刁冠勛，代運滔

（1.國網上海市電力公司檢修公司，上海 200063；2.遵義供電局，貴州 遵義 563000）

隨著工業(yè)化程度不斷提高，用電設備飛速發(fā)展，對電能質量提出更高要求。開關變換器作為電能轉換重要的一環(huán)，受到國內外學者的普遍關注。尤其降壓（Buck）變換器，由于在體積、重量和能耗等方面的優(yōu)勢，被廣泛應用于航空航天、電動汽車、全電艦船等高新領域[1-4]。

Buck變換器輸出電壓及電流諧波含量越低，波形越平滑，電能質量越好。高性能控制算法無疑會提高Buck變換器輸出的電能質量[5]?；Ｗ兘Y構控制算法對系統(tǒng)外部擾動和內部變化具有強魯棒性，能較好地應用于Buck變換器。文獻[6]針對Buck變換器傳統(tǒng)PI控制動態(tài)響應和抗干擾能力差等缺點，提出一種魯棒離散積分滑模電壓控制方法，提高輸出電壓的動態(tài)品質和抗擾性，抑制了滑模抖振。文獻[7]針對Buck變換器滑模系數(shù)難以確定、動態(tài)響應和魯棒性難以同時提高等缺點，提出一種電感電流自適應終端滑?？刂品椒?。通過李雅普諾夫求解系數(shù)，構建非線性環(huán)節(jié)，實現(xiàn)雙閉環(huán)滑?？刂品椒?，解決了上述不足。

作為滑?？刂扑惴ㄖ匾M成部分，趨近律控制方法通過設計趨近律表達方式，調節(jié)系統(tǒng)到達滑模面動態(tài)性能，進而縮短Buck變換器輸出電壓到達穩(wěn)態(tài)作用時間，減小超調量[8]。文獻[9]針對傳統(tǒng)等速趨近律趨近時間較長、抖振嚴重等情況，提出一種新型趨近律控制方法。該方法提高系統(tǒng)趨近速度，抑制滑模抖振，仿真結果證明了該方法的有效性。為補償Boost變換器非線性滑模等效和實際控制之間的誤差，文獻[10]提出一種新型趨近律，使系統(tǒng)狀態(tài)在遠離和靠近滑模面時，均能保持較快趨近速度，減小滑模抖振。文獻[11]通過引入滑模參數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)，重新設計趨近律參數(shù)，并采用冪次函數(shù)取代開關函數(shù)，加快Buck變換器動態(tài)響應，減小超調量。

在上述文獻基礎上，本文針對Buck變換器，提出一種新型冪次混合趨近律控制方法。通過對趨近律參數(shù)進行自適應調節(jié)，進一步提高系統(tǒng)收斂速度，減小抖振。

1 Buck變換器狀態(tài)方程

Buck變換器又稱降壓變換器。通過開關管通斷，將變換器輸入電壓轉換為低輸出電壓，以供用電設備使用。Buck變換器拓撲結構如圖1所示。

圖1 Buck變換器拓撲結構Fig.1 Buck converter topology

圖1中，變換器輸入電壓、輸出電壓分別用Ui和Uo表示。假設Buck變換器帶線性負載R，主體結構由開關管Vg、二極管D、電感L、電容C組成。當開關管Vg導通時，電流通過電感L，流到電容C和負載R，電感L和電容C分別起濾波和儲能作用。此時二極管承受反向電壓關斷。當開關管Vg關斷時，二極管承受正向電壓導通，電感L電流不能立刻降為零，起續(xù)流作用，同時電容C釋放存儲電能給負載R。通過快速通斷開關管，輸出電壓Uo能穩(wěn)定于參考電壓Uref。定義u=1為開關管Vg導通，u=0為開關管Vg關斷，因為電感L和電容C均為儲能元件，以電感電流iL和輸出電壓Uo為狀態(tài)變量，求得狀態(tài)方程如下：

以式（1）為基礎，進一步求解Buck變換器二階狀態(tài)方程。定義Buck變換器輸出電壓誤差x1=Uref-Uo，輸出電壓誤差變化率根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)，可得Buck變換器二階狀態(tài)方程為

式（2）狀態(tài)方程為非線性，滑?？刂仆瑯訛榈湫偷姆蔷€性算法，非常適合應用于式（2）的方程。對于滑?？刂扑惴?，滑模面選取至關重要，本文選用線性滑模面如下式：

其中，滑模面參數(shù)k1＞0，k2＞ 0。對式（3）求導，并將式（2）代入，可得開關管Vg控制作用u為

式中：為冪次混合趨近律。

2 Buck變換器滑?？刂品椒ㄔO計

2.1 冪次混合趨近律提出

高為炳院士最早提出趨近律控制方法[12]。指數(shù)趨近律設計簡單，應用最廣，其數(shù)學表達式為

當系統(tǒng)從初始位置s（0）運行至滑模面s（t）=0時，求得到達時間為

初始位置s（0）＜0運行至滑模面作用時間以此類推。從式（6）可以看出，在初始位置不變的情況下，到達時間與趨近律參數(shù)k和ε有關，與系統(tǒng)數(shù)學模型無關。到達時間保持不變，是指數(shù)趨近律最大的優(yōu)點。但指數(shù)趨近律缺點明顯，無法真正意義上消除系統(tǒng)抖振。

