游達(dá)章，談太振，張業(yè)鵬，劉 攀

（湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068）

0 引 言

插補(bǔ)算法是整個(gè)數(shù)控系統(tǒng)的核心。數(shù)控機(jī)床加工曲線時(shí)，對(duì)其起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，按照一定的方法用折線軌跡逼近、擬合所要加工的曲線[1]，并計(jì)算出中間點(diǎn)位置的坐標(biāo)值，給出相應(yīng)的位移量，這就是插補(bǔ)。插補(bǔ)運(yùn)算具有實(shí)時(shí)性，每個(gè)插補(bǔ)中間點(diǎn)的計(jì)算精度影響系統(tǒng)的控制精度，中間點(diǎn)的計(jì)算速度又影響著系統(tǒng)的控制速度。

數(shù)字積分法（DDA）具有邏輯能力強(qiáng)、運(yùn)算速度快、易實(shí)現(xiàn)多標(biāo)聯(lián)動(dòng)等特點(diǎn)?，F(xiàn)階段圓弧插補(bǔ)算法在應(yīng)用上存在著誤差較大和溢出脈沖不均勻等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]通過非對(duì)稱累加器賦值，使得軸上脈沖分配更均勻，同時(shí)減少了插補(bǔ)次數(shù)，插補(bǔ)算法難度不變。但是通過累加器改變初值的方式造成程序段進(jìn)給速度不一致，影響加工表面質(zhì)量。

文獻(xiàn)[3]基于數(shù)字積分法和時(shí)間分割混合，采用可控的插補(bǔ)周期進(jìn)行時(shí)間分割，滿足DDA 累加中對(duì)進(jìn)給速度的要求，從而消除了插補(bǔ)段之間的零頭距離，讓進(jìn)給速度更平滑。但是必須要求CNC 完成一次插補(bǔ)所需的最小周期不長于插補(bǔ)周期[4]，對(duì)硬件要求高。區(qū)別于傳統(tǒng)時(shí)間分割法，粗插補(bǔ)利用插補(bǔ)周期及進(jìn)給速度計(jì)算步長完成分割，本文通過控制弓高誤差，利用固定長度弦和迭代矩陣計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)的方式對(duì)DDA 算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了插補(bǔ)精度及插補(bǔ)效率，并提出一種基于最小二乘法的評(píng)價(jià)方法對(duì)改進(jìn)后的算法做出評(píng)價(jià)。

1 基于時(shí)間分割法的DDA 算法分析

基于時(shí)間分割法的DDA 圓弧算法思想是在誤差范圍內(nèi)將圓弧轉(zhuǎn)化為一組直線來逼近，即需要計(jì)算出每個(gè)插補(bǔ)周期的坐標(biāo)增量值[5]。對(duì)于圓弧的逼近，目前數(shù)控系統(tǒng)使用有切線法、弦線法和擴(kuò)展DDA 法（割線）三種方式。

切線法和弦線法的逼近方式都屬于一階DDA，在計(jì)算三角函數(shù)時(shí)，因?yàn)橐粋€(gè)插補(bǔ)周期轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ 較小，利用泰勒展開：

取一階近似計(jì)算，造成進(jìn)給速度小于指令速度，每次插補(bǔ)的輪廓步長發(fā)生誤差積累?；跁r(shí)間分割法的擴(kuò)展DDA 法是目前精度最好的方式，它采用二階運(yùn)算，只需有限次加法、減法、乘法運(yùn)算，速度較高[4]。如圖1所示，做逆圓弧插補(bǔ)時(shí)，設(shè)一個(gè)插補(bǔ)周期進(jìn)給步長為l，其徑向誤差δ=Ri-R，插補(bǔ)半徑為：

化簡，得：

(x0,y0)為圓弧起點(diǎn)，在圓弧上則有：

式中所以徑向誤差δ≠0。由此可知，插補(bǔ)點(diǎn)如果不在圓弧上，就存在徑向誤差[4]，在迭代插補(bǔ)時(shí)，將形成較大的累計(jì)誤差，圓弧插補(bǔ)徑向誤差分析如圖1所示。

圖1 圓弧插補(bǔ)徑向誤差分析

2 圓弧插補(bǔ)算法改進(jìn)

由第1 節(jié)圓弧插補(bǔ)誤差分析可知，基于時(shí)間分割法的DDA 算法常用的三種方式存在精度誤差。因此，本文考慮對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)。與傳統(tǒng)時(shí)間分割法不同，改進(jìn)算法是在插補(bǔ)前通過縮放圓弧形成允許誤差帶[6]，控制弓高誤差，利用連續(xù)的弦線擬合圓弧，最后通過DDA 完成各段直線插補(bǔ)擬合圓弧。

不失一般性，設(shè)起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)為(xs,ys)，(xe,ye)，圓心坐標(biāo)為(x0,y0)，起點(diǎn)、終點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)偏置如下：

