宿帥，劉旭，王學(xué)楷，唐濤，曹源

(1.北京交通大學(xué)，a.軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.電子信息工程學(xué)院，北京100044；2.北京地鐵運(yùn)營(yíng)有限公司，北京100044)

0 引言

重大疫情給乘客密集的地鐵運(yùn)營(yíng)帶來(lái)了重大挑戰(zhàn)，為使疫情下地鐵系統(tǒng)乘客密度滿足公共衛(wèi)生服務(wù)要求，北京地鐵決定大幅提升所有線路運(yùn)力，旨在降低既有巨大客流出行時(shí)列車車廂內(nèi)的滿載率，減少公共運(yùn)輸體系中疫情傳播的可能性。為此，北京地鐵在大多數(shù)線路運(yùn)用“超常”條件下的“超強(qiáng)”運(yùn)行圖(“雙超”運(yùn)行圖)，并實(shí)施增加車次，多交路運(yùn)行，減少列車運(yùn)行間隔，大站快車等措施。利用有限的車輛資源，在既有的線路條件下，實(shí)現(xiàn)對(duì)客流時(shí)空規(guī)律的精準(zhǔn)分析，線路資源的精準(zhǔn)運(yùn)用，運(yùn)力的精準(zhǔn)投放，以及列車滿載率的實(shí)時(shí)精準(zhǔn)監(jiān)測(cè)，降低列車滿載率。

(1)精確挖掘線網(wǎng)客流的時(shí)空分布規(guī)律。分析各條線路客流在空間、時(shí)間等多個(gè)維度的分布特征，分析乘客在換乘站的換乘方向和換乘時(shí)間，作為精準(zhǔn)配置運(yùn)力的基礎(chǔ)。

(2)精準(zhǔn)運(yùn)用和配置網(wǎng)絡(luò)資源。運(yùn)用有限的網(wǎng)絡(luò)配線資源和車輛基地，依據(jù)客流分布規(guī)律，通過(guò)多交路行車，雙向不平衡行車，大站快車，越行快車，以及減少停站時(shí)間等措施，提高線網(wǎng)資源配置的精確性和效率。

(3)精準(zhǔn)匹配運(yùn)力、運(yùn)量。按照運(yùn)力與運(yùn)量精準(zhǔn)匹配原則，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)客流時(shí)空分布規(guī)律，因地制宜，采取不同的措施組合，編制網(wǎng)絡(luò)化列車運(yùn)行圖，使圖定運(yùn)力與實(shí)際運(yùn)量相匹配。

(4)精準(zhǔn)監(jiān)測(cè)運(yùn)行列車實(shí)時(shí)滿載率。搭建專用平臺(tái)，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和分析各線路中各車站的出入站乘客數(shù)、換乘乘客數(shù)及列車滿載率信息；通過(guò)相應(yīng)的應(yīng)急機(jī)制，在適當(dāng)時(shí)刻調(diào)整行車，使提供運(yùn)力與實(shí)時(shí)客流精確匹配。

在面向乘客服務(wù)的列車運(yùn)行圖優(yōu)化編制研究中，CANCA 等[1]以最小化乘客等待時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)，提出一種考慮動(dòng)態(tài)乘客需求的MINLP(Mixed Integer Non-linear Programing)模型并運(yùn)用GAMS(General Algebraic Modeling System)軟件求解問(wèn)題。ZHU等[2]以列車運(yùn)營(yíng)追蹤間隔為決策變量，降低乘客等待時(shí)間和旅行時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)，提出運(yùn)行圖優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，并采用GA(Genetic Algorithm)方法作為問(wèn)題優(yōu)化算法。NIU 等[3]以最小化乘客等待時(shí)間為目標(biāo)，提出一種適用于列車跳停場(chǎng)景的運(yùn)行圖優(yōu)化方法，建立MINLP 模型并用GAMS 軟件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。以上研究均針對(duì)單交路模式下的運(yùn)行圖優(yōu)化編制問(wèn)題，在多交路模式研究中，李正洋等[4]以不同交路列車的編組數(shù)及發(fā)車頻次為決策變量建立MINLP 模型，通過(guò)優(yōu)化降低了乘客等待時(shí)間和運(yùn)營(yíng)成本。SANDER 等[5]基于列車多交路運(yùn)行場(chǎng)景，通過(guò)運(yùn)行圖優(yōu)化降低了乘客等待時(shí)間和取消的計(jì)劃車次數(shù)。JI等[6]建立馬爾可夫模型并設(shè)計(jì)啟發(fā)式方法求解問(wèn)題，模型中優(yōu)化目標(biāo)是最小化乘客等待時(shí)間、乘客旅行時(shí)間和運(yùn)營(yíng)成本。許得杰等[7]提出的優(yōu)化模型以增加滿載率均衡性和乘客等待時(shí)間、列車總運(yùn)行時(shí)間和走行公里為優(yōu)化目標(biāo)，并采用受控隨機(jī)搜索求解問(wèn)題。

