彭克鋒，崔世堂，潘 昊，鄭志軍，虞吉林

（1. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計重點實驗室，安徽 合肥 230027；2. 北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100088）

由顆粒、柱殼或球殼組成的鏈結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)應(yīng)力波的傳輸，并具備較好的波形操控能力，如波形的放大和衰減[1-3]，因此可作為聲學(xué)透鏡[4]、減震材料[5-6]、聲學(xué)開關(guān)[7]等，在工程領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。鏈結(jié)構(gòu)中的波傳播過程因離散特性而顯得十分復(fù)雜，一維鏈系統(tǒng)的波傳播行為可能呈現(xiàn)線性、弱/強(qiáng)非線性的特征[8]，不同的波傳播特征主要受組成鏈的單個胞元基體材料性質(zhì)和胞元結(jié)構(gòu)（如胞元形狀和胞元尺寸）的影響[9-12]。其中，由柱殼組成的鏈結(jié)構(gòu)，因胞元中空且壁厚可控，在操控波形方面表現(xiàn)出優(yōu)異的性能[9-10,13-14]。因此，了解柱殼鏈中應(yīng)力波的傳播規(guī)律及彌散機(jī)理，對設(shè)計新型高效的波形控制器具有重要意義。

建立鏈結(jié)構(gòu)中相鄰胞元之間的接觸關(guān)系，是研究柱殼鏈中波傳播過程的基礎(chǔ)。在一維均勻顆粒鏈中，Hertz 定律常用來表征相鄰顆粒之間接觸力F和相對位移δ 的關(guān)系，如F∝δ1.5[15]。對于空心殼，接觸力和相對位移的關(guān)系為F∝δn，其中n為表征非線性程度的接觸指數(shù)，取值與空心殼壁厚及形狀相關(guān)。對于球殼，n通常為1.2～1.5[10,16]。Kim 等[9]指出，對于橢圓柱殼，可能n＜1，從而表現(xiàn)出應(yīng)變軟化的特征。

基于鏈結(jié)構(gòu)中相鄰胞元的接觸關(guān)系，可以用離散元方法求解鏈結(jié)構(gòu)中的波傳播過程，即對每個胞元的力學(xué)守恒方程進(jìn)行單獨求解[9,17]。為了方便分析以獲得解析解，也可將離散方程連續(xù)化后采用應(yīng)力波理論來研究[18-22]。Pochhammer-Chree 精確理論可給出諧波激勵下彈性圓桿中應(yīng)力波傳播的精確解，但其控制方程形式復(fù)雜，尤其對于瞬態(tài)沖擊載荷，方程解析求解往往十分困難[23]。Rayleigh-Love 近似理論中，假設(shè)桿在受到加載時，其縱向運(yùn)動會帶來桿的橫向漲縮，并且假設(shè)桿中質(zhì)點的橫向位移沿徑向線性分布，從而推導(dǎo)出計及橫向慣性效應(yīng)的修正的波動方程[22]。Rayleigh-Love 理論具有較高精度，并成功地用于研究瞬態(tài)加載邊界條件的波傳播問題，如階躍應(yīng)力脈沖[24]、梯形應(yīng)力脈沖[25]和指數(shù)衰減的邊界速度載荷[26]。質(zhì)量塊初速沖擊是一種生活中常見的沖擊加載情形，但因其邊界載荷隨時間變化且需要根據(jù)牛頓運(yùn)動定律進(jìn)行反解，導(dǎo)致方程求解困難，尚未見相應(yīng)的解析解。

本文中，在理論上分析沖擊載荷下柱殼鏈中的彈性波傳播過程及其幾何彌散特性，將柱殼鏈等效為彈性均質(zhì)方桿，并采用細(xì)觀有限元方法構(gòu)建柱殼鏈的細(xì)觀結(jié)構(gòu)對理論模型進(jìn)行驗證。首先，基于Rayleigh-Love 橫向慣性修正理論和量綱分析方法，獲得柱殼鏈在質(zhì)量塊初速沖擊下的無量綱控制方程。再進(jìn)一步通過Laplace 積分變換方法，對該控制方程進(jìn)行求解。然后，將理論預(yù)測結(jié)果與細(xì)觀有限元結(jié)果進(jìn)行比較，并討論該理論結(jié)果對于不同壁厚柱殼鏈的適用性。最后，基于理論模型的解析解，討論柱殼鏈在初速沖擊載荷下的波傳播過程，和泊松比、慣性半徑、沖擊質(zhì)量和速度對波形彌散的影響。

