何燕青，吳佳俊，李湘岳，張飄陽(yáng)，朱兵見

（臺(tái)州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

0 引言

虛位移原理又稱為虛功原理，虛功是指力在虛位移中所做的功。虛位移原理是分析靜力平衡問(wèn)題的主要方法之一，廣泛應(yīng)用于未知力和未知位移的求解，尤其在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來(lái)的積分法和圖乘法使得位移計(jì)算量較之材料力學(xué)方法大大減小。同時(shí)虛位移原理也是分析動(dòng)力學(xué)的重要基礎(chǔ)，它為人們求解平衡問(wèn)題提供了一個(gè)極佳的工具，在經(jīng)典力學(xué)中起著支撐作用［1］。

在材料力學(xué)中，梁的內(nèi)力主要包括軸力、剪力和彎矩。計(jì)算梁的內(nèi)力的方法主要是截面法，這一解題方法計(jì)算量大，且一般需要求出支座約束反力。如果利用虛位移原理進(jìn)行求解，則不需要求出支座約束反力，就能夠求解任意截面的彎矩與剪力，這一方法不失為對(duì)內(nèi)力方程求解的有用補(bǔ)充。

1 虛位移原理的概念及應(yīng)用

1.1 虛位移原理的概念

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束，其中某質(zhì)點(diǎn)受力如圖1所示。FNi的虛功之和為零，其平衡的充要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所做虛功的和等于零［2］，表達(dá)式如下：

其中，F(xiàn)i是作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力，δγi是該質(zhì)點(diǎn)上給定的虛位移，兩者都為矢量形式。

圖1 質(zhì)點(diǎn)受力與虛位移

1.2 虛位移原理的應(yīng)用

1.2.1 虛設(shè)位移狀態(tài)求未知力

如圖2所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖，在求解此平衡體系中的未知力或者約束反力時(shí)，如果利用平衡方程進(jìn)行求解，需要至少兩個(gè)方程才能解出FA，求解過(guò)程見表1。

而利用虛位移原理進(jìn)行求解時(shí)，把桿件看作剛體體系，虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知力。例如利用表1中的計(jì)算簡(jiǎn)圖求解A點(diǎn)豎向約束反力，只需要將A點(diǎn)固定端支座變?yōu)榛瑒?dòng)支座，同時(shí)把豎直約束力FA畫在圖上，然后在A點(diǎn)虛設(shè)單位位移AA＇=1，畫出此機(jī)動(dòng)體系位移圖，如表1圖中虛線所示。應(yīng)用虛位移原理，用一個(gè)方程即可求出FA。

圖2 計(jì)算簡(jiǎn)圖示例

表1 虛設(shè)位移狀態(tài)求未知力

1.2.2 虛設(shè)力狀態(tài)求未知位移

在求解梁式桿件中某點(diǎn)位移時(shí)，我們還可以利用撓曲線近似微分方程EIw′′=-M(x)進(jìn)行求解，也可以利用疊加法進(jìn)行求解。利用撓曲線近似微分方程求解時(shí)，需要積分兩次得到撓度方程，再利用邊界條件和連續(xù)條件求出積分常數(shù)。如果桿件的內(nèi)力方程有3個(gè)，積分常數(shù)就會(huì)有6個(gè)，聯(lián)立6個(gè)方程進(jìn)行求解，工作量較大，且很容易出錯(cuò)。

利用虛位移原理求解時(shí)，把梁式桿件看作變形體體系，虛設(shè)力狀態(tài)，求未知位移。同樣如圖2所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖，要求解D點(diǎn)豎向位移。首先求出結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的軸力FNP，剪力FQP，彎矩MP，接著單獨(dú)在D點(diǎn)作用一豎向單位荷載1，計(jì)算結(jié)構(gòu)在單位荷載作用下的軸力N，剪力Q，彎矩M［3］，對(duì)梁來(lái)說(shuō)，軸力和剪力對(duì)其變形影響很小，可以忽略不計(jì)，只考慮彎矩的影響。因此利用下面公式中最后一項(xiàng)即可求得D點(diǎn)豎向位移，見表2，并且由此公式演化而來(lái)的圖乘法，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，不再贅述。

表2 虛設(shè)力狀態(tài)求未知位移

2 虛位移原理求解內(nèi)力方程

內(nèi)力方程是畫內(nèi)力圖的前提，傳統(tǒng)教材中求解內(nèi)力方程都是采用截面法，一般解題步驟為：求解支座約束反力，在某一截面處切割桿件后選取研究對(duì)象，在梁上截切梁段，在截面處代之以內(nèi)力，畫出已知的主動(dòng)力和約束反力，在截面處畫出軸力、剪力、彎矩等內(nèi)力，并列出平衡方程求解內(nèi)力方程。使用截面法，需要先求出支座反力，步驟較多，而且一旦支座反力求解錯(cuò)誤，就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算失效。使用虛位移原理進(jìn)行求解內(nèi)力方程，只需要把某梁段左右截面之間變成鉸接點(diǎn)或者滑動(dòng)支座，代上一對(duì)大小相等、方向相反的彎矩或者剪力，畫出此時(shí)機(jī)動(dòng)體系的位移圖，根據(jù)幾何關(guān)系求解各主動(dòng)力相應(yīng)的位移，列出虛位移方程，即可獲得該段梁的內(nèi)力方程。這種方法省去了求解支座約束反力這一步驟，直觀易懂，不失為一種有效的方法。下面將以圖2所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖為例，闡述利用虛位移原理求解內(nèi)力方程的方法。

2.1 虛位移原理求彎矩方程

首先，將在AC段的F點(diǎn)連接變成鉸接點(diǎn)，代上一對(duì)大小相等，方向相反的內(nèi)力M，如圖3（a）所示。然后做出機(jī)動(dòng)體系的位移圖，圖中虛線表示相對(duì)位移，使∠CFE=1，如圖3（b）所示。

則由虛位移原理可得：

同理可以得到CB段和BD段的彎矩方程計(jì)算簡(jiǎn)圖，如圖3（c）、圖3（d）所示。

經(jīng)過(guò)位移分析，由虛位移原理得到：

此結(jié)果與表2中彎矩方程也一致。

圖3 梁式桿彎矩方程計(jì)算簡(jiǎn)圖

2.2 虛位移原理求剪力方程

首先，將在AC段的F點(diǎn)連接變成滑動(dòng)支座，代上內(nèi)力FS，如圖4（a）所示。然后做出機(jī)動(dòng)體系的位移圖，使，如圖 4（b）所示。

則由虛位移原理可得：

圖4 梁式桿剪力方程計(jì)算簡(jiǎn)圖

根據(jù)虛位移原理求得以下剪力方程：

此結(jié)果與靜力平衡計(jì)算結(jié)果一致。

3 結(jié)語(yǔ)

虛位移原理是基于功能的概念分析系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，在力學(xué)求解中應(yīng)用廣泛，是解析法與幾何法的有機(jī)結(jié)合。利用虛位移原理求解彎矩方程和剪力方程，形象直觀，思路清晰，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠，是一種行而有效的方法。