利用特殊函數(shù)和類(lèi)比法有序化排列正負(fù)指數(shù)冪算符*

2021-03-04 05:54:14王磊李洪奇徐興磊徐世民王繼鎖

物理學(xué)報(bào) 2021年4期

王磊李洪奇徐興磊徐世民王繼鎖

1) (菏澤學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 菏澤 274015)

2) (曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院, 曲阜 273165)

研究算符函數(shù)的有序化排列是一項(xiàng)重要的數(shù)理任務(wù).本文利用特殊函數(shù)和正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序間的互換法則法導(dǎo)出了冪算符的正規(guī)與反正規(guī)乘積排序.進(jìn)一步, 利用類(lèi)比法得到了算符 ( XP)±n 和 ( PX)±n 的坐標(biāo)-動(dòng)量排序與動(dòng)量-坐標(biāo)排序式.最后, 對(duì)新得到的這些算符結(jié)果的應(yīng)用進(jìn)行一些討論.

1 引言

在量子物理中算符是一個(gè)重要的基本概念.一般來(lái)說(shuō), 由于算符的不可對(duì)易性, 譬如玻色湮滅算符與產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系為使得涉及算符的計(jì)算頗為棘手.如果能夠把算符轉(zhuǎn)化為有序排列形式, 則相應(yīng)的計(jì)算就方便得多.例如一個(gè)正規(guī)乘積排序的算符 : f(a,a?): , 其在相干態(tài)表象中的矩陣元[1,2]為

又如, 密度算符 ρ 的Glauber-Sudarshan P 表示可由其反正規(guī)乘積排序形式直接得到[3,4], 即

(1)式中記號(hào)::表示正規(guī)乘積排序(即所有的產(chǎn)生算符位于所有的湮滅算符的左側(cè)),(2)式中記號(hào)表示反正規(guī)乘積排序(即所有的湮滅算符位于所有的產(chǎn)生算符的左側(cè)).除了算符的這兩種有序化排列形式外, 還有一些其他的有序化排列方式, 如坐標(biāo)-動(dòng)量排序和動(dòng)量-坐標(biāo)排序[5?12].坐標(biāo)-動(dòng)量排序算符和動(dòng)量-坐標(biāo)排序算符在 x -p 相空間的矩陣元可方便地得到, 即

這里記號(hào) Q ···Q 表示坐標(biāo)-動(dòng)量排序(即所有的坐標(biāo)算符 X 位于所有的動(dòng)量算符 P 的左側(cè)), 記號(hào)P···P 表示動(dòng)量-坐標(biāo)排序(即所有的動(dòng)量算符P位于所有的坐標(biāo)算符 X 的左側(cè)).因此, 盡可能直接地得到算符的有序化排列形式就是一項(xiàng)重要的數(shù)理任務(wù).

在量子力學(xué)和量子光學(xué)中, 人們經(jīng)常會(huì)遇到形如 ( XP)n和 ( XP)?n的正負(fù)指數(shù)冪算符(n=0, 1, 2,3,···).對(duì)于低次正指數(shù)冪算符, 可以利用對(duì)易關(guān)系將其轉(zhuǎn)換為有序化排列形式.而對(duì)于負(fù)指數(shù)冪算符和高次正指數(shù)冪算符, 其處理是非常棘手的.本文將利用特殊函數(shù)和算符的正規(guī)與反正規(guī)乘積排序間的互換法則[4,13]導(dǎo)出冪算符的正規(guī)與反正規(guī)乘排序式.進(jìn)一步, 利用類(lèi)比法得到算符 ( XP)±n和 ( PX)±n的坐標(biāo)-動(dòng)量排序與動(dòng)量-坐標(biāo)排序式.最后, 將對(duì)新得到的這些結(jié)果的應(yīng)用進(jìn)行一些討論.

2 指數(shù)算符 e λa?a 和 e λaa?的正規(guī)排序和反正規(guī)排序展開(kāi)式

這一節(jié)來(lái)討論指數(shù)算符 eλa?a和 eλaa?的正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序.將充分利用有序算符內(nèi)的積分技術(shù)和正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序間的互換法則[4,13].

首先來(lái)導(dǎo)出真空投影子 | 0〉〈0| 的正規(guī)乘積排序形式.令 | 0〉〈0|=:f(a,a?): , 并用相干態(tài)左矢〈 z| 和右矢 | z〉夾乘之, 得 f (z,z?)=〈z|0〉〈0|z〉=e?zz?.于是得到

這就是真空投影子 | 0〉〈0| 的正規(guī)乘積排序形式.利用?？丝臻g的完備性關(guān)系式a?a|n〉=n|n〉以及真空投影子的正規(guī)乘積排序形式 , 便得到

這就是指數(shù)算符 eλa?a的正規(guī)乘積排序式.作參數(shù)變換 eλ?1=μ , 則有

這就是脫掉正規(guī)乘積排序指數(shù)算符 : exp(μaa?): 的正規(guī)乘積排序記號(hào) :: 的公式.