“雙超”運(yùn)行圖的重要目的是降低列車滿載率，使其滿足防控要求。但以往針對(duì)多交路運(yùn)行圖的優(yōu)化編制研究尚未考慮這一特殊條件下的優(yōu)化指標(biāo)。因此，本文依據(jù)“雙超”運(yùn)行圖的編制流程，提出面向車廂低滿載率的“雙超”運(yùn)行圖優(yōu)化編制方法，建立開(kāi)行方案和列車運(yùn)行圖雙層規(guī)劃優(yōu)化模型，并用CPLEX軟件求解問(wèn)題。相比以往方法，該優(yōu)化模型的創(chuàng)新點(diǎn)在于可在車輛資源有限的前提下，根據(jù)客流信息優(yōu)化列車運(yùn)行圖，使車廂滿載率最低。

1 “雙超”運(yùn)行圖雙層規(guī)劃模型

本節(jié)基于圖1所示的“雙超”運(yùn)行圖編制流程，建立面向車廂低滿載率的雙層規(guī)劃模型，對(duì)列車開(kāi)行方案及列車運(yùn)行圖進(jìn)行優(yōu)化。

在雙層規(guī)劃模型中，上層模型以降低平均滿載率為目標(biāo)，在基于時(shí)空分布規(guī)律確定的交路方案基礎(chǔ)上得到列車開(kāi)行方案中運(yùn)行各交路的列車數(shù)；下層模型在上層模型優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，優(yōu)化得到滿足列車運(yùn)行約束的運(yùn)行圖參數(shù)；上層模型再基于下層模型優(yōu)化結(jié)果對(duì)列車開(kāi)行方案參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)迭代優(yōu)化得到面向車廂低滿載率的列車運(yùn)行圖。

1.1 上層模型

在上層模型中，根據(jù)客流時(shí)空分布規(guī)律確定交路方案。設(shè)β={1,2,…,S} 為地鐵線路中的車站集合，上行、下行站臺(tái)共2S個(gè)?？勺鳛檎鄯嫡镜能囌炯夕?β，共有T個(gè)。則線路中共有條可選交路，需從中選取若干條作為實(shí)際列車運(yùn)行交路。確定交路方案的過(guò)程中，先分析客流的時(shí)空特征，利用客流在時(shí)間維度上的不均衡特性，將全日行車時(shí)間分成平峰、高峰時(shí)段；利用空間不均衡特性確定交路方案。具體地，根據(jù)客流信息計(jì)算客流時(shí)間不均衡系數(shù)，并將時(shí)間不均衡系數(shù)大于1.5 的時(shí)段設(shè)為高峰時(shí)段，再計(jì)算高峰時(shí)段的客流空間不均衡系數(shù)。若各區(qū)間的空間不均衡系數(shù)均小于1.5，則采用單交路運(yùn)行；否則，開(kāi)行大、小交路，小交路包含全部空間不均衡系數(shù)大于1.5的區(qū)間，并盡量包含該系數(shù)大于1的區(qū)間。

圖1 “雙超”運(yùn)行圖的基本編制流程Fig.1 Basic process for designing train timetable in epidemics

基于交路方案，對(duì)列車開(kāi)行方案進(jìn)行優(yōu)化。不失一般性，以下述交路方案為例介紹模型：運(yùn)行交路集合為ε={1,2} ，其中，r=1 為大交路，包含車站集合β1=β，區(qū)間集合φ1；r=2 為小交路，包含車站集合S2={1,2,…,s(turn)}，其中，折返站s(turn)∈θ，區(qū)間集合φ2。

第n次迭代的決策變量是運(yùn)行大、小交路的列車數(shù)I1(n)和I2(n)，需要滿足可用車底總量約束條件，即

式中：I為可用列車數(shù)。

設(shè)第n-1 次迭代得到各交路的全周轉(zhuǎn)運(yùn)行時(shí)間為Fr(n-1),?r∈ε。則運(yùn)行大、小交路列車的平均發(fā)車間隔時(shí)間為

因此，小交路和小交路外區(qū)域內(nèi)行車提供的運(yùn)力Y1、Y2分別為

式中：Yv、nv分別為車廂定員和列車編組數(shù)。根據(jù)客流和運(yùn)力計(jì)算上行各區(qū)間的列車滿載率為

式中：j為線路中區(qū)間的索引；為區(qū)間j內(nèi)上行方向的斷面客流量。

同理可得下行各區(qū)間的列車滿載率。式(4)為非線性函數(shù)，為便于后續(xù)求解，采用分段仿射方法將該函數(shù)近似轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)[9]。

