毛麗君 張?jiān)撇?/p>

1) (太原師范學(xué)院物理系, 晉中 030619)

2) (浙江理工大學(xué)理學(xué)院, 杭州 310018)

本文利用絕熱近似方法和精確對(duì)角化方法研究三量子比特Dicke 模型中的糾纏動(dòng)力學(xué).處于兩種典型的糾纏態(tài)GHZ 態(tài)和W 態(tài)上的量子比特在時(shí)間演化過(guò)程中與輻射光場(chǎng)發(fā)生強(qiáng)耦合作用, 在各種子系統(tǒng)間產(chǎn)生糾纏,通過(guò)分析這些糾纏的演化特性發(fā)現(xiàn)初始GHZ 態(tài)的三體糾纏魯棒性比W 態(tài)強(qiáng), 這與旋波近似結(jié)論一致.與旋波近似下結(jié)果不同的是, 兩種態(tài)中任意一對(duì)量子比特間的糾纏都隨時(shí)間演化到幾乎為零, 而三體糾纏隨時(shí)間周期演化, 且糾纏程度相對(duì)較強(qiáng), 說(shuō)明系統(tǒng)中的強(qiáng)耦合作用通過(guò)抑制量子比特中的對(duì)糾纏來(lái)支持三體糾纏.

1 引 言

腔體中原子和電磁場(chǎng)的耦合對(duì)光與物質(zhì)相互作用的理解是至關(guān)重要的, 也是許多量子技術(shù)的核心.在最近幾年, 人們感興趣的光和物質(zhì)的相互作用不再是傳統(tǒng)的弱耦合區(qū)域[1], 在許多實(shí)驗(yàn)中電子、分子、激子與微腔中光子的相互作用已達(dá)到了超強(qiáng)耦合區(qū)域[2].此外, 在電路量子電動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中, 通過(guò)人造原子實(shí)現(xiàn)了光與物質(zhì)耦合的類似模型, 即超導(dǎo)兩能級(jí)系統(tǒng)與微波光子的耦合.在這種情況下, 通過(guò)高阻抗諧振器或電流耦合機(jī)制超越了原有的界限, 進(jìn)入到了深強(qiáng)耦合區(qū)域[3?6].在強(qiáng)耦合條件下, 相互作用中的非旋波項(xiàng)不能忽略, 人們便開始著手研究非旋波近似下光與物質(zhì)的耦合系統(tǒng).

在非旋波近似下, 最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)是單個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)(稱為量子比特)和光場(chǎng)相互作用的Rabi 模型[7], 人們?cè)敱M地探討了這個(gè)模型[8?15], 并將其推廣到多個(gè)量子比特和單模量子化光場(chǎng)相互作用的Dicke 模型[16], 發(fā)現(xiàn)許多非常有趣的現(xiàn)象[17?22].文獻(xiàn)[23]系統(tǒng)地研究了各向異性量子Rabi 模型的量子相變問(wèn)題, 在這樣一個(gè)有限自由度系統(tǒng)的相變中建立了普適性概念, 還進(jìn)一步將結(jié)論推廣到任意原子數(shù)的Dicke 模型中, 并與熱力學(xué)極限下的傳統(tǒng)普適性概念等價(jià)起來(lái)[23].量子糾纏在量子相變中扮演著非常重要的角色, 是量子信息科學(xué)的核心.目前, 人們對(duì)Dicke 模型中不同子系統(tǒng)間的糾纏演化進(jìn)行了廣泛的研究[24?30].我們利用絕熱近似方法嚴(yán)格求解了三量子比特Dicke 模型的本征解, 并在此基礎(chǔ)上討論了三量子比特和光場(chǎng)的糾纏以及量子比特1 和23 的兩體糾纏隨時(shí)間的演化特性[31].除這兩類糾纏以外, 光場(chǎng)和量子比特間的相互作用也會(huì)導(dǎo)致其余不同子系統(tǒng)間產(chǎn)生糾纏, 例如, 任意兩個(gè)量子比特間的對(duì)糾纏、量子比特和光場(chǎng)結(jié)合的子系統(tǒng)與其余量子比特的兩體糾纏, 即合作糾纏等等.量子態(tài)隨時(shí)間演化時(shí), 不同子系統(tǒng)間的糾纏相互競(jìng)爭(zhēng), 那么該模型中相互作用到底支持哪一類糾纏, 這個(gè)問(wèn)題有待進(jìn)一步討論.另外, 三量子比特內(nèi)部的兩體糾纏是把三體系統(tǒng)分解成1 和23 兩個(gè)子系統(tǒng), 無(wú)法區(qū)分是1 和2 的糾纏, 還是1 和3 的糾纏, 抑或是1, 2, 3 之間的糾纏[32?35], 即三體糾纏, 決定系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化的關(guān)鍵信息.基于此, 本文將利用糾纏并發(fā)度和負(fù)值度對(duì)這些糾纏動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行深入研究.