進(jìn)一步利用對(duì)易關(guān)系式[a,a?]=aa??a?a=1和 (5)式可得

這就是指數(shù)算符 eλaa?的正規(guī)乘積排序式.

利用(5)式和算符的正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序間的互換法則

可得到指數(shù)算符 eλa?a的反正規(guī)乘積排序, 即

中指數(shù)上的函數(shù)采用了積分降次法, 也就是將湮滅算符與產(chǎn)生算符的“乘積”形式通過(guò)積分法降成了“和”的形式, 并且用到了積分公式

Re(ζ)>0

其收斂條件為 , 否則該積分是發(fā)散的.

如果 R e(eλ)>0 , 利用積分公式(10)式完成(9)式中的積分, 得

如果 eλ=?1 , 也就是 λ =i(2n+1)π , n=0,±1, ±2, ±3,···, 則(9)式化為

(15)式的最后一步計(jì)算中用到了同下標(biāo)雙變量厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系, 即

在 R e(eλ)>0 時(shí), 利用對(duì)易關(guān)系式[a,a?]=aa??a?a =1和(11)式可得

3.1 冪算符的正規(guī)乘積排序和反正規(guī)乘積排序

設(shè) t 是一個(gè)參數(shù), 利用(7)式可得

亦即在 t =0 的鄰域上, 有

據(jù)此定義可依次得到

那么, (18)式就可以表示為

由(19)式可導(dǎo)出

該多項(xiàng)式的更多性質(zhì)詳見(jiàn)附錄A.若對(duì)(19)式進(jìn)行如下處理

式中 Tn(ξ) 是Touchard 多項(xiàng)式, 其定義為

它是Bell 多項(xiàng)式的一個(gè)特例[14,15].也就是說(shuō), Tn(ξ)的生成函數(shù)是在 t =0 的鄰域上有

Touchard 多項(xiàng)式 Tn(ξ) 的微分式可表示為(詳見(jiàn)附錄B)

另外, 比較(21)式和(23)式還可得到

這就是多項(xiàng)式 xn(ξ) 和 Tn(ξ) 的關(guān)系, 因此多項(xiàng)式xn(ξ)可視為Bell 多項(xiàng)式家族的又一個(gè)特例.

因?yàn)樵?t =0 的鄰域上 R e(et)≈1>0 , 上述積分是收斂的, 所以有

3.2 冪算符的正規(guī)乘積排序和反正規(guī)乘積排序

鑒于[ a?,?a]=1=[a,a?] , 若與(28)式類(lèi)比可得

比較(21)式和(31)式可得

這就是多項(xiàng)式 xn(ξ) 和Touchard 多項(xiàng)式 Tn(ξ) 的另一種關(guān)系.

4 ( XP)n和 ( PX)n的坐標(biāo)-動(dòng)量排序和動(dòng)量-坐標(biāo)排序

基于上一節(jié)的結(jié)果, 利用類(lèi)比法可導(dǎo)出冪算符(XP )n和 ( PX)n的坐標(biāo)-動(dòng)量排序和動(dòng)量-坐標(biāo)排序式.鑒于通過(guò)與(28)式類(lèi)比可得

此即冪算符 ( XP)n的坐標(biāo)-動(dòng)量排序展開(kāi)式.通過(guò)與(30)式類(lèi)比, 能得到冪算符 ( XP)n的動(dòng)量-坐標(biāo)排序展開(kāi)式, 即

以及與(29)式作類(lèi)比得

進(jìn)一步利用指數(shù)函數(shù)的Taylor 展開(kāi)式和(32)式—(35)式可得到

這就是指數(shù)算符 eλXP和 eλPX的坐標(biāo)-動(dòng)量排序及動(dòng)量-坐標(biāo)排序的基本形式.由于在 λ =0 的鄰域上以上各級(jí)數(shù)是收斂的, 所以根據(jù)(20)式和(25)式便可得到

這是脫掉坐標(biāo)-動(dòng)量排序算符 Q exp(μXP)Q 的坐標(biāo)-動(dòng)量排序記號(hào)的公式.若令亦即則從(38)式可得到

這是脫掉動(dòng)量-坐標(biāo)排序算符 P exp(σXP)P 的動(dòng)量-坐標(biāo)排序記號(hào)的公式.

5 負(fù)指數(shù)冪算符 ( AB)?1 的有序排列展開(kāi)式

這一節(jié)來(lái)導(dǎo)出形如 ( AB)?1的負(fù)指數(shù)冪算符的有序排列式.由于

5.1 算符的正規(guī)乘積排序和反正規(guī)乘積排序

在(41)式的計(jì)算中, 最后一步使用了雙求和重置公式

事實(shí)上, (41)式還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化, 即

基于(43)式, 利用算符的正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序的互換法則(8)式可進(jìn)一步得到的反正規(guī)乘積排序, 即

式中 Hm,n(x,y) 是雙變量Hermite 多項(xiàng)式[4,16,17],其定義為

5.2 負(fù) 指數(shù)冪算符 ( XP)?1和 ( PX)?1 的坐標(biāo)-動(dòng)量排序及動(dòng)量-坐標(biāo)排序

由于 ( XP +PX) 是厄米算符, 故知其本征值必為實(shí)數(shù).鑒于所以算符 ( XP) 的本征值不會(huì)包含零.那么算符(XP)一定是可逆的, 記其逆算符

這就是算符 ( XP)?1的坐標(biāo)-動(dòng)量排序展開(kāi)式.同樣道理, 類(lèi)比(43)式便得到算符 ( XP)?1的動(dòng)量-坐標(biāo)排序展開(kāi)式, 即

這就是負(fù)指數(shù)冪算符 ( PX)?1的坐標(biāo)-動(dòng)量排序和動(dòng)量-坐標(biāo)排序展開(kāi)式.

6 應(yīng)用舉例

由(2)式可知, 一旦得到了密度算符 ρ 的反正規(guī)乘積排序就是相當(dāng)于得到了其Glauber-Sudarshan P 表示[18], 而密度算符滿(mǎn)足的海森堡方程(算符方程)就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的 c 數(shù)方程, 這給某些問(wèn)題的求解帶來(lái)一定的方便.同時(shí), 有序算符方法可應(yīng)用于量子統(tǒng)計(jì).

作為第一個(gè)例子, 下面討論處于熱平衡的輻射場(chǎng)(混沌光場(chǎng)).按照統(tǒng)計(jì)物理理論, 表示該輻射光場(chǎng)的密度算符為

這就是混沌光場(chǎng)密度算符的反正規(guī)乘積排序形式,式中

基于(2)式和(49)式, 便得到

此即混沌光場(chǎng)的Glauber-Sudarshan P 表示.混沌光場(chǎng)存在 P 表示, 意味著存在相應(yīng)的“經(jīng)典”光場(chǎng).而對(duì)于相干態(tài) | ζ〉 , 密度算符 | ζ〉〈ζ| 的Glauber-Sudarshan P 表示則為

其中 g (ω) 為能級(jí)密度因子.因?yàn)?/p>

作為第二個(gè)例子, 下面討論互換法則(8)式的應(yīng)用.考慮正規(guī)排序算符 eλa?2eva2, 利用該互換法則可得其反正規(guī)排序式為

這里再一次用到了雙變量Hermite 多項(xiàng)式.另一方面, 也可以采用積分降次法進(jìn)行計(jì)算, 即

這是算符 eλa?2eva2反正規(guī)乘積排序的另一種形式, 是指數(shù)形式的, 它要求 R e(1 ?4λv)>0.在上面的計(jì)算中用到了如下積分公式:

另一方面, 利用互換法則(8)式可得

這要求 R e(1 ?4λv)>0.比較(57)式和(58)式, 并做替換 a?→x , a →y , 便得到這就是奇次雙變量Hermite 多項(xiàng)式H2m+1,2n+1(x,y)的生成函數(shù).同樣可得到奇偶次和偶奇次雙變量Hermite 多項(xiàng)式的生成函數(shù), 即

這一些關(guān)于雙變量Hermite 多項(xiàng)式的生成函數(shù)都將在數(shù)學(xué)物理中有著各自的應(yīng)用.

7 結(jié) 論

利用特殊函數(shù)和正規(guī)乘積排序與反正規(guī)乘積排序間的一般互換法則將冪算符及化為了正規(guī)乘積排序和反正規(guī)乘積排序形式.進(jìn)一步利用類(lèi)比法得到了冪算符及的坐標(biāo)-動(dòng)量排序和動(dòng)量-坐標(biāo)排序式.最后, 利用冪算符的有序排列結(jié)果討論了混沌光場(chǎng), 并通過(guò)正規(guī)乘積與反正規(guī)乘積排序間的一般互換法則得到了在數(shù)學(xué)物理中有著應(yīng)用價(jià)值的偶次及奇次雙變量Hermite 多項(xiàng)式的生成函數(shù).

附錄A 多項(xiàng)式xn(ξ)

從多項(xiàng)式 xn(ξ) 的定義(19)式可得