鄧衍生

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，數(shù)學(xué)教育的最終目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的目光觀察現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，并把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)細(xì)分為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出，“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)和理解、思考與探索;課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系.”數(shù)學(xué)概念承載著數(shù)學(xué)思想與方法，構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的根基，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)為方針，重視數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程，將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)變?yōu)椤皩W(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程.本文旨在通過初中函數(shù)概念的建構(gòu)過程，探究初中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成路徑.

1初中函數(shù)概念的建構(gòu)過程

函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)概念，它有著極其廣泛的應(yīng)用，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中占有重要地位.代數(shù)教學(xué)的研究?jī)?nèi)容逐漸從“以解方程為核心”轉(zhuǎn)變到“以研究函數(shù)為核心”，揭示了數(shù)學(xué)概念在中學(xué)教學(xué)中的重要地位.然而，函數(shù)作為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中初次遇到的具有一般意義的抽象概念，初中生對(duì)其概念理解的難度是毋庸置疑的.

（1）教材分析

人教版義務(wù)教育教科書中有關(guān)函數(shù)內(nèi)容出現(xiàn)的先后順序依次是：八年級(jí)下冊(cè)第十九章一次函數(shù)、九年級(jí)上冊(cè)第二十二章二次函數(shù)、九年級(jí)下冊(cè)第二十二章反比例函數(shù).

函數(shù)的一般概念，在人教版教材的第一小節(jié)中稱之為“變量與函數(shù)”（即變化與對(duì)應(yīng)意義下的函數(shù)），是第19.1節(jié)的重點(diǎn)，在人教版教材文本占比約3頁(yè)，其中，使用問句10個(gè)，使用陳述句23個(gè).教材所占篇幅多且文字緊密，側(cè)重對(duì)知識(shí)的講述教學(xué).首先，變量與常量的概念引入過程是通過四個(gè)實(shí)例：汽車行駛路程與時(shí)間（填表）、票房收入與票數(shù)（銷售問題）、水中漣漪，圓的面積與圓的半徑（幾何問題，二次關(guān)系）、矩形鄰邊變化（幾何問題，一次關(guān)系）.其次，通過4個(gè)實(shí)例：水費(fèi)與用水量、話費(fèi)余額與用水量、水中漣漪（圓的面積與圓的半徑）、書放入兩個(gè)抽屜進(jìn)行鞏固，歸納變量與常量的概念，歸納變量之間的相互聯(lián)系，思考變量之間的聯(lián)系.最后，自變量、函數(shù)、函數(shù)值的引入則通過體檢心電圖、人口數(shù)與年份這兩個(gè)圖表實(shí)例，這些實(shí)例通過函數(shù)、圖像、表格的表達(dá)形式指向變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也為后面介紹函數(shù)的多種表達(dá)方式做準(zhǔn)備.

人教版教材通過思考、總結(jié)、練習(xí)，再思考、再總結(jié)、最后再思考等步驟，首先借由多個(gè)實(shí)例闡述變量及變量間的關(guān)系，再通過這些實(shí)例引入變量間相互關(guān)系，最后總結(jié)函數(shù)概念.

教材采取了傳統(tǒng)的講述型語(yǔ)言形式，問句句式豐富，知識(shí)呈現(xiàn)思路清晰明了，具有很強(qiáng)的說服力，娓娓道出“概念的產(chǎn)生既是生活實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的結(jié)果”.但文字占據(jù)較長(zhǎng)篇幅，使文本拘于程序化，令學(xué)生在自主預(yù)習(xí)時(shí)被動(dòng)接納知識(shí)，不益于培養(yǎng)其思維能力，限制了好奇心的產(chǎn)生。同時(shí)，教材缺乏對(duì)于“引入概念的意義”的剖析，缺少了引導(dǎo)學(xué)生思考并感悟函數(shù)概念中“核心元素及其關(guān)系”的過程.

