鄧燦，計新

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

量子糾纏是量子計算和量子通信的基礎(chǔ)，目前被廣泛應(yīng)用于密鑰分配[1]、隱形傳送[2]、密集編碼[3]等領(lǐng)域.如何通過精確控制光子、原子等微觀粒子制備出高保真度的糾纏一直是學(xué)者研究的主要內(nèi)容.研究[4-5]顯示,利用絕熱演化可以精準(zhǔn)地制備出高保真和對環(huán)境魯棒的糾纏，但該方法因受到絕熱近似的限制，使得量子系統(tǒng)的演化時間非常長，進(jìn)而會導(dǎo)致退相干、損耗以及噪聲積累等.2010年，陳璽等[6]首次提出了加速絕熱演化過程的絕熱捷徑技術(shù)，并引起諸多學(xué)者的關(guān)注.近年來，學(xué)者們在陳璽等研究的基礎(chǔ)上又提出了多種絕熱捷徑技術(shù)，主要有 Lewis -Riesenfeld (LR)不變量[7-8]、無躍遷量子驅(qū)動[9-10]、超絕熱迭代[11-12]以及綴飾態(tài)[13-14]等.目前，絕熱捷徑技術(shù)已廣泛應(yīng)用于邏輯門構(gòu)建[15]、糾纏制備[16]、原子冷卻[17]、量子退火[18]、光機(jī)械[19]等領(lǐng)域，而且還由絕熱捷徑技術(shù)引申出了量子限速[20]、不確定性關(guān)系[21]、多重薛定諤繪景[11]以及最大冷卻速率[22]等概念.但目前為止，對LR不變量、無躍遷量子驅(qū)動、超絕熱迭代以及綴飾態(tài)這4種絕熱捷徑技術(shù)進(jìn)行對比分析的文獻(xiàn)尚無報道，為此本文在介紹這4種絕熱捷徑技術(shù)的基礎(chǔ)上，從制備速度、保真度、激勵脈沖、布居轉(zhuǎn)移情況以及對環(huán)境的魯棒性等方面對這4種絕熱捷徑技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案進(jìn)行對比分析，以為在實際應(yīng)用中選擇合適的糾纏制備方案提供參考.

1 4種絕熱捷徑技術(shù)的原理

1.1 LR不變量

LR不變量理論由Lewis和Riesenfeld[9]于1969年提出，該理論適用于由含時哈密頓量H(t)驅(qū)動演化的量子系統(tǒng)，系統(tǒng)的含時厄米不變量算符I(t)滿足

(1)

(2)

當(dāng)系統(tǒng)的初態(tài)恰好是不變量的某個本征態(tài)時，系統(tǒng)會一直沿著初態(tài)演化而不會躍遷到其他的本征態(tài)，因此利用不變量的本征態(tài)可以構(gòu)建出驅(qū)動系統(tǒng)演化的哈密頓量.構(gòu)建該哈密頓時，可先對系統(tǒng)實施一個如下的幺正操作：

(3)

(4)

若I(0)與H(0)不對易，則I(0)的本征態(tài)|Φn(t)〉與H(0)的本征態(tài)不相同.同理，若I(tf)與H(tf)不對易，則I(tf)的本征態(tài)|Φn(tf)〉與H(tf)的本征態(tài)也不相同.因此，通過設(shè)置[H(0)，I(0)]=0和[H(tf)，I(tf)]=0， 即可實現(xiàn)系統(tǒng)哈密頓量的本征態(tài)和不變量的本征態(tài)在初始時刻和最終時刻相同，由此實現(xiàn)量子態(tài)布居的完美轉(zhuǎn)移.

1.2 無躍遷量子驅(qū)動

無躍遷量子驅(qū)動方法由Berry[9]于2009年提出，該理論適用于研究含時量子系統(tǒng)，控制系統(tǒng)演化的原始哈密頓量H0為

(5)

H0的絕熱近似解為|ψn(t)〉=ei ξn(t)|n(t)〉， 式中ξn為絕熱相位，其表達(dá)式為

(6)

(7)

將式(7)代入HC D(t)得：

H(t)=H0(t)+HC D(t),

(8)

(9)

其中,HC D是非對角的厄米算符.當(dāng)t<0和t>tf時，HC D(t)項變?yōu)?. 此時|n(t)〉可視為無躍遷哈密頓量H(t)的本征態(tài)，則無躍遷哈密頓量可以表示為

(10)

1.3 超絕熱迭代

1987年， Berry[23]首次提出了超絕熱迭代的概念.2012年， Ibanez等[11]在絕熱迭代的基礎(chǔ)上構(gòu)建了絕熱捷徑通道，該技術(shù)使用的仍是一個由含時原始哈密頓量驅(qū)動演化的系統(tǒng)，其演化過程滿足薛定諤方程

i? ?t|ψ0(t)〉=H0(t)|ψ0(t)〉.

(11)

(12)

然后結(jié)合式(11)和式(12)給出了如下相互作用繪景方程：

i? ?t|ψ1(t)〉=H1(t)|ψ1(t)〉.

(13)

(14)

然后通過構(gòu)建A0(0)=1， 使|ψ1(0)〉=|ψ0(0)〉成立，由此態(tài)函數(shù)可從|ψ0(t)〉=A0(t)|ψ1(t)〉演化為如下形式：

(15)

(16)

然后結(jié)合式(13)和式(16)給出了如下二次相互作用繪景方程：

i? ?t|ψ2(t)〉=H2(t)|ψ2(t)〉.

(17)

(18)

(19)

1.4 綴飾態(tài)

(20)

(21)

(22)

2 4種絕熱捷徑技術(shù)的對比

2.1 基于LR不變量的糾纏態(tài)制備

LR不變量技術(shù)最大的特點是在不改變原始哈密頓的形式下，可通過直接設(shè)計驅(qū)動脈沖的方式來加快制備糾纏態(tài)的速度，但在當(dāng)前的實驗條件下難以獲得該驅(qū)動脈沖.本文基于控制變量的物理思想，對Wu等[24]和Huang等[25]在腔光纖耦合系統(tǒng)下基于LR不變量制備糾纏態(tài)的方案(特別是數(shù)值模擬結(jié)果部分)進(jìn)行了對比分析，如表1所示.在表1中：tf為糾纏達(dá)到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為驅(qū)動脈沖的拉比頻率；λ、ε、υ、g為設(shè)置的相關(guān)參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ間的關(guān)系(在短光纖極限下，由于光纖光子泄漏對保