1 理論分析和數(shù)值模擬

1.1 問題描述和模型簡化

考慮一個剛性質(zhì)量塊M以初速度v0沿X方向撞擊一個靜止的柱殼鏈的一端，柱殼鏈的另一端固定，如圖1(a)所示。所有柱殼排布成一列，相鄰柱殼相互綁定，鏈總長度為L，含有N個柱殼。柱殼的壁厚為h，外徑為D=L/N，垂直方向厚度為a。柱殼的基體材料為彈性材料，密度為ρs，彈性模量為Es，泊松比為νs。在X方向壓縮時，柱殼在Y方向?qū)a(chǎn)生不可忽略的變形，即Y方向的泊松比較大，而在面外Z方向的變形量很小，可以忽略，即Z方向的泊松比為0。

在質(zhì)量塊的沖擊下，柱殼鏈中的應(yīng)力波從近端傳向遠(yuǎn)端。柱殼鏈的幾何非線性將導(dǎo)致復(fù)雜的非線性應(yīng)力波傳播問題。為簡化分析，假設(shè)柱殼鏈為由均勻的連續(xù)介質(zhì)組成的桿，桿在X方向的長度為L，在Y方向的高度為D，在Z方向的寬度為a，如圖1(b) 所示。桿的橫截面面積為A=aD，等效密度為ρ0=πρs(D-h)h/D2，等效彈性模量為E，在Y方向的等效泊松比為ν，而在Z方向的等效泊松比為0。

圖 1 柱殼鏈簡化模型Fig. 1 Simplified model of a cylindrical shell chain

1.2 理論分析

1.2.1 計及橫向慣性的波傳播模型

進(jìn)一步得出應(yīng)變和無量綱速度：

值得注意，式(14)～(19)均為無窮級數(shù)，其數(shù)值計算的結(jié)果受到求和項數(shù)目k的影響，k越大，結(jié)果越精確。因此，后續(xù)的分析為保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，k需足夠大，本文中均取k＞50。

1.3 數(shù)值模擬

1.3.1 細(xì)觀有限元模型

采用細(xì)觀有限元方法，建立質(zhì)量塊初速沖擊柱殼鏈的有限元模型。對每個柱殼單獨劃分網(wǎng)格，再導(dǎo)入有限元軟件ABAQUS/Explicit 進(jìn)行求解。本文中，柱殼鏈幾何參數(shù)取值分別為：單個柱殼的壁厚h=0.56 mm，外徑D=10 mm，厚度a=4 mm，柱殼鏈中共含30 個柱殼，鏈總長L=300 mm。通過網(wǎng)格收斂性分析，網(wǎng)格尺寸取為0.3 mm，單個柱殼含1 920 個六面體單元(C3D8R)。模擬中，所有的面接觸方式均采用硬接觸，設(shè)置摩擦因數(shù)為0.2。柱殼基體材料密度ρs=966 kg/m3，彈性模量Es=1 600 MPa，泊松比νs=0.3。柱殼鏈近端受到剛性質(zhì)量塊（M=1 g）初始速度v0=1 m/s 的沖擊，遠(yuǎn)端固定。不同時刻柱殼鏈中的應(yīng)力云圖如圖2 所示。結(jié)果表明，應(yīng)力波從沖擊端往支撐端沿著柱殼逐個傳播，且應(yīng)力主要集中在柱殼之間的接觸區(qū)域。

圖 2 不同時刻柱殼鏈中的應(yīng)力云圖Fig. 2 Von Mises stress distributions in the cylindrical shell chain at different times

圖 3 名義應(yīng)力應(yīng)變曲線和等效泊松比Fig. 3 Nominal stress-strain curves and equivalent Poissons ratios

