崔世堂

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系中科院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 安徽 合肥 230027）

相變是一種典型的自然現(xiàn)象，固體材料在受到爆炸、高速撞擊等強(qiáng)沖擊載荷作用時(shí)，可能會(huì)發(fā)生屈服甚至相變。沖擊下材料的相變特性對(duì)于材料和結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有著重大影響，因?yàn)橄嘧兒蟮牟牧蠈?shí)質(zhì)上已經(jīng)成為一種新材料[1]。TiNi 合金是一種典型的相變材料，其響應(yīng)受熱彈性馬氏體相變支配，具有獨(dú)特的偽彈性效應(yīng)和形狀記憶效應(yīng)。由于其獨(dú)特的熱力學(xué)性質(zhì)，在航空航天、交通運(yùn)輸、生物醫(yī)學(xué)等高技術(shù)領(lǐng)域得到大量的應(yīng)用[2]。

相變引起的材料非線性會(huì)強(qiáng)烈改變沖擊波波形，造成沖擊相變特有的三波結(jié)構(gòu)和卸載沖擊波，這些奇特的現(xiàn)象引起越來(lái)越多的關(guān)注。基于一維的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，以半無(wú)限長(zhǎng)桿為研究對(duì)象，Chen 等[3]和Bekker 等[4]研究了階躍載荷作用下相變波的傳播問(wèn)題，研究發(fā)現(xiàn)沖擊載荷高于某一幅值時(shí)，相變區(qū)的應(yīng)力和溫度不連續(xù)，但對(duì)于卸載問(wèn)題，并沒(méi)有涉及。王文強(qiáng)等[5]利用簡(jiǎn)化的相變本構(gòu)模型來(lái)研究宏觀相邊界的傳播規(guī)律，在緩慢卸載的應(yīng)力邊界條件下，處于混合相的試件會(huì)成為變密度梯度材料。基于相同的理論模型，Bouvet 等[6]提出了一種沖擊載荷作用下制備功能梯度材料的新方法。和常規(guī)彈塑性材料不同的是，相變材料在卸載時(shí)會(huì)產(chǎn)生卸載沖擊波。在矩形脈沖載荷作用下，由于應(yīng)力波和宏觀相邊界的相互作用，Dai 等[7]發(fā)現(xiàn)了一些奇異的現(xiàn)象，如不可逆相變可能會(huì)出現(xiàn)成分連續(xù)變化的混合相區(qū)，可逆相變的卸載相變界會(huì)出現(xiàn)分叉等。此外，采用不同的本構(gòu)模型以及考慮邊界條件的影響，進(jìn)行了大量有關(guān)相變波和相邊界傳播規(guī)律方面的研究[8-11]。

以上的這些研究都是基于一維應(yīng)力狀態(tài)條件下進(jìn)行的。大量的研究結(jié)果表明，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的相變現(xiàn)象和單軸加載會(huì)有所不同。Sittner 等[12]在研究多晶Cu-Al-Zn-Mn 形狀記憶合金時(shí)發(fā)現(xiàn)馬氏體相變過(guò)程和加載路徑有關(guān)。Sun 等[13]對(duì)形狀記憶合金薄壁管進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)方面的研究，揭示了外部應(yīng)力狀態(tài)及內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)對(duì)材料宏觀行為的影響。為了確定相變材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)行為，大量實(shí)驗(yàn)和理論方面的工作就此展開(kāi)[14-20]。這些研究主要是在準(zhǔn)靜態(tài)復(fù)合加載條件下進(jìn)行，目的是為了得到描述材料相變行為的本構(gòu)模型。而在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，有關(guān)沖擊相變方面的研究并不多。

近年來(lái)，復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)下相變波的研究已有零星的文獻(xiàn)發(fā)表。Song 等[21]采用廣義特征理論，研究了TiNi 合金薄壁圓管在復(fù)合加載下相變波的傳播規(guī)律。在薄壁圓管端部施加階躍純扭轉(zhuǎn)載荷至混合相，首先會(huì)出現(xiàn)彈性壓縮波，而在傳統(tǒng)彈塑性材料中不會(huì)出現(xiàn)軸向應(yīng)力的變化。在強(qiáng)沖擊載荷作用下，材料具有二相硬化效應(yīng)，奧氏體會(huì)直接轉(zhuǎn)化為馬氏體。Wang 等[22]考慮了二相硬化效應(yīng)的影響，采用數(shù)值方法，研究了拉-扭聯(lián)合作用下彈性波追趕相變耦合波過(guò)程中波系結(jié)構(gòu)的變化。然而，相變材料通常具有明顯的拉壓不對(duì)稱性[1]，相變面在σ-τ 平面上沿著σ 軸移動(dòng)，與拉-扭聯(lián)合加載相比，壓-扭聯(lián)合加載下薄壁圓管內(nèi)會(huì)出現(xiàn)一些新的現(xiàn)象。本文在以上工作的基礎(chǔ)上，以半無(wú)限長(zhǎng)處于偽彈性狀態(tài)的TiNi 合金薄壁圓管為研究對(duì)象，綜合考慮材料的二相硬化效應(yīng)和拉壓不對(duì)稱性，得到TiNi 合金薄壁管內(nèi)相變耦合波傳播的特征波速和簡(jiǎn)單波解，并分析兩類典型初始條件下相變波傳播的應(yīng)力路徑。

