蘊(yùn)含的價值，加以研究、開發(fā)與利用. 在錯誤中感悟運(yùn)算真諦，在感悟中鞏固運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、提升運(yùn)算能力. 見圖15.

（1）知識層面類反思，彌補(bǔ)知識漏洞、加固運(yùn)算根基. 教師與學(xué)生“個體反思+集體反思”：反思教與學(xué)，優(yōu)化教與學(xué)，提升教學(xué)效益，為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供充足的養(yǎng)分. 對知識縱向反思、橫向反思，挖掘知識的內(nèi)涵與外延，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加固運(yùn)算根基.

（2）思想方法類反思，優(yōu)化運(yùn)算策略、提升運(yùn)算效益.數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的指路燈，是運(yùn)算靈感的發(fā)源地！挖掘運(yùn)算錯誤背后的思想根源，揭示運(yùn)算本質(zhì). 通過“一題多思”“多題對比”感悟思想、優(yōu)化策略，提升運(yùn)算效益.

案例6：數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的“一題多解”的運(yùn)算反思.

題8：（2014年江西省高考數(shù)學(xué)理科第15題）過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-的直線與橢圓C：+=1（a>b>0）相交于點(diǎn)A，B. 若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為__________.

目標(biāo)反思：圓錐曲線的離心率，是描述曲線形狀的重要參數(shù)，很多的圓錐曲線試題都與此相關(guān)，在歷年的高考試題中頻繁出現(xiàn). 解決此類問題，需要認(rèn)真審核，利用題目信息、所給的數(shù)式與圖形，構(gòu)造關(guān)于a，b，c三個量的等量關(guān)系或不等關(guān)系，從而找到解題方向.

解法反思：三種思想指導(dǎo)下的三類不同解法. （具體略）

優(yōu)化反思，形成策略：點(diǎn)差法是處理中點(diǎn)弦問題的最佳策略??！

（3）經(jīng)驗(yàn)成果化，借鑒運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、分享運(yùn)算心得.美國哈佛大學(xué)校長普西曾經(jīng)深刻地指出：“一個人是否具有創(chuàng)新能力，是‘一流人才和三流人才之間的分水嶺.”將運(yùn)算類“三微”（見圖16）作為課堂教學(xué)的延伸、拓展與補(bǔ)充，能夠多方面地彌補(bǔ)課堂的不足. 設(shè)計(jì)一些適應(yīng)不同層次的學(xué)生拓展、延伸的微課，這不僅是課堂教學(xué)的延伸，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方法、深化教學(xué)內(nèi)容的過程. 使用微課，能激起學(xué)生的思維漣漪，通過比較分析、實(shí)踐反思、微寫作等教學(xué)活動促進(jìn)學(xué)生深度思考，在思考中感悟，在感悟中提升.

案例7： 學(xué)生習(xí)作《“1”與橢圓的奇妙情緣》.

“1”是數(shù)字王國中一個奇特的“人物”，他的地位無人可以取代，他的作用無人能及. 他在求最值中有著奇妙的應(yīng)用.

“1”的奇妙運(yùn)算：“1”具有奇妙的恒等運(yùn)算性質(zhì)“1×a=a（a∈R）”，這為我們求最值時進(jìn)行恒等變換起到了很大的作用.

例如，已知+=1，求3x+2y的最小值.

解：3x+2y≥（3x+2y）

+

=13++≥13+2=25. 當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=y=5時取等號.

“1”的奇妙變換：在三角函數(shù)中，sinα與cosα有著不變的關(guān)系，即“sin2α+cos2α=1”，這為“1”提供了一個奇妙的身份，在求最值時能發(fā)揮重要作用.

例如，已知+y2=1，求3x+2y的最小值.

解：因?yàn)?y2=1，令

=sinα，

y=cosα，所以3x+2y=6sinα+2cosα=2sin（α+β），所以-2≤3x+2y≤2.

小結(jié)：若遇到條件中有平方和為常數(shù)的求最值的問題，則可以使用換元法.

教育的目的是什么？懷特海指出：“教育的對象是有血有肉的人，教育的目的應(yīng)在于激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的自我發(fā)展之路.”以數(shù)學(xué)運(yùn)算為載體，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我發(fā)展的有效途徑，也是每位教師值得研究的課題！