2 三量子比特Dicke 模型的本征解

本文主要討論三個(gè)全同的量子比特同輻射場(chǎng)耦合時(shí), 不同子系統(tǒng)之間的糾纏行為, 哈密頓量可以寫為

這里, a?(a) 代表頻率為 ωc的單模輻射場(chǎng)的產(chǎn)生(湮滅)算符, ω 為三個(gè)量子比特的躍遷頻率, 它們與輻射場(chǎng)的耦合強(qiáng)度都為g, J =Jxex+Jyey+表示三量子比特的總自旋算符, 與哈密頓量對(duì)易系統(tǒng)希爾伯特空間可分解為[36]

下面簡(jiǎn)單介紹一下系統(tǒng)的本征解, 選擇總自旋和光場(chǎng)的結(jié)合態(tài) | 3/2,m〉|n〉A(chǔ)m為基矢, | n〉A(chǔ)m代表平移Fock 態(tài), | j,m〉 是 總自旋算符 J2和 Jz的共同本征態(tài).當(dāng)量子比特的躍遷頻率與單模輻射場(chǎng)頻率滿足關(guān)系式 ω ?ωc時(shí), 可以利用絕熱近似方法將哈密頓量簡(jiǎn)化為對(duì)角塊的形式[31], 即

計(jì)算可得 Hn中的各個(gè)元素為表 示 平 移Fock 態(tài)的內(nèi)積, 將其展開可得

依據(jù)宇稱對(duì)稱性可得出 Hn的本征能量,

3 糾纏動(dòng)力學(xué)

3.1 GHZ 初態(tài)

假設(shè)輻射場(chǎng)為相干態(tài) |z〉 , 其中參數(shù)z 決定平均光子數(shù)(也就是它的模平方), 三量子比特初始處于GHZ 態(tài) ( |111〉+|000〉)/.其中任意一個(gè)比特與剩余所有比特之間具有最大的糾纏, 從這個(gè)意義上通常認(rèn)為它是一個(gè)最大多方糾纏態(tài).約化掉任意一個(gè)量子比特后, 剩余兩量子比特為非糾纏的混合態(tài).在總自旋表象下, 初態(tài)可以表示為

當(dāng)耦合強(qiáng)度g 相對(duì)較小時(shí), 初態(tài)可按平移Fock態(tài)展開為

利用薛定諤方程得出系統(tǒng)隨時(shí)間演化的密度算符

將本征解(7)式和(8)式代入密度算符中, 對(duì)光場(chǎng)取跡可得三量子比特約化密度矩陣, 其在Jx表象下的最簡(jiǎn)化形式為

[37], 振蕩函數(shù) Sk(t,ω)=hkexp(ΦRe+iΦIm) , 其特征參數(shù)為復(fù)原高度包絡(luò)因子μk)2fγ2/2 及快速振蕩條件ΦIm=tan?1(πkf)/2+μ(1 ?f)+2πk|z|2, 其中 f =|γz|2,μk=πk(f +2)/γ2.

下面分別研究各類糾纏.對(duì)于A 和B 組成的d1×d2維兩體純態(tài)系統(tǒng) | ψAB〉 , 可以利用糾纏兩體純 態(tài)I concurrence 的平方I tangle[38]

來(lái)描述該系統(tǒng)的糾纏程度, 這里的 ρA是子系統(tǒng)A 的約化密度矩陣.依據(jù), 可得 (i) 類糾纏的I tangle[38]

可以用來(lái)定量地描述輻射場(chǎng)和量子比特1 結(jié)合的子系統(tǒng)與剩余兩量子比特之間的糾纏性質(zhì).進(jìn)一步對(duì)密度算符中的量子比特2 取跡, 即

可得 (iii) 類兩體純態(tài)I tangle

描述輻射場(chǎng)和量子比特1, 2 結(jié)合的子系統(tǒng)與量子比特3 的糾纏特性.另外, 利用密度矩陣可以進(jìn)一步討論三量子比特間的內(nèi)部糾纏, 由于混合態(tài)密度矩陣的秩是小于等于2 的, 從而可得出描述量子比特1 與2, 3 結(jié)合的子系統(tǒng)間的 ( iv) 類混合態(tài)I tangle[31,38,39]