（2）概念建構(gòu)

美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)需要進(jìn)行心理建構(gòu)，這一過程主要經(jīng)歷四個(gè)階段：操作階段（Action）、過程階段（P-rocess）、對(duì)象階段（Object）及圖式階段（Scheme）.

對(duì)于初中函數(shù)而言，引入概念前的良性鋪墊是十分必要的，這樣才能讓學(xué)生于現(xiàn)實(shí)世界中領(lǐng)悟函數(shù)概念的客觀存在，讓學(xué)生親身體會(huì)并能完整表述函數(shù)概念的形成過程.

教材以“萬(wàn)物皆變”富有哲理地開啟了函數(shù)篇章，配之綠洲雪山的詩(shī)意畫面：“星星在宇宙中的位置隨時(shí)間而變化，氣候隨海拔而變化，樹高隨樹齡而變化……在你周圍的事物中，這種一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的現(xiàn)象大量存在.”學(xué)生們?cè)谶@個(gè)情境下開啟了函數(shù)概念的學(xué)習(xí).

盡管學(xué)生在生活中有兩個(gè)量之間相互依存關(guān)系的體驗(yàn)，在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也了解了成正比例關(guān)系、反比例關(guān)系的兩個(gè)量之間變化依存關(guān)系，以及字母取值變化引起代數(shù)式值的變化等等，但是，他們?cè)诶斫夂瘮?shù)概念時(shí)還是會(huì)遇到相當(dāng)大的困難，尤其難以歸納出“一個(gè)變量的值的確定導(dǎo)致另一個(gè)變量的值的唯一確定”，且變量之間是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這里又包含了兩個(gè)意義：一是存在對(duì)應(yīng)值，二是這個(gè)值是唯一確定的.

人教版教科書在《19.1.1變量與函數(shù)>中設(shè)計(jì)了4個(gè)問題，既引出變量與常量的概念，也為建構(gòu)函數(shù)概念做準(zhǔn)備.

首先在上述借4個(gè)實(shí)例引出函數(shù)概念的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生得出兩個(gè)變量t，s，并且s隨t的變化而變化;再引導(dǎo)學(xué)生取定一些t的值，求出s的對(duì)應(yīng)值并列表.這是建構(gòu)函數(shù)概念的第一階段：操作階段（Action）.接著引導(dǎo)學(xué)生分析變量t和s間的關(guān)系：當(dāng)取定t的值后，s的值有且只有一個(gè)，即當(dāng)t為一個(gè)確定值時(shí)，s的值由t的值完全且唯一確定.這是概念建構(gòu)的第二階段：過程階段（Proc-ess）.

教材中該章節(jié)的其余內(nèi)容也通過類似分析，發(fā)現(xiàn)這些對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同特征，首次形成函數(shù)概念的歸納總結(jié)，即用解析式表示的變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的“樣例”.例如，學(xué)生從“體檢心電圖”中領(lǐng)會(huì)到，當(dāng)確定其中一個(gè)變量值時(shí)，通過圖像也可以確定另一個(gè)變量的唯一的值;從“人口數(shù)與年份’中領(lǐng)會(huì)到，當(dāng)某一變量取一個(gè)定值時(shí)，通過查表也可以確定另一個(gè)變量的唯一的值.設(shè)計(jì)兩個(gè)實(shí)際問題的目的都是為了突出函數(shù)的本質(zhì)屬性——“變化”、“對(duì)應(yīng)”、“唯一確定”，并剝離“用公式表示變量關(guān)系”的非本質(zhì)屬性.由此，學(xué)生第二次、第三次形成函數(shù)概念歸納，即函數(shù)概念用圖像、表格表示的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的“樣例”.

教材通過分步概括，幫助學(xué)生理解并總結(jié)出函數(shù)的3種不同表現(xiàn)形式均指向“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”的共同特征，從而形成函數(shù)定義：一般地，在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量.