1 動(dòng)力學(xué)方程和相變本構(gòu)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)基本方程

考慮半無(wú)限長(zhǎng)TiNi 合金薄壁圓管，壁厚為δ，內(nèi)外圓截面的平均半徑為R，且δ ?R。以其端部截面的中心為圓點(diǎn)O，以軸線為X軸建立如圖1 所示的坐標(biāo)系。假設(shè)薄壁管除端部受有拉(壓)扭載荷作用外，不受其他外載。由于管壁較薄，忽略慣性效應(yīng)的影響，各物理量在厚度方向是均勻的，從而可以把管內(nèi)波的傳播簡(jiǎn)化為一維復(fù)合應(yīng)力波沿著X軸的傳播。

薄壁圓管的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖 1 TiNi 合金的薄壁管幾何示意圖Fig. 1 Geometry of the TiNi alloy thin-walled tubes

式中：ρ 為密度，σ 和τ 分別為軸向應(yīng)力和環(huán)向切應(yīng)力，u和v分別為質(zhì)點(diǎn)的軸向速度和環(huán)向速度。根據(jù)柱坐標(biāo)中應(yīng)變和質(zhì)點(diǎn)速度的定義，可以得到系統(tǒng)的連續(xù)性方程為：

式中：ε 為軸向應(yīng)變，γ 為環(huán)向切應(yīng)變。

1.2 相變準(zhǔn)則

圖 2 σ-τ 平面的的相變橢圓Fig. 2 Phase transformation ellipse in the σ-τ plane

對(duì)于管內(nèi)某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)(σ, τ)，通過(guò)式(6)都可以唯一確定相應(yīng)的正數(shù)k，假設(shè)k1和k2分別為相變起始和相變結(jié)束時(shí)對(duì)應(yīng)的相變參數(shù)。若0＜k＜k1，材料處于奧氏體彈性狀態(tài)；當(dāng)k1＜k＜k2時(shí)，材料進(jìn)入混合相；而當(dāng)k≥k2時(shí)，材料完全轉(zhuǎn)化為馬氏體。

1.3 增量型的本構(gòu)關(guān)系

對(duì)處于偽彈性狀態(tài)的TiNi 合金而言，其一維應(yīng)力條件下準(zhǔn)靜態(tài)拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。圖中A和B分別為馬氏體相變的起始點(diǎn)和完成點(diǎn)，D和F為逆相變的起始點(diǎn)和完成點(diǎn)，AB 和DF之間的區(qū)域?yàn)榛旌舷鄥^(qū)。

材料的相變演化行為，不同文獻(xiàn)中有很多不同的描述形式。這里采用一種相對(duì)簡(jiǎn)單的增量型本構(gòu)關(guān)系，用以描述相變材料的力學(xué)行為。材料發(fā)生相變時(shí)其應(yīng)變率分為如下兩部分：

圖 3 偽彈性狀態(tài)下TiNi 合金的應(yīng)力-應(yīng)變示意圖Fig. 3 Schematic stress-strain cueves for pseudo-elastic effect of TiNi alloy

式中：下標(biāo)“e”和“p”分別代表彈性應(yīng)變和相變應(yīng)變部分。對(duì)于各向同性的TiNi 合金而言，應(yīng)變率的彈性部分和相變部分可分別表示為：