另一方面也可以用糾纏負(fù)值度(Negativity)[40]來(lái)描述量子比特間的內(nèi)部糾纏,其中 λi是密度矩陣的部分轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)本征值 , ( iv) 類糾纏負(fù)值度為

對(duì)于矩陣 ρQ23的部分轉(zhuǎn)置矩陣沒(méi)有負(fù)本征值, 則兩量子比特糾纏的負(fù)值度

在以上分析的基礎(chǔ)上, 可以進(jìn)一步得到真正的三體糾纏, 即三體糾纏(three-tangle)[33]

其中 τ1,23描述的是量子比特1 和被認(rèn)為是單一對(duì)象23 的糾纏, τ12, τ13描述 的 分別是1 和2、1 和3 的糾纏.( v) 類I tangle=1, , 每對(duì)量子比特之間是經(jīng)典關(guān)聯(lián)并不是糾纏, 將其代入(17)式可得, 即某個(gè)量子比特與剩余兩個(gè)量子比特的糾纏與三體糾纏相等, 這一特性與初始時(shí)刻的GHZ 態(tài)相同.同樣地, 負(fù)性平方也可以用來(lái)度量三體糾纏, 定義為 π-tangle[35]

關(guān)于π-tangle 的計(jì)算涉及到純態(tài)糾纏的凸脊擴(kuò)展,求其最小值幾乎是不可能的.雖然在三量子比特直積態(tài)基矢下得到的負(fù)性糾纏的平方不一定是最小值, 但一定是三體糾纏的上限值.由(18)式可以得到與并發(fā)度相同的結(jié)果, 即(t)=

3.2 W 初態(tài)

如果假設(shè)三量子比特初始時(shí)刻處于W 態(tài)

此態(tài)對(duì)任何一個(gè)量子比特取跡后, 剩余的兩量子比特處于糾纏態(tài).用W 態(tài)替換GHZ 態(tài)重復(fù)上面的計(jì)算過(guò)程, 可得耦合角動(dòng)量空間中的三量子比特約化密度矩陣

進(jìn)而利用(10)式得出表征量子比特和光場(chǎng)糾纏的 (i) 類I tangle

由(20)式可得 ( ii) 類兩體純態(tài)I tangle

得出 ( iii) 類兩體純態(tài)I tangle 的具體表達(dá)式

與GHZ 態(tài)相比, W 態(tài)為初態(tài)時(shí)系統(tǒng)隨時(shí)間演化比較復(fù)雜, 約化密度矩陣的秩大于2, I tangle不適用于描述 ( iv) 類混合態(tài)糾纏, 但仍然可以通過(guò)糾纏負(fù)值度來(lái)描述該類糾纏特性[31].另外, 依據(jù)約化密度矩陣(t) 可得兩量子比特間的糾纏負(fù)值度(t) , 進(jìn)而可以利用(t) 來(lái)表征三體糾纏特性.

4 討 論

圖1 初始時(shí)刻為GHZ 態(tài)(左)和W 態(tài)(右)時(shí), (i) 類兩體純態(tài)糾纏I tangle, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)為 ω =0.15ωc , z =3 , g =0.02ωc (a) , 0.04ωc (b) , 0.06ωc (c) , 0.08ωc (d)Fig.1.Time evolution of the I tangle for the type (i) with the initial GHZ (left) and W (right) states for ω =0.15ωc , z =3 , and different coupling strengths: g =0.02ωc (a) , 0.04ωc (b) , 0.06ωc (c) , 0.08ωc (d) , given by the numerical method (solid red line),and the analytical approach (dashed blue line).

圖2 初始時(shí)刻為GHZ 態(tài)(左)和W 態(tài)(右)時(shí), ( ii) 類兩體純態(tài)I tangle 隨時(shí)間的演化, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)與圖1 相同F(xiàn)ig.2.Time evolution of the I tangle for the type ( ii) with the initial GHZ (left) and W (right) given by the numerical method (solid red line), and the analytical approach (dashed blue line).The corresponding parameters are the same as in Fig.1.