為滿足疫情防控要求，盡量使各區(qū)間的列車滿載率低于50%，因此，上層模型的優(yōu)化目標(biāo)為

式中：為全線各區(qū)間上、下行方向列車滿載率超出滿載率指標(biāo)的平均值；J為線路區(qū)間總數(shù)。

1.2 下層模型

在第n次迭代時(shí)，下層模型在上層模型得到的各交路開(kāi)行列車數(shù)I1(n)和I2(n)的基礎(chǔ)上，對(duì)列車運(yùn)行圖參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。

首先，為保障列車運(yùn)行安全，運(yùn)行交路為r∈ε的列車在各站的發(fā)車間隔需滿足

式中：γr(n)為第n次迭代時(shí)交路r中運(yùn)行列車的集合；為上行方向運(yùn)行列車i在第c個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)，從車站s發(fā)車的時(shí)間；h(min)為最小發(fā)車間隔。

其次，在小交路各車站中，會(huì)存在運(yùn)行不同交路的列車相鄰的情況，因此還需要滿足安全約束條件為

在列車運(yùn)行中，運(yùn)行交路為r∈ε的列車在各區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間需滿足

式中：T(s,s+1,up,min)、T(s,s+1,up,max)分別為最小區(qū)間運(yùn)行時(shí)間和最大區(qū)間運(yùn)行時(shí)間；為列車i在上行方向運(yùn)行到第c個(gè)周期內(nèi)，到達(dá)車站s+1的時(shí)間。

在“雙超”運(yùn)行圖中，列車停站時(shí)間可以根據(jù)客流數(shù)據(jù)計(jì)算獲得，本文采用經(jīng)驗(yàn)公式[8]計(jì)算上行方向列車在車站s的停站時(shí)間D(s,up)，即

此外，列車折返時(shí)間需要滿足約束條件為

式中：B(1,min)、B(S,min)分別為列車在大交路折返站1和S處的最短折返時(shí)間；B(sturn,min)為列車在小交路折返站s(turn)處的最短折返時(shí)間。

在折返站s∈θ處，列車最短折返時(shí)間B(s,min)的計(jì)算公式為

式中：Ba(s)、Bd(s)、Bb(s)分別為清人時(shí)間、轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)間和上人時(shí)間；Bi(s,front)、Bo(s,front)、Bi(s,back)、Bo(s,back)分別為列車在站前、站后折返時(shí)的入庫(kù)及出庫(kù)時(shí)間；二元變量δ(s)判斷列車在折返站s采用的折返方式，若采用站前折返方式，δ(s)=1 ，否則，為站后折返，δ(s)=0。

運(yùn)行交路r∈ε的列車全周轉(zhuǎn)運(yùn)行時(shí)間為

全周轉(zhuǎn)運(yùn)行時(shí)間需要滿足約束條件為

式中：Fr(min)為交路r的最短全周轉(zhuǎn)時(shí)間。

綜上所述，面向車廂低滿載率的雙層規(guī)劃線性模型為

優(yōu)化目標(biāo)：式(5)

約束條件：式(1)～式(4)，式(6)～式(14)

本文基于雙層規(guī)劃線性模型，運(yùn)用CPLEX 軟件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。

2 仿真結(jié)果分析

基于亦莊線實(shí)際數(shù)據(jù)，通過(guò)仿真對(duì)提出的“雙超”運(yùn)行圖優(yōu)化編制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

亦莊線某日上行、下行方向的分時(shí)斷面客流量如圖2所示，其中，亦莊火車站-宋家莊方向?yàn)樯闲蟹较?，按該方向?qū)④囌疽来尉幪?hào)為1～14，將區(qū)間依次編號(hào)為1～13。

根據(jù)客流數(shù)據(jù)計(jì)算得到客流時(shí)間不均衡系數(shù)，如圖3(a)所示，早高峰時(shí)段為7:00-10:00，晚高峰時(shí)段為18:00-19:00。其中，全日最大斷面客流出現(xiàn)在8:00-9:00，該時(shí)段內(nèi)客流空間不均衡系數(shù)如圖3(b)所示。

該時(shí)段有3 個(gè)區(qū)間在至少一個(gè)方向上的空間不均衡系數(shù)大于1.5，因此，需開(kāi)行大小交路，且小交路應(yīng)包含這些區(qū)間。同時(shí)有2 個(gè)空間不均衡系數(shù)大于1 的區(qū)間。結(jié)合實(shí)際運(yùn)營(yíng)，亦莊火車站、同濟(jì)南路、舊宮、宋家莊(序號(hào)分別為：1,5,11,14)這4個(gè)車站具備折返條件，得出小交路折返站分別為同濟(jì)南路和宋家莊。