2教師在培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的作用

（1）教師要尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生形成良好的學(xué)科素養(yǎng)

人民教育出版社編審章建躍認(rèn)為：“核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須實(shí)現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過渡，這就要求在核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，重點(diǎn)考慮概念的來源、相關(guān)概念及其關(guān)系、概念的作用（新知識(shí)的詮釋、舊知識(shí)的翻新）等，并更要突出概念形成的過程性.特別值得注意的是，核心數(shù)學(xué)概念的形成不是一蹴而就的，常常需要幾節(jié)課或一個(gè)階段才能完成概念建構(gòu)，甚至是一個(gè)長(zhǎng)期、動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過程，函數(shù)概念就是最典型的例證.”

在杜賓斯基理論的第三階段“對(duì)象階段（Object）”中，已將函數(shù)過程作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象，例如函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算等。在函數(shù)表示式f（x）±g（x）中，f（x）和g（x）兩個(gè)函數(shù)均視為整體對(duì)象.到了第四階段“圖式階段（Scheme）”時(shí)，函數(shù)概念已占據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中獨(dú)特且重要的地位，它以一種綜合的心理圖式存在于認(rèn)知中——包含具體函數(shù)實(shí)例、抽象的建模過程和完備的定義，以及同其它概念之間的聯(lián)系與差別.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)部分的學(xué)習(xí)時(shí)間跨度大，對(duì)函數(shù)概念的理解無法做到一次性到位，因此教師在教學(xué)中應(yīng)該尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和課程標(biāo)準(zhǔn)的具體實(shí)現(xiàn).

關(guān)于函數(shù)的教學(xué)，教師曾經(jīng)更關(guān)注“知識(shí)內(nèi)容”與“過程方法”這兩個(gè)目標(biāo)，在以“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”為終極目標(biāo)的指導(dǎo)下，教師也應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)與態(tài)度，從學(xué)習(xí)情感的角度去引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生們形成良好的學(xué)科素養(yǎng).

函數(shù)的概念在數(shù)學(xué)概念的分類中屬變化式數(shù)學(xué)概念，其特點(diǎn)為：經(jīng)過逐級(jí)抽象后，在其應(yīng)用時(shí)很難看出原形.這類數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知表征擁有著千變?nèi)f化的形式，學(xué)生所需認(rèn)知的正是通過不斷總結(jié)各種形式的演變從而達(dá)到理解目的.在經(jīng)歷“取之于概念，用之于變化”的過程后，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從這些數(shù)學(xué)概念一成不變的文字中悟出其變化的特點(diǎn)，最終使學(xué)生徹底理解數(shù)學(xué)概念.

（2）教師要通過教學(xué)實(shí)踐研究，引導(dǎo)學(xué)生在參加數(shù)學(xué)活動(dòng)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

函數(shù)概念體現(xiàn)了概括性、抽象性、精確性等幾大特性，引入概念的過程尤為重要.在函數(shù)教學(xué)的課時(shí)中，大量生活實(shí)例的運(yùn)用讓學(xué)生感受到生成新概念的必要性，數(shù)學(xué)概念既能滿足實(shí)際生活的需求，又是數(shù)學(xué)學(xué)科本身自主發(fā)展的必然結(jié)果.如無法為學(xué)生建立起概念產(chǎn)生的背景，他們的學(xué)習(xí)就會(huì)迷失方向感，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果差強(qiáng)人意.因此，在概念建立伊始的教學(xué)課程中要注重培養(yǎng)學(xué)生體會(huì)概念產(chǎn)生的必要性，教學(xué)時(shí)要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界中的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主自發(fā)地參與到深入探究常識(shí)材料的活動(dòng)中，在概念的實(shí)例和現(xiàn)實(shí)問題中體會(huì)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”.