式中： λ˙ 為表征相變程度的相變因子，其值恒為正。采用各向同性硬化的加載準(zhǔn)則，相變功率w可以表示為：

1.4 特征關(guān)系和簡(jiǎn)單波解

矩陣A和B及柔度張量H都是實(shí)對(duì)稱矩陣。由廣義特征理論可知，薄壁管中的特征波速C由矩陣B相對(duì)于矩陣A的特征值決定的，即

2 數(shù)值計(jì)算及討論

在薄壁管的拉-扭或壓-扭動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中，Clifton 等[24-26]基于霍普金森壓桿，建立了一套薄壁圓管預(yù)扭沖擊加載裝置，對(duì)3003 鋁材和α-Ti 進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，觀察到了復(fù)合應(yīng)力波在薄壁管內(nèi)的傳播。TiNi 合金壓縮時(shí)的臨界應(yīng)力較高且材料“偏脆”，在進(jìn)行預(yù)扭沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)時(shí)，薄壁管容易發(fā)生屈曲。加載幅值在相變臨界應(yīng)力附近，在靠近薄壁管的端部出現(xiàn)了局部破裂。無(wú)法在實(shí)驗(yàn)中觀察到相變耦合波的傳播?？紤]到TiNi 合金的拉壓不對(duì)稱性，且拉伸比壓縮更容易發(fā)生相變，王波等[27]對(duì)TiNi 合金薄壁管進(jìn)行了預(yù)扭沖擊拉伸實(shí)驗(yàn)，觀察到了拉-扭復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)下相變波的傳播。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)吻合的較好，可以較好地區(qū)分出相變耦合快波和慢波的波系結(jié)構(gòu)。在以上工作的基礎(chǔ)上，為避免實(shí)驗(yàn)上的不確定性，本文中采用數(shù)值方法來(lái)研究應(yīng)力波在TiNi 合金薄壁管中的傳播規(guī)律。

2.1 差分格式

采用一階Lax-Friedrichs 格式對(duì)控制方程進(jìn)行離散，聯(lián)立相變材料的本構(gòu)方程和初、邊值條件，就可以得到拉(壓)-扭載荷聯(lián)合作用下相變復(fù)合波在薄壁管內(nèi)的傳播規(guī)律。控制方程的離散形式為：

式中：Δt和Δx為時(shí)間增量和空間步長(zhǎng)。將本構(gòu)方程(18)和(19)進(jìn)行改寫(xiě)后的離散格式為

根據(jù)相應(yīng)的初始條件和邊界條件，知道了n時(shí)間步的應(yīng)力、應(yīng)變和粒子速度之后，通過(guò)控制方程和本構(gòu)方程的離散形式(32)和(33)，可以確定第n+1 時(shí)間步的應(yīng)力、應(yīng)變和粒子速度，從而得到了相變波在管內(nèi)的傳播規(guī)律。計(jì)算中所用的材料參數(shù)如表1 所示。

表 1 TiNi 合金的材料參數(shù)Table 1 Material Parameters of TiNi Alloy

需要說(shuō)明的是，表1 中的Em為材料進(jìn)入混合相時(shí)的模量，材料由奧氏體直接轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體時(shí)的模量根據(jù)加載前后應(yīng)力的幅值重新計(jì)算。

2.2 計(jì)算結(jié)果

如果管內(nèi)材料始終處于奧氏體彈性狀態(tài)，薄壁管內(nèi)傳播的是互不耦合的彈性縱波和彈性橫波，我們更關(guān)心管內(nèi)材料發(fā)生相變后波的傳播規(guī)律。假設(shè)初始應(yīng)力狀態(tài)(σi, τi)時(shí)的相變參數(shù)為ki，最終應(yīng)力狀態(tài)(σf, τf)時(shí)的相變參數(shù)為kf，以下的算例都基于ki＜kf且k1＜kf。需要說(shuō)明的是，若k1＜kf＜k2，此時(shí)薄壁管內(nèi)相變波的結(jié)構(gòu)同常規(guī)彈塑性材料類似；若kf＞k2，加載后材料由奧氏體直接轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體，管內(nèi)形成相變耦合沖擊波，在σ-τ 空間的應(yīng)力路徑為從初始相變面上某點(diǎn)出發(fā)的廣義Hugoniot 線[28]。兩者雖然有本質(zhì)的不同，但在σ-τ 應(yīng)力空間內(nèi)很容易區(qū)分，以下統(tǒng)一稱為相變耦合波。根據(jù)不同的初始條件和邊界條件，討論以下兩種典型情況。