基于雙層規(guī)劃模型求解早、晚高峰列車開(kāi)行方案和列車運(yùn)行圖，圖4為優(yōu)化后的早高峰運(yùn)行圖。

圖2 北京地鐵亦莊線全日分時(shí)斷面客流量Fig.2 Passenger flow for each hour in Beijing Metro YIZHUANG line

表1為優(yōu)化后開(kāi)行方案和運(yùn)行圖參數(shù)與當(dāng)前未優(yōu)化列車運(yùn)行圖的對(duì)比結(jié)果。

圖3 客流不均衡系數(shù)Fig.3 Unbalanced factor of passenger flow

圖4 早高峰時(shí)段運(yùn)行圖Fig.4 Train timetable in morning peak

表1結(jié)果表明，在運(yùn)行圖優(yōu)化后全部22列列車上線運(yùn)行，新增3列運(yùn)行列車，運(yùn)行大交路、小交路的列車分別為13 列和9 列。優(yōu)化后在小交路中行車提供的運(yùn)力比未優(yōu)化時(shí)提升33.3%(設(shè)全列定員為1440人)，進(jìn)而使優(yōu)化后上行、下行列車的最大滿載率分別降低21.1%和16.6%，更接近列車滿載率低于50%的防疫要求。

表1 優(yōu)化前后早高峰開(kāi)行方案和運(yùn)行圖參數(shù)Table 1 Parameters of operation plan and timetable in morning peak

優(yōu)化后列車最大滿載率下降的原因主要有兩個(gè)方面：首先，運(yùn)行列車數(shù)的增加使全線列車可提供的運(yùn)力增加，整體上降低了列車滿載率；其次，在列車數(shù)一定的前提下，通過(guò)開(kāi)行大交路、小交路對(duì)運(yùn)力進(jìn)行優(yōu)化配置，在客流較大的小交路中提供更多運(yùn)力，為其他客流較少的區(qū)間提供相對(duì)較低的運(yùn)力。該方法使運(yùn)力得到更高效的利用，通過(guò)迭代優(yōu)化開(kāi)行方案和運(yùn)行圖使各斷面的滿載率更均衡，降低最大滿載率，使“雙超”運(yùn)行圖防疫效果更佳。8:00-9:00 時(shí)段優(yōu)化前后各斷面滿載率如圖5所示。

圖6為優(yōu)化后晚高峰運(yùn)行圖，表2為優(yōu)化前、后的開(kāi)行方案和運(yùn)行圖參數(shù)。表2結(jié)果表明：晚高峰運(yùn)行圖優(yōu)化后，運(yùn)行大交路、小交路的列車分別為13列和9列，在小交路中行車提供的運(yùn)力比未優(yōu)化時(shí)提升66.7%；優(yōu)化后上行、下行列車的最大滿載率分別降低21.1%和16.6%，滿足列車滿載率低于50%的防疫要求。列車最大滿載率下降原因同樣是運(yùn)行列車數(shù)的增加使整體運(yùn)力增大，以及優(yōu)化配置運(yùn)力使各斷面滿載率更均衡。圖7為優(yōu)化前、后的各斷面列車滿載率。

圖5 優(yōu)化前后8:00-9:00時(shí)段各斷面列車滿載率Fig.5 Load factor for each segment in 8:00-9:00 before and after optimization

圖6 晚高峰運(yùn)行圖Fig.6 Train timetable in evening peak

表2 優(yōu)化前、后晚高峰開(kāi)行方案和運(yùn)行圖參數(shù)Table 2 Parameters of operation plan and train timetable in evening peak

圖7 優(yōu)化前、后18:00-19:00各斷面列車滿載率Fig.7 Load factor for each segment in 18:00-19:00 before and after optimization

3 結(jié)論

為降低病毒在乘客間傳播的可能性，本文基于疫情下“雙超”列車運(yùn)行圖的優(yōu)化編制流程，提出一種面向車廂低滿載率雙層規(guī)劃模型，用于優(yōu)化列車開(kāi)行方案及列車運(yùn)行圖。該方法可在車輛資源有限的前提下，根據(jù)客流信息優(yōu)化獲得使車廂滿載率最低的“雙超”運(yùn)行圖。優(yōu)化后，早、晚高峰中小交路列車運(yùn)行所提供的運(yùn)力分別增加了33.3%和66.7%，全線最大列車滿載率分別降低了21.1%和23.2%。因此，所提方法可有效降低列車滿載率，進(jìn)而減少疫情在公共運(yùn)輸體系中傳播的風(fēng)險(xiǎn)，為疫情下城軌運(yùn)輸體系提供了良好地支撐。