為克服指數(shù)趨近律的缺點，文獻[13]提出一種變指數(shù)趨近律：

式中：X為系統(tǒng)狀態(tài)。

相比指數(shù)趨近律，變指數(shù)趨近律能加快系統(tǒng)趨近速度，在距離滑模面較近時，隨系統(tǒng)狀態(tài)大小調節(jié)趨近速度，最終收斂于平衡點。但變指數(shù)趨近律有兩大不足：1）距離滑模面較遠時，系統(tǒng)趨近速度沒有冪次趨近律快；2）當?shù)竭_滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)較大時，趨近速度較快，超調量較大。

針對以上兩點不足，本文在變指數(shù)趨近律基礎上，提出一種新型冪次混合趨近律，表達形式如下：

式中：sgn(s)為符號函數(shù)；x為系統(tǒng)狀態(tài)；arsinh(δ|x|)為反雙曲正弦函數(shù)。

arsinh(δ|x|)根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)x自適應調節(jié)趨近速度，曲線如圖2所示。

圖2 三種函數(shù)曲線比較（δ=0.1）Fig.2 Comparison of three function curves（δ=0.1）

從圖2中可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)較大時，arsinh具有比符號函數(shù)sign和飽和函數(shù)sat更快的收斂速度；系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時，arsinh收斂速度變緩，且曲線光滑性更好，能減少超調量，減小系統(tǒng)抖振。

冪次混合趨近律由-εarsinh(δ|x|)sgn(s)項和-k|s|αsgn(s)項組成。通過以上分析，當系統(tǒng)距離滑模面較遠時，-k|s|αsgn(s)項起主要作用，與-εarsinh(δ|x|)sgn(s)項共同作用，維持較快的趨近速度。當系統(tǒng)距離滑模面較近時，-k|s|αsgn(s)項由于冪次項，趨近速度呈幾何倍速放緩。-εarsinh(δ|x|)sgn(s)項起主要作用，且趨近速度隨系統(tǒng)狀態(tài)減小而減小，自適應調節(jié)滑模抖振，直到系統(tǒng)最后收斂于平衡點。

切換帶能調節(jié)系統(tǒng)到達滑模面的抖振大小。由上文分析，冪次混合趨近律到達滑模面的抖振大小，主要由 -εarsinh(δ|x|)sgn(s)項決定。系統(tǒng)到達滑模面，趨近平衡點過程中，若平衡點附近x=0+→x=0，則

對分子、分母求導，得：

同理，若平衡點附近x=0-→x=0，則

根據(jù)式（10）、式（11），系統(tǒng)到達滑模面后的穩(wěn)態(tài)性能由參數(shù)ε，δ決定，尤其平衡點附近抖振，由參數(shù)ε和δ的乘積決定。

本文提出的冪次混合趨近律控制方法，有效克服文獻[13]變速趨近律不足。首先，引入冪次項，有效提高系統(tǒng)趨近速度。其次，當?shù)竭_滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)較大時，arsinh(δ|x|)arsinh(δ|x|)項有效降低系統(tǒng)狀態(tài)大小，進而減小超調量。

2.2 控制性能分析

滑動模態(tài)成立的前提是滿足到達條件，定義李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)為

對式（12）求導，得：

由式（13）可知，本文設計的冪次混合趨近律控制方法滿足到達條件。

Lyapunov穩(wěn)定性條件只是定性分析冪次混合趨近律控制方法有效性，下面對到達時間進行定量分析。

1）若系統(tǒng)狀態(tài)s（0）＞0，則式（8）化為

系統(tǒng)從初始狀態(tài)第1次到達滑模面s（t）=0的作用時間為

由上文分析，距離滑模面較遠時，-k|s|αsgn(s)項起主要作用；距離滑模面較近時，-εarsinh(δ|x|)sgn(s)項起主要作用。兩者以s=1為分割點，則式（15）變?yōu)?/p>

由于 arsinh(δ|x|)是遞增函數(shù)，在s（0）→0 過程中，|x|∈ [xmin,xmax]，則

2）若系統(tǒng)狀態(tài)s（0）＜0，推導方法依次類推。

由此可見，采用冪次混合趨近律控制方法，系統(tǒng)能在一定時間內到達滑模面。

2.3 比較驗證

為驗證冪次混合趨近律控制方法的快速性和穩(wěn)定性，與指數(shù)趨近律和冪指數(shù)趨近律進行比較，并應用于二階系統(tǒng)：

初始狀態(tài)為[20，0]T，滑模面如式（3），k1=10，k2=1。三種趨近律參數(shù)分別如下：

1）冪次混合趨近律：趨近律表達式見式（8）。

2）指數(shù)趨近律：

3）冪指數(shù)趨近律：

參數(shù)取k=10，ε=10，α=2，δ=0.2，滑模面s如圖3所示，系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2分別如圖4、圖5所示。