依照建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)實(shí)際上是新舊知識(shí)互相作用的結(jié)果，學(xué)習(xí)是每個(gè)學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的主動(dòng)的建構(gòu)過程.在函數(shù)教學(xué)的諸多課時(shí)中，學(xué)生通過反復(fù)領(lǐng)悟兩個(gè)變量間“對(duì)應(yīng)”關(guān)系的過程，在收獲函數(shù)知識(shí)的同時(shí)，也收獲了探究過程所帶來的“隱性知識(shí)”，即數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).課時(shí)設(shè)計(jì)的多個(gè)情境均運(yùn)用了以往學(xué)習(xí)過的知識(shí)，但在教學(xué)中讓學(xué)生不斷地體會(huì)“兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系”是新問題、新知識(shí).這種讓學(xué)生在親歷函數(shù)概念的形成過程中引導(dǎo)他們主動(dòng)建構(gòu)函數(shù)概念的教學(xué)方式將讓學(xué)生終身受益.

教學(xué)科研工作者李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也.”用以解題為主的教學(xué)方式替代以概念為主的教學(xué)方式嚴(yán)重背離了數(shù)學(xué)教育的初衷，許多教師的教學(xué)任務(wù)中并沒有涵蓋“解決本章節(jié)的主要問題、基本過程和主要思想方法”，令學(xué)生失去充分了解并概括數(shù)學(xué)概念本質(zhì)及特點(diǎn)的機(jī)會(huì).更令人憂慮的是長(zhǎng)此以往，部分教師不懂得如何教學(xué)生以概念，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法及意義的不了解在某種程度上解釋了目前學(xué)生花費(fèi)大量時(shí)間精力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只將注意力聚焦在學(xué)習(xí)結(jié)果上，應(yīng)更注重教學(xué)活動(dòng)本身.不僅要看重學(xué)生所獲取的知識(shí)及技能，也要激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在參加數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲取基本經(jīng)驗(yàn)、領(lǐng)悟基本思想，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.核心素養(yǎng)應(yīng)著重關(guān)注師生核心素養(yǎng)的生命價(jià)值立場(chǎng)，從課程理解力、開發(fā)力、實(shí)施力及研究力四方面增強(qiáng)教師的課程能力.教師要努力成為教學(xué)實(shí)踐研究者，不斷提升自身課程能力.

課程能力的提升則以對(duì)課程深入理解為前提.教師們應(yīng)首先明晰核心素養(yǎng)的價(jià)值立場(chǎng)，才可以立足于教學(xué)質(zhì)量的生命意義和價(jià)值立場(chǎng)來斟酌課程建設(shè)，將課程視作知識(shí)與學(xué)生成長(zhǎng)歷程的一次相遇過程，豐富了師生經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)形成教師自身獨(dú)有的教學(xué)風(fēng)格.在教學(xué)模式日益繁雜的今天，教師需要更強(qiáng)的教育信念與教學(xué)定力，全面理解并把握學(xué)科核心素養(yǎng)和價(jià)值立場(chǎng)，而不是機(jī)械地接納，在教會(huì)學(xué)生主動(dòng)鉆研的學(xué)習(xí)方式的同時(shí)提高自身教學(xué)評(píng)價(jià)能力.

教師的發(fā)展是專業(yè)的發(fā)展，是一種建立于優(yōu)化自身能力結(jié)構(gòu)、增強(qiáng)自身適應(yīng)性能力基礎(chǔ)上的內(nèi)涵發(fā)展.研究“人”是“教人”的前提條件，通過研究“人”從而掌握“人”的成長(zhǎng)規(guī)律，這樣才可能更好地育人.因此，教師的首要任務(wù)是研究自己和學(xué)生，而后是鉆研學(xué)科本身.在鉆研學(xué)科核心素養(yǎng)與育人價(jià)值的同時(shí)要關(guān)注資源配置和教學(xué)情境設(shè)計(jì).這樣，教師才能在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的同時(shí)提升自身思維素養(yǎng)及專業(yè)能力.