本節(jié)將對(duì)上一節(jié)得到的一些重要結(jié)果進(jìn)行分析與討論.圖1 給出了兩種初態(tài)下三個(gè)量子比特作為整體與光場(chǎng)的純態(tài)糾纏 (i) 類I tangle, 解析結(jié)果分別為(11)式和(19)式.圖2 給出了光場(chǎng)和量子比特1 結(jié)合的子系統(tǒng)與其余量子比特的純態(tài)糾纏(ii)類I tangle, 絕熱近似下的解析解與數(shù)值結(jié)果的包絡(luò)相符合, 左邊表示初態(tài)為GHZ 態(tài), 解析結(jié)果如(12)式所示, 只包含單一的振蕩因子 S (t,2ω).當(dāng)初始時(shí)刻為W 態(tài)時(shí), 解析結(jié)果(21)式中包含兩個(gè)振蕩因子 S (t,ω) 和 S (t,2ω) , 但通過(guò)比較兩個(gè)振蕩因子前的系數(shù), 發(fā)現(xiàn)仍然是 S (t,2ω) 起決定作用,因此W 態(tài)與GHZ 態(tài)兩種情形下的 ( ii) 類糾纏演化接近相同, 起初會(huì)隨著時(shí)間的增加而達(dá)到峰值, 穩(wěn)定一段時(shí)間后突然減小而后又有所增加并達(dá)到峰值, 且沒(méi)有糾纏突然死亡的現(xiàn)象.這個(gè)特性與圖1所示的 (i) 類I tangle 是截然不同的, 后者只在W 初態(tài)時(shí)才能演化到峰值.( ii) 類I tangle 整體上呈周期性振蕩, 且耦合強(qiáng)度越大, 周期越小, 因此可以通過(guò)控制兩量子比特與輻射場(chǎng)的耦合強(qiáng)度來(lái)調(diào)控 ( ii) 類糾纏行為.圖3 給出了GHZ 態(tài)和W 態(tài)下光場(chǎng)和量子比特1, 2 結(jié)合的子系統(tǒng)與量子比特3 糾纏的 ( iii) 類I tangle, 解析結(jié)果分別為(13)式和(22)式.當(dāng)耦合強(qiáng)度較弱時(shí), ( iii) 類I tangle 都接近于1, 無(wú)明顯的振蕩因子, 且未發(fā)現(xiàn)糾纏死亡現(xiàn)象, 是輻射場(chǎng)與量子比特耦合系統(tǒng)中的糾纏穩(wěn)態(tài).

圖4 給出了(iv)類糾纏負(fù)值度的平方, 即量子比特1 和23 的兩體糾纏, 左圖表示初態(tài)為GHZ態(tài)時(shí)該類糾纏隨時(shí)間演化的最小值非零, 沒(méi)有發(fā)生突然死亡現(xiàn)象, 而右圖中初態(tài)為W 態(tài)時(shí)該類糾纏出現(xiàn)突然消失的現(xiàn)象.圖5 給出了任意一對(duì)量子比特的糾纏負(fù)值度的平方, 即(v)類糾纏負(fù)值度, 左圖中GHZ 態(tài)約化后的兩量子比特始于可分離態(tài),而右圖中W 態(tài)始于糾纏態(tài), 可以發(fā)現(xiàn)兩種初態(tài)下隨時(shí)間演化的對(duì)糾纏都變得很小, 接近于零, 以至于失去了作為信息資源的能力, 這與旋波近似下的結(jié)論不同.

在分析了 ( iv) 和 ( v) 兩類糾纏的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步利用(18)式定義的 π-tangle 討論量子比特之間的三體糾纏.從圖6 可以看出, 隨著耦合強(qiáng)度的增加,解析結(jié)果可粗略地描述量子比特間的三體糾纏, 將絕熱近似下的本征解(5)式和(6)式代入約化密度矩陣中, 進(jìn)而計(jì)算 π-tangle, 可以得出更準(zhǔn)確的三體糾纏演化規(guī)律.無(wú)論量子比特處于哪一個(gè)初態(tài),在強(qiáng)相互作用下單模輻射場(chǎng)和三量子比特之間會(huì)產(chǎn)生糾纏, 即圖1 所示的 (i) 類糾纏, 通過(guò)比較圖1 和圖6 發(fā)現(xiàn), 三體糾纏隨時(shí)間演化而減弱時(shí), (i)類糾纏就會(huì)增強(qiáng), 反之亦然.圖6 的左側(cè)展示了初始時(shí)刻為GHZ 態(tài)時(shí), 三體糾纏在任何區(qū)域都沒(méi)有糾纏猝死現(xiàn)象, 并且圖1 左側(cè)的 (i) 類糾纏I tangle 沒(méi)有演化到最大值.但是W 態(tài)情況下(圖6右側(cè)), 當(dāng)三體糾纏隨時(shí)間演化突然猝死時(shí), 圖1 右側(cè)所示的 (i) 類糾纏I tangle 恰好達(dá)到最大值.在不同初態(tài)的糾纏演化中, 不發(fā)生糾纏猝死的態(tài)不容易與外界系統(tǒng)產(chǎn)生糾纏, 且比發(fā)生糾纏猝死的態(tài)保持糾纏的能力更強(qiáng), 即魯棒性更強(qiáng).通過(guò)比較兩種初態(tài)下的糾纏演化情況, 發(fā)現(xiàn)GHZ 態(tài)維持三體糾纏的魯棒性比W 態(tài)強(qiáng), 這與旋波近似下的結(jié)論一致.但是無(wú)論初態(tài)是GHZ 態(tài)還是W 態(tài), 隨時(shí)間演化的對(duì)糾纏與三體糾纏相比均很弱, 說(shuō)明系統(tǒng)中的強(qiáng)耦合通過(guò)約束對(duì)糾纏以實(shí)現(xiàn)對(duì)三體糾纏的支持.糾纏態(tài)是量子信息領(lǐng)域的基本資源, 其魯棒性會(huì)影響糾纏在量子信息中的應(yīng)用, 該結(jié)果可應(yīng)用于多量子比特信息處理.

