苗二亮

【摘 要】計(jì)算教學(xué)由計(jì)算原理教學(xué)和技能訓(xùn)練兩部分組成，算理和算法相輔相成，算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括。計(jì)算不應(yīng)該是單純的算法演練，教學(xué)中要關(guān)注已有經(jīng)驗(yàn)，借助直觀模型，給學(xué)生留足時(shí)空，搭建認(rèn)知的腳手架，使學(xué)生在操作、比較、遷移、類比等活動(dòng)中，建立算理間關(guān)聯(lián)，加深對(duì)算理的理解，搭建算法和算理橋梁，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】算理 算法 計(jì)算教學(xué)

一、緣起

筆者曾經(jīng)參與一節(jié)《整數(shù)除以分?jǐn)?shù)》研討課，執(zhí)教教師通過“創(chuàng)設(shè)情境，列出算式—自主探索，交流算法—借助直觀，理解算理—抽象概括，形成算法”的線索，使學(xué)生掌握計(jì)算方法，課堂練習(xí)氣氛活躍，教學(xué)效果看似不錯(cuò)。

隨后，聽課教師出了一道練習(xí)題（圖1）對(duì)執(zhí)教班級(jí)學(xué)生進(jìn)行后測，調(diào)研結(jié)果卻引發(fā)了筆者的思考。全班50個(gè)學(xué)生中有48個(gè)學(xué)生能夠正確列式計(jì)算，但僅有9個(gè)學(xué)生能夠正確畫圖表示結(jié)果。通過訪談得知：有的學(xué)生說，3÷的計(jì)算結(jié)果會(huì)算，但怎么表示計(jì)算過程不知道;有的學(xué)生認(rèn)為，已經(jīng)能夠正確計(jì)算結(jié)果，還需要畫圖表示干什么……當(dāng)問及學(xué)生“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)為什么可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)的倒數(shù)來解決”時(shí)，多數(shù)學(xué)生的回答是“老師教的”。

1.先畫圖表示3÷的計(jì)算結(jié)果，再計(jì)算驗(yàn)證。

3÷=

筆者不禁重新審視這節(jié)課的教學(xué)，調(diào)研分析日常教學(xué)中暴露的問題：一是算理和算法混淆不清，教師錯(cuò)誤地認(rèn)為，計(jì)算中講清了怎么算也就講清了算理;二是算法和算理失衡，教師將大量時(shí)間用于算法技能的訓(xùn)練，對(duì)算理蜻蜓點(diǎn)水，學(xué)生缺乏對(duì)算理進(jìn)行自主探索上的體驗(yàn);三是算理和算法脫節(jié)，即算理和算法彼此孤立、形式單一，僅僅通過一個(gè)直觀模型讓學(xué)生理解算式的意義和結(jié)果，難以達(dá)到直觀和抽象的有效聯(lián)結(jié)。

二、課堂實(shí)踐

如何有效避免上述問題，實(shí)現(xiàn)算理和算法“比翼雙飛”呢？筆者深入思考，找出問題的癥結(jié)，重組教學(xué)流程。

（一）初步探究，激活經(jīng)驗(yàn)，探索算法

出示問題：把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友，每人個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

師：怎樣列式，并說說你是怎么想的？

生：4÷，4是總個(gè)數(shù)，是每人得到的橙子數(shù)，4÷就表示可以分給幾個(gè)人。

師：4÷的結(jié)果是多少呢？能將你的想法清楚地表示出來嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成，展示交流）

生1：我是把轉(zhuǎn)化成小數(shù)0.5計(jì)算的，用4÷= 4÷0.5=8（人）。

生2：我是通過畫圖（圖2）來計(jì)算的，1個(gè)橙子可以分給2人，4個(gè)橙子就可以分給4×2=8（人）。

生3：4÷=4×2=8（人），4×2表示1個(gè)橙子分給2人，4個(gè)橙子就可以分給4×2=8（人）。

生4：4÷=（4×2）÷（×2）=8÷1=8，我運(yùn)用商不變的規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，商不變。

【反思】計(jì)算教學(xué)的新知都是由舊知引出，并以舊知為原點(diǎn)探索新的算法。在新課學(xué)習(xí)前需喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，將原有經(jīng)驗(yàn)重組和改造，充分體現(xiàn)個(gè)性化、多元化的算法。教師為學(xué)生搭建充分探究空間，點(diǎn)燃舊知火把，使學(xué)生在原有認(rèn)知存儲(chǔ)上主動(dòng)將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，將整數(shù)的運(yùn)算規(guī)律遷移，通過圖形表征、算式表征、文字表征多種方式表達(dá)，活躍學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，為優(yōu)化算法、內(nèi)化算法提供生長點(diǎn)。

（二）再度探究，理解算理，優(yōu)化算法

出示問題：把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友，每人個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

師：你準(zhǔn)備怎樣計(jì)算呢？

生1：轉(zhuǎn)化成小數(shù)是除不盡的，而且運(yùn)用商不變的規(guī)律計(jì)算太麻煩了。所以我選擇變成乘法計(jì)算4÷= 4×3=12。

師：這其中的道理誰來講一講？

生2：（指圖3）1個(gè)橙子平均分成3份，每份是個(gè)，正好可以分給3個(gè)人，4個(gè)橙子中有4個(gè)3，所以4×3。

師：把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友，每人分個(gè)，可以分幾個(gè)人？

生3：4÷=4×4=16（人）。

師：為什么不畫圖，你就可以直接算出結(jié)果了？

生4：1個(gè)橙子可以分給4個(gè)人，所以4個(gè)橙子就可以分給4×4=16（人）。

師：照這樣思考，你還能說出一個(gè)整數(shù)除以幾分之一的算式嗎？同桌說一說，算一算。

（學(xué)生列舉計(jì)算，歸納概括整數(shù)除以幾分之一的計(jì)算方法）

【反思】算法優(yōu)化是學(xué)生自我反思、自我完善的過程。教學(xué)中為防止算法過度多樣化，需引導(dǎo)學(xué)生在變式中發(fā)現(xiàn)問題、找出差距，重構(gòu)算理，產(chǎn)生優(yōu)化算法的需求。學(xué)生經(jīng)歷對(duì)比分析除數(shù)是和的計(jì)算，進(jìn)一步加深幾何直觀對(duì)算理理解的認(rèn)知。學(xué)生通過對(duì)比優(yōu)化，保留簡潔、共性的算法，有利于溝通算理和算法，初步形成法則并拓展到除數(shù)是的計(jì)算，形成基本的運(yùn)算技能。這樣，學(xué)生經(jīng)歷不斷的內(nèi)省和調(diào)控，找到最簡潔的方法，初步形成選擇策略進(jìn)行計(jì)算的意識(shí)，發(fā)展正確、合理、靈活進(jìn)行計(jì)算的能力，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性，提升思維品質(zhì)。

（三）深度探究，積累經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化算法

出示問題：把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友，每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

師：現(xiàn)在你還能畫圖，表示出計(jì)算過程和結(jié)果嗎？

生1：（如圖4）4÷=4×3÷2=6。表示把1個(gè)圓平均分成3份，4個(gè)圓就是4×3=12份，每人取其中的2份就可以分給12÷2=6（人）。

生2：我們組想法和生1的差不多，因?yàn)?÷2=，因此4÷=4×3÷2=4×=6（人）。

生3：我們利用4÷=4×3的結(jié)論，和互為倒數(shù)，所以我們推出4÷=4×=6（人）。

師：（追問）現(xiàn)在如果讓你選擇你最喜歡的算法，你會(huì)選擇哪種算法？

生：我喜歡生3的做法，因?yàn)楹芎啽恪?/p>

師：是的，計(jì)算時(shí)我們一般會(huì)選擇比較簡潔的方法。但是，我們不僅要會(huì)算，還要知道為什么這樣算。如果用一條直條圖（圖5），你能畫圖表示出4÷計(jì)算過程和結(jié)果嗎？

（生畫圖，交流分享計(jì)算和思考過程）

生：4÷=4×=6（人）。

師：如果把直條圖抽象成線段圖，還能表達(dá)出來嗎？

師：選擇你喜歡的圖形，如圓形、直條、線段等，表達(dá)出4÷的結(jié)果。

師：（小結(jié)）回顧剛才的過程，我們可以把橙子圖想象成圓形，然后抽象成直條圖、線段圖，都可以直觀地解釋除法轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算的合理性。

師：不畫圖你能計(jì)算出4÷的結(jié)果嗎？5÷呢？

師：你能用一句話概括出整數(shù)除以幾分之幾怎樣計(jì)算嗎？

生：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)就乘原來分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，不管分?jǐn)?shù)是幾分之一還是幾分之幾都可以這樣計(jì)算。

【反思】算法是算理的提煉、概括和總結(jié)，簡化了復(fù)雜的思維過程，添加了程序化操作步驟，形成更具一般性的運(yùn)算法則。從除以幾分之一過渡到幾分之幾，六年級(jí)的學(xué)生已具備自主遷移的能力和經(jīng)驗(yàn)，算法遷移須基于理解進(jìn)行，學(xué)生能正確計(jì)算并不代表學(xué)生完成了知識(shí)的遷移，學(xué)生需要再次在現(xiàn)實(shí)情境下理解除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)倒數(shù)的道理，通過合理選擇練習(xí)內(nèi)容，提高練習(xí)要求，經(jīng)歷直觀到抽象的提升，豐富感性體驗(yàn)和理性認(rèn)知，漸次完成對(duì)知識(shí)的完整建構(gòu)。此時(shí)學(xué)生獲得的認(rèn)知不再是單一的、孤立的認(rèn)知，而是更具一般性、普適性、關(guān)聯(lián)性的有意義的建構(gòu)，真正達(dá)到知識(shí)的內(nèi)化。

三、教后思考

讓學(xué)生“探究方法—表征算法—明晰算理—形成算法的過程”是本節(jié)課教學(xué)的主要特征，本節(jié)課借助直觀圖形溝通算法聯(lián)系，幫助學(xué)生理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的筆算方法，感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、推理等數(shù)學(xué)思想方法，使運(yùn)算教學(xué)循法明理、法理兼?zhèn)?，逐步提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

（一）加強(qiáng)直觀，減緩學(xué)生認(rèn)知坡度

幾何直觀主要是指利用圖形簡明、形象地描述和分析問題。幾何直觀是計(jì)算教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生理解算理的手段，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的必要途徑。教學(xué)中，教師借助實(shí)物圖、圓形圖、直條圖、線段圖等，使學(xué)生在不同情境下豐富對(duì)算理的認(rèn)知，加深對(duì)算理的理解，在注重發(fā)展學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上，借助幾何直觀建構(gòu)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算模型，深入理解運(yùn)算的本質(zhì)。這樣的活動(dòng)使學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)作思維—表象思維—抽象思維過程，減緩了認(rèn)知的難度，完成直觀到抽象的過渡，有利于在算法直觀和算法抽象之間建立有效的橋梁，為概括算法不斷豐富體驗(yàn);有利于在直觀認(rèn)知中，呈現(xiàn)不同思維水平、不同角度思考解決問題的全過程，貫穿“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化”“推理”等數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)了除法轉(zhuǎn)化成乘法、除數(shù)轉(zhuǎn)化為倒數(shù)的合理性、普適性、簡便性;有利于提升解決問題的能力，培養(yǎng)問題意識(shí)及數(shù)學(xué)問題的敏感性，最終促進(jìn)思維能力的發(fā)展。

（二）注重關(guān)聯(lián)，構(gòu)建完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門抽象性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，有效關(guān)聯(lián)有助于知識(shí)理解、內(nèi)化、運(yùn)用。從整數(shù)除以幾分之一過渡到整數(shù)除以幾分之幾，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，在理解算理形成算法的過程中經(jīng)歷了算法多樣化的建構(gòu)、算法優(yōu)化的解構(gòu)和算法一般化的重構(gòu)，這樣系列的活動(dòng)建立在關(guān)聯(lián)上。首先，在舊知和新知中建立關(guān)聯(lián)。在初步接觸整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生能主動(dòng)調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行創(chuàng)造加工，如將轉(zhuǎn)化成0.5、畫示意圖、列算式、運(yùn)用商不變規(guī)律的自主遷移，將新知轉(zhuǎn)化成舊知，在多樣化算法中，尋求共性特征，優(yōu)化算法，有效解決問題。其次，在直觀操作和算法抽象間建立關(guān)聯(lián)。在學(xué)生交流多樣化算法的基礎(chǔ)上，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考算法之間的關(guān)系。例如：在計(jì)算4÷時(shí)，對(duì)比畫圖和算式兩種方法的相同和不同的地方;計(jì)算4÷時(shí)，對(duì)比上面三種算法的異同。最后，在形式單一和多元表征中建立關(guān)聯(lián)。借助不同的直觀模型，即實(shí)物模型—圓形—直條—線段，逐步完成對(duì)算理理解和表征。變換不同除數(shù)，即除數(shù)是幾分之一到幾分之幾的變換，學(xué)生自然會(huì)推想出雖除數(shù)不同，但都可以將除號(hào)變乘號(hào)，除數(shù)變倒數(shù)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)互聯(lián)，舉一反三。因此，通過不同算法間建立關(guān)聯(lián)，學(xué)生在“散中求聯(lián)”形成結(jié)構(gòu)化思維，在“異中求同”理解運(yùn)算本質(zhì)，在“多中見優(yōu)”實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，逐步提高數(shù)學(xué)思維能力。

（三）留足時(shí)空，體驗(yàn)完整認(rèn)知?dú)v程

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程，這一系列的活動(dòng)必須建立在充分的時(shí)間和空間上。分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中，教師留足空間引導(dǎo)學(xué)生呈現(xiàn)多樣化的算法，在不同算法和算式間建立關(guān)聯(lián)，架構(gòu)算法抽象和算理直觀之間的橋梁，進(jìn)而形成表象，逐步抽象成一般算法，力求讓探索過程“慢”一些。經(jīng)歷除數(shù)是，，的變化，學(xué)生在變化中尋不變，在變化中尋求運(yùn)算的本質(zhì)，借助運(yùn)算模型反向加深算理的理解，彌補(bǔ)只會(huì)算卻說不清為什么這么算的缺陷，力求讓運(yùn)算理解“透”一些。在新授和練習(xí)的設(shè)計(jì)上，教師借助直觀模型探索算法、概括算法，利用運(yùn)算法則得到運(yùn)算結(jié)果后，反向解釋每一步為什么這么算的合理性，讓學(xué)生的認(rèn)知方式“耐扛”一些。因此，法理并重需要給學(xué)生充分的探究空間，使學(xué)生歷經(jīng)合理的、簡潔的濾化過程，真正實(shí)現(xiàn)計(jì)算技能向運(yùn)算能力的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。