(1)假定TiNi 合金薄壁管最初是靜止的且不受任何作用力，在端部突然施加正應(yīng)力σ =10 MPa 和剪應(yīng)力τ = 480 MPa。

根據(jù)前面的理論分析，在圖4 的σ-τ 平面上的應(yīng)力路徑為：

式(34)中的單位為MPa。不同時(shí)刻管內(nèi)的應(yīng)力分布如圖5 所示。圖4 上τs為純扭轉(zhuǎn)時(shí)的相變起始應(yīng)力，τm為相變起始面上剪應(yīng)力最大值點(diǎn)。對(duì)比圖4 和圖5 可以發(fā)現(xiàn)，盡管突然施加在管端部的軸向載荷為拉應(yīng)力，但在管內(nèi)首先是以波速C0傳播的彈性壓縮波，將材料由零應(yīng)力狀態(tài)加載至A2(-8.01 MPa, 0)，隨后依次傳播的是剪切波和相變耦合慢波。計(jì)算的結(jié)果表明，對(duì)于初始狀態(tài)自然靜止的半無(wú)限長(zhǎng)TiNi 合金薄壁管，桿端突然施加的恒值載荷位于應(yīng)力空間中藍(lán)色區(qū)域(包括區(qū)域的邊界)時(shí)，管內(nèi)都會(huì)出現(xiàn)類似的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在常規(guī)彈塑性材料的薄壁管中并不會(huì)出現(xiàn)。原因在于材料發(fā)生相變時(shí)引起體積變化，在σ-τ 平面上相變起始面左移，相變耦合慢波路徑的起點(diǎn)A3位于相變起始面上，其剪應(yīng)力幅值處于τs和τm之間。在奧氏體彈性階段，管內(nèi)傳播的是互不耦合的彈性縱波和彈性橫波，在σ-τ 平面上的應(yīng)力路徑只能是沿著OA2傳播的彈性縱波及隨后沿著A2A3傳播的彈性橫波。

圖 4 σ-τ 平面的相變橢圓及應(yīng)力路徑Fig. 4 Phase transformation ellipse and stress paths in σ-τ plane

圖 5 不同時(shí)刻管內(nèi)的應(yīng)力分布Fig. 5 Stress distribution in the tubes at different times

(2) 薄壁管的端部預(yù)先施加扭轉(zhuǎn)載荷τi= 270 MPa，在t= 0 時(shí)刻突然施加恒值的壓-扭載荷至最終應(yīng)力狀態(tài)B2(-550 MPa，400 MPa)。其應(yīng)力路徑如圖6 所示。

材料由初始狀態(tài)B經(jīng)相變復(fù)合快波以波速Cf加載至B1時(shí)，管內(nèi)正應(yīng)力的幅值單調(diào)增大，而切應(yīng)力的幅值則先增大后減小，如圖7 所示。這種現(xiàn)象在施加拉-扭階躍載荷時(shí)并不會(huì)出現(xiàn)。根據(jù)式(28)，相變耦合快波的速度Cf高于剪切波波速C2，在跨過(guò)相變橢圓的最高點(diǎn)的右側(cè)，根據(jù)式(32), dσ/dτ＜0，因此隨著正應(yīng)力幅值的增大，剪應(yīng)力的幅值也會(huì)增大；而在相變橢圓最高點(diǎn)的左側(cè)，根據(jù)式(32), dσ/dτ＞0，因此隨著正應(yīng)力幅值的增大，剪應(yīng)力的幅值會(huì)降低。從而在快波區(qū)剪應(yīng)力的幅值會(huì)出現(xiàn)先增大后減小這種現(xiàn)象。

圖 6 σ-τ 空間的應(yīng)力路徑Fig. 6 Stress paths in σ-τ plane

圖 7 不同時(shí)刻管內(nèi)的應(yīng)力分布Fig. 7 Stress distribution in the tubes at different times

3 結(jié) 論

相變過(guò)程伴隨著體積和形狀的改變，使得相變材料具有明顯的拉壓不對(duì)稱性。本文采用考慮靜水壓力和偏應(yīng)力聯(lián)合作用的相變準(zhǔn)則，基于增量型相變本構(gòu)模型，得到相變耦合波在半無(wú)限長(zhǎng)TiNi 合金薄壁圓管內(nèi)傳播的控制方程。利用廣義特征理論分析了TiNi 合金薄壁管的特征波速和簡(jiǎn)單波解，確定了決定應(yīng)力路徑的微分方程。利用一階Lax-Friedrichs 有限差分格式對(duì)控制方程及相變本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行離散。數(shù)值算例分析了兩種典型初始條件，即初始狀態(tài)靜止以及預(yù)扭至混合相時(shí)，在階躍聯(lián)合載荷作用下薄壁管內(nèi)相變耦合波傳播的應(yīng)力路徑，以及各階段應(yīng)力隨時(shí)間的變化，并對(duì)反?，F(xiàn)象進(jìn)行了解釋。