圖3 初始時(shí)刻為GHZ 態(tài)(左)和W 態(tài)(右)時(shí), (iii) 類兩體純態(tài)I tangle 隨時(shí)間的演化, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)與圖1 相同F(xiàn)ig.3.Time evolution of the I tangle for the type (iii) with the initial GHZ (left) and W (right) states given by the numerical method (solid red line), and the analytical approach (dashed blue line).The corresponding parameters are the same as in Fig.1.

圖4 初始時(shí)刻為GHZ(左)態(tài)和W(右)態(tài)時(shí), (iv)類糾纏負(fù)值度的平方隨時(shí)間的演化, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)與圖1 相同F(xiàn)ig.4.Time evolution of the square of the negativity for the type (iv) with the initial GHZ (left) and W (right) given by the numerical method (solid red line), and the analytical approach (dashed blue line).The corresponding parameters are the same as in Fig.1.

圖5 初始時(shí)刻為GHZ(左)態(tài)和W(右)態(tài)時(shí), (v) 類對(duì)糾纏負(fù)值度的平方隨時(shí)間的演化, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)與圖1 相同F(xiàn)ig.5.Time evolution of the square of the negativity for the type (v) with the initial GHZ (left) and W (right) given by the numerical method (solid red line), and the analytical approach (dashed blue line).The corresponding parameters are the same as in Fig.1.

圖6 初始時(shí)刻為GHZ(左)態(tài)和W(右)態(tài)時(shí), 真正的三體糾纏π-tangle 隨時(shí)間的演化, 其中紅色(實(shí)線)表示數(shù)值結(jié)果, 綠色(實(shí)線)表示絕熱近似結(jié)果, 藍(lán)色(虛線)表示解析結(jié)果, 系統(tǒng)參數(shù)與圖1 相同F(xiàn)ig.6.Time evolution of π-tanglewith the initial GHZ (left) and W (right) given by the numerical method (solid red line), the adiabatic approximation method (solid green line) and the analytical approach (dashed blue line).The corresponding parameters are the same as in Fig.1.

5 結(jié) 論

利用絕熱近似方法分析了三量子比特Dicke模型全對(duì)稱空間中的糾纏演化行為.初始制備在相干態(tài)上的輻射場(chǎng)與處于GHZ 態(tài)或W 態(tài)的三個(gè)量子比特發(fā)生強(qiáng)耦合作用, 隨著時(shí)間的演化不同子系統(tǒng)間產(chǎn)生糾纏, 包括量子比特和場(chǎng)的合作糾纏以及量子比特內(nèi)的三體糾纏.通過(guò)I tangle 和 Negativity來(lái)表征糾纏量, 兩者在絕熱近似下的解析表達(dá)式能夠很好地展示不同子系統(tǒng)間的糾纏特性.初態(tài)為GHZ 態(tài)時(shí), 三體糾纏沒(méi)有發(fā)生糾纏突然死亡的現(xiàn)象, 量子比特和輻射場(chǎng)之間的糾纏隨時(shí)間演化時(shí)沒(méi)有達(dá)到最大值, 而W 態(tài)恰好相反.表明在相互作用條件下, 三量子比特GHZ 態(tài)維持三體糾纏的能力更強(qiáng), 魯棒性更好, 這與旋波近似下的模型得出的結(jié)果相同.與其不同的是, 不論初態(tài)是W 態(tài)還是GHZ 態(tài), 隨時(shí)間演化的任意兩量子比特間的糾纏度都很小, 說(shuō)明強(qiáng)耦合是通過(guò)抑制兩量子比特之間的糾纏來(lái)支持三體糾纏的.本文的研究為糾纏態(tài)的魯棒性以及利用Dicke 模型實(shí)現(xiàn)量子信息處理的工作提供理論參考.