起點(diǎn)、終點(diǎn)向量掃過的夾角為τ，設(shè)起點(diǎn)、終點(diǎn)向量斜率存在，且為ks，ke，則有：

在第一象限逆圓弧插補(bǔ)中，設(shè)當(dāng)前位置為起始位置C(xs,ys)，下一插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)為B(x1,y1)，設(shè)置允許誤差，切線對(duì)應(yīng)圓心角，其中，δ 為弓高誤差，R為圓弧半徑，分割圓弧如圖2 所示。

圖2 通過弓高誤差控制分割圓弧

轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矩陣：

式中xT，yT為迭代坐標(biāo)，初始值為xs，ys，矩陣計(jì)算的結(jié)果L 為下一插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)，并重新代入xT，yT中完成式（9）迭代計(jì)算。如圖3 所示，每計(jì)算一次插補(bǔ)點(diǎn)，剩余夾角為τ-α。當(dāng)剩余夾角β =α，迭代計(jì)算下一插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)β ＜α 時(shí)，不再計(jì)算，弦線由當(dāng)前點(diǎn)N 直接連接至終點(diǎn)B。有了插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)，可通過相鄰點(diǎn)連接的弦完成圓弧逼近[7]，再通過DDA 直線插補(bǔ)對(duì)每段逼近直線插補(bǔ)。終點(diǎn)判別過程如圖3 所示。

圖3 終點(diǎn)判別

3 圓弧擬合均差數(shù)學(xué)模型

同直線插補(bǔ)一樣，圓弧插補(bǔ)由x,y 方向移動(dòng)若干脈沖當(dāng)量來擬合圓弧軌跡[8]。不失一般性地，設(shè)最小二乘圓圓心為(xc,yc)，半徑為R，最小二乘法擬合要求距離平方和最小[9]。由最小二乘圓公式可知：

式中（xi，yi）為離散點(diǎn)的坐標(biāo)，即求解最小二乘圓圓心xc，yc和半徑R，使得最小。由于最小二乘圓計(jì)算方法無解析解，因此可對(duì)最小二乘法進(jìn)行一定的近似[9]，采用近似函數(shù)進(jìn)行求解，為方便運(yùn)算，設(shè)函數(shù)：

式中W =[xcycR]T。

對(duì)f (W )求偏導(dǎo)，并令其為0，可得：

通過將xc，yc由uc，vc替換，修改坐標(biāo)原點(diǎn)位置，由于可得：

綜上，可得：

至此，可得出最小二乘圓圓心：

由以上分析可知，最小二乘圓的圓心和半徑是可解、存在的，這說明基于最小二乘圓近似算法可以作為圓弧插補(bǔ)的快速評(píng)價(jià)方法。

4 比較分析

通過圓弧插補(bǔ)均差數(shù)學(xué)模型，建立最小二乘圓擬合，利用Matlab 對(duì)切線法、弦線法、擴(kuò)展DDA、改進(jìn)DDA算法進(jìn)行仿真，基于這種快速評(píng)價(jià)方法進(jìn)行比較分析。仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 中實(shí)點(diǎn)表示插補(bǔ)點(diǎn)分布，虛線表示最小二乘圓軌跡，實(shí)線為理想條件下要求的插補(bǔ)軌跡，由最小二乘圓擬合軌跡，顯然可得出改進(jìn)后的DDA 算法能夠更好擬合理論圓弧。最小二乘圓擬合情況如表1 所示。

圖4 算法仿真

分別計(jì)算切線法、弦線法、擴(kuò)展DDA 以及改進(jìn)DDA算法插補(bǔ)點(diǎn)最小二乘圓，其中，改進(jìn)DDA 算法誤差控制為δ=0.5，并求出插補(bǔ)點(diǎn)距離最小二乘圓距離平方和通過最小二乘圓實(shí)際求取的半徑精度、最大徑向誤差對(duì)4 種插補(bǔ)算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2 所示。

表2 插補(bǔ)情況對(duì)比

由表2 可得出，傳統(tǒng)圓弧插補(bǔ)最大誤差可能超過1 個(gè)脈沖當(dāng)量，而改進(jìn)插補(bǔ)誤差則總是控制在1 個(gè)脈沖當(dāng)量內(nèi)，故改進(jìn)后DDA 算法最大誤差不超過1+δ，且改進(jìn)后的DDA 算法最小二乘擬合精度相對(duì)于已有的傳統(tǒng)DDA 算法提高了約20%，最大徑向誤差更小，運(yùn)行時(shí)間也更短。

5 結(jié) 語

通過本文的分析，經(jīng)過改進(jìn)后的DDA 算法用迭代矩陣計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)、弦線分割圓弧的方式逼近圓弧，可靠地提高了插補(bǔ)精度，在運(yùn)行時(shí)間上也得到很大的提升。同時(shí)，也驗(yàn)證了基于圓弧插補(bǔ)均差數(shù)學(xué)模型的最小二乘圓評(píng)價(jià)插補(bǔ)精度具有一定的可行性。