2 結(jié) 果

2.1 位移和載荷曲線

質(zhì)量塊（M=1 g）以初速v0=1 m/s 沖擊壁厚0.56 mm 的柱殼鏈，其沖擊端位移隨著加載時間的變化，如圖4(a)所示。結(jié)果表明，沖擊端位移隨著時間增大，然后逐漸趨于平緩，理論分析與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。理論分析與細(xì)觀有限元模擬所得的支撐端和沖擊端的載荷歷史曲線如圖4(b)所示。觀察發(fā)現(xiàn)，理論分析能夠較好地捕捉載荷曲線的整體特征，但曲線振蕩存在一些差異，理論計算的載荷曲線呈現(xiàn)低頻振蕩，但在數(shù)值模擬中，載荷曲線呈現(xiàn)高頻振蕩，這是由于罰函數(shù)接觸算法所致。由應(yīng)力波理論，對于不考慮幾何彌散的均質(zhì)彈性桿，支撐端與沖擊端峰值載荷的比為2。而該算例中，由理論分析得到的支撐端和沖擊端的峰值載荷分別為2.1、1.3 N，支撐端與沖擊端峰值載荷的比小于2。因此，柱殼鏈可作為一種有效的沖擊緩沖器。

2.2 應(yīng)變和速度分布

對于第2.1 節(jié)的算例，理論分析和數(shù)值模擬給出的應(yīng)變場和速度場如圖5 所示。需要說明的是，在數(shù)值模擬中，難以計算沿沖擊方向連續(xù)變化的宏觀應(yīng)變場，因此定義一些局部點上的應(yīng)變以檢驗理論結(jié)果。在過柱殼中心的YZ橫截面上，取位于其表面的所有點作為該柱殼的參考點，提取這些點在沖擊過程中的平均位移和速度，進(jìn)一步通過相鄰兩個柱殼參考點的相對位移ΔX計算應(yīng)變，即 ε =ΔX/D。為方便比較，理論上也可以計算與數(shù)值模擬中對應(yīng)參考點處的速度和應(yīng)變。圖5(a)為不同時刻的應(yīng)變分布，結(jié)果表明，隨著波往遠(yuǎn)端傳播，應(yīng)變峰值略有減小，且隨著時間的推移，波后振蕩的區(qū)域越來越大。理論計算與細(xì)觀有限元模擬所得結(jié)果整體趨勢一致，波后的波形振蕩和波形前沿寬度也大致相同。不同時刻的速度分布如圖5(b)所示。從速度分布可以發(fā)現(xiàn)，峰值速度隨著波的傳播逐漸降低，理論計算的粒子速度與細(xì)觀有限元結(jié)果較好吻合。

圖 4 沖擊端的位移、沖擊端和支撐端的載荷Fig. 4 Displacements at the support end, forces at the impact and support ends

圖 5 不同時刻桿中的應(yīng)變和速度分布Fig. 5 Strain and velocity distributions in rod at different times

當(dāng)質(zhì)量塊（M=1 g）沖擊速度為1 m/s 時，柱殼鏈中的應(yīng)變較小，增大沖擊速度可以檢驗應(yīng)變較大時理論模型的適用性。圖6 為沖擊速度為5、10 m/s 時柱殼鏈中的應(yīng)變分布。結(jié)果表明，理論分析與數(shù)值模擬的結(jié)果較好吻合，沖擊速度越大，峰值應(yīng)變越大，表明理論能夠很好地預(yù)測峰值較大應(yīng)變(約0.1)時柱殼鏈中不同時刻的應(yīng)變分布。

圖 6 不同沖擊速度下桿中的應(yīng)變分布Fig. 6 Strain distributions in rod under different impact velocities

進(jìn)一步比較不同壁厚柱殼鏈的理論分析與數(shù)值模擬的結(jié)果。通過理論分析與細(xì)觀有限元模擬計算，壁厚0.33、1.07 mm 的柱殼鏈在受到質(zhì)量塊沖擊(M=1 g,v0=1 m/s)時，鏈中的應(yīng)變分布如圖7 所示。結(jié)果表明，理論與數(shù)值模擬很好吻合，理論能夠很好地預(yù)測不同壁厚柱殼鏈中不同時刻的應(yīng)變分布。

圖 7 不同壁厚時桿中的應(yīng)變分布Fig. 7 Strain distributions in rod with different wall thicknesses