通過比較指數(shù)趨近律和冪次指數(shù)趨近律，|s|α項有效提高系統(tǒng)趨近速度；通過比較冪指數(shù)趨近律和冪次混合趨近律，arsinh(δ|x|)項減少了超調量，隨著系統(tǒng)狀態(tài)自適應調節(jié)滑模抖振，最終收斂于平衡點。通過式（17），計算系統(tǒng)從初始狀態(tài)到滑模面作用時間t＜0.1 s+0.2 s，符合圖3系統(tǒng)到達滑模面時間，印證了計算方法的有效性。

圖3 滑模面sFig.3 Sliding surface s

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x1Fig.4 System status x1

2.4 二階控制器設計

滑模控制算法對外部干擾和參數(shù)變化具有極強的魯棒性。理想的Buck變換器輸出電壓最終收斂于Uref，但實際滑模控制中，時延和滯后等干擾會產生誤差。定義誤差為d，則滑模面s變?yōu)?/p>

當系統(tǒng)到達滑模面，求得系統(tǒng)狀態(tài)為

由此可見，當存在誤差d時，系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂于-d/k1。增大k1能減少Buck變換器的穩(wěn)態(tài)誤差，但過大的k1會造成輸出電壓超調量較大。

根據(jù)李導數(shù)定義，求得等效控制ueq為

當k1/k2=-1/CR時，等效控制ueq不再受輸出電壓變化率影響，此時等效控制ueq=Uo/Ui。綜上，對滑模面參數(shù)k1，k2取值時，應該先確定k1值，進而通過比例關系，求得k2值大小。

將式（8）代入式（4），求得開關管Vg控制作用u為

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)x2Fig.5 System status x2

3 仿真和實驗

為驗證本文提出的Buck變換器冪次混合趨近律控制方法有效性，將其與指數(shù)趨近律控制方法進行比較，并搭建控制器Matlab/Simulink仿真模型。Buck變換器參數(shù)為：電容C=0.05 mF，電感L=0.75 mH，電阻R=10 Ω，輸入電壓Ui=36 V，參考電壓Uref=20 V?；Ｃ鎱?shù)：k1=200，k2=1。圖6為基于兩種趨近律控制方法的Buck變換器輸出電壓比較；圖7為基于兩種趨近律控制方法的Buck變換器電感電流比較。

圖6 Buck變換器輸出電壓Fig.6 Buck converter output voltage

從圖6、圖7可以看出，采用指數(shù)趨近律控制策略，輸出電壓到達穩(wěn)態(tài)時間較長，超調量較大，穩(wěn)態(tài)后波動較大。而采用冪次混合趨近律控制策略，輸出電壓到達穩(wěn)態(tài)時間較短，超調量幾乎為零，穩(wěn)態(tài)后無波動。電感電流進一步證明控制策略的有效性。

為驗證基于冪次混和趨近律的滑?？刂破饔行?，搭建實驗平臺將其與指數(shù)趨近律相比較。Buck變換器輸入電壓由可編程電源Chroma 6250P提供，輸出電壓范圍0～600 V，選擇36 V作為輸入電壓。二極管型號為STPS20200CT，電感型號為具有高額定電流的VLB12065HT-R36，大小為0.5 mH。電容型號為GRM32ER71H106MA12，采用2個10 μF電容并聯(lián)。負載采用可編程電子負載Agilent 6060B。開關管采用TI公司的CSD16414Q5。圖8為通電后，基于兩種趨近律控制方法的輸出電壓實驗波形比較；圖9為穩(wěn)態(tài)后，基于兩種趨近律控制方法的輸出電壓實驗波形比較。

圖7 Buck變換器電感電流Fig.7 Buck converter inductor current

圖8 通電后輸出電壓實驗波形比較Fig.8 Comparison of output voltage experimental waveforms after power-on

圖9 穩(wěn)態(tài)后輸出電壓實驗波形比較Fig.9 Comparison of output voltage experimental waveforms after steady state

從以上實驗圖可以看出，相比于指數(shù)趨近律控制方法，本文提出的冪次混合趨近律控制方法輸出電壓動態(tài)調節(jié)時間更快，超調量較小，穩(wěn)態(tài)后電壓波動小，與仿真結果保持一致。

4 結論

本文在指數(shù)趨近律基礎上，提出一種基于冪次混合趨近律的Buck變換器滑?？刂品椒āＭㄟ^引入冪次函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)，提高系統(tǒng)趨近速度，減少穩(wěn)態(tài)誤差，提高穩(wěn)態(tài)性能。給出Buck變換器狀態(tài)空間方程以及滑模控制器設計流程。本文提出的基于冪次混合趨近律滑?？刂品椒ú粌H用于Buck變換器，還能用于一般意義的非線性模型，例如永磁同步電機、機械臂等，具有較強的普適性。