3 討 論

3.1 泊松比和無量綱慣性半徑對波傳播過程的影響

在理論分析中，可以發(fā)現(xiàn)泊松比ν 和無量綱慣性半徑 κˉ 總是以組合的形式出現(xiàn)，因此可以直接討論無量綱參數(shù) α =ν2κˉ2的影響。但是，為了更直觀地考察泊松比ν 和無量綱慣性半徑 κˉ 的影響，這里分別改變這兩個參數(shù)。圖8(a)為不同泊松比某個時刻桿中的應(yīng)變分布，其中無量綱慣性半徑為0.04，泊松比為0、0.25、0.50、0.75 和1.00。結(jié)果表明，泊松比為0 時，應(yīng)變分布曲線光滑無振蕩，應(yīng)變波形前沿寬度很窄。當(dāng)泊松比不為0 時，應(yīng)變分布存在明顯的振蕩現(xiàn)象，且隨著泊松比的增大，振蕩幅值增大，應(yīng)變波形前沿寬度增寬。此外，應(yīng)變峰值也隨著泊松比的增大而逐漸降低。以應(yīng)變峰值處作為波陣面位置，泊松比越大，波速越小。類似地，固定泊松比為某個值，如ν=0.5，討論不同慣性半徑 κˉ 對變波形的影響。 κˉ 受柱殼半徑的影響，圖8(b)中 κˉ 由小到大分別為0.02、0.04 和0.06。與泊松比的影響類似，慣性半徑越大，應(yīng)變峰值越小，波速越小，振蕩幅值越大。綜上可見，一維桿中橫向慣性效應(yīng)的影響越大，應(yīng)變分布振蕩越劇烈，并且波形前沿寬度增寬、應(yīng)變峰值減小。

圖 8 泊松比和慣性半徑對應(yīng)變分布的影響Fig. 8 Influences of Poisson’s ratio and inertia radius on strain distributions

3.2 無量綱速度和質(zhì)量對波傳播過程的影響

無量綱速度vˉ0和質(zhì)量mˉ 對應(yīng)變波形的影響如圖9 所示。可以看出，隨著無量綱速度的增大，應(yīng)變波形的振動波長不變，應(yīng)變最大位置處對應(yīng)的波速不變，波形前沿寬度不變，變化的僅是應(yīng)變幅值。其實，由式(14)可以發(fā)現(xiàn)，無量綱速度僅出現(xiàn)在影響應(yīng)變幅值的項。不同于無量綱速度，無量綱質(zhì)量不僅影響應(yīng)變幅值，也影響波形的波長。無量綱質(zhì)量越大，應(yīng)變幅值越大，但由圖9(b)可見，質(zhì)量在一定范圍內(nèi)變化時，對波形前沿寬度、應(yīng)變最大位置處對應(yīng)波速的影響均較小。

圖 9 無量綱速度和無量綱質(zhì)量對應(yīng)變分布的影響Fig. 9 Influences of dimensionless velocity and mass on strain distributions

3.3 彌散效應(yīng)的分析

4 結(jié) 論

建立柱殼鏈結(jié)構(gòu)的等效連續(xù)介質(zhì)模型，對沖擊載荷作用下柱殼鏈中的應(yīng)力波傳播過程及其幾何彌散特性進(jìn)行了分析，并用細(xì)觀有限元模型對理論模型進(jìn)行驗證。

（1）基于考慮橫向慣性修正的Rayleigh-Love 波動方程，分析了幾何彌散對應(yīng)力波傳播的影響，給出了柱殼鏈在質(zhì)量塊初速沖擊下的無量綱控制方程?；贚aplace 變換及逆變換，獲得了該控制方程的解析解。

（2）解析解的載荷和位移曲線、應(yīng)變和速度分布均與細(xì)觀有限元結(jié)果較好吻合，且適用于不同壁厚的柱殼鏈。

（3）討論了泊松比、慣性半徑、沖擊質(zhì)量和速度對沖擊載荷作用下柱殼鏈中波形彌散的影響。結(jié)果表明，應(yīng)變峰值、波形振蕩幅度、波形前沿寬度和應(yīng)變最大位置處對應(yīng)的波速主要與泊松比和慣性半徑相關(guān)，泊松比和慣性半徑越大，應(yīng)變峰值越小，波形振蕩幅度越大，波形前沿寬度越寬，應(yīng)變最大位置處對應(yīng)的波速越小。

本文中建立的沖擊載荷作用下柱殼鏈中的彈性波傳播簡化模型及解析解，可為揭示柱殼鏈的彌散機(jī)理和波形控制器的優(yōu)化設(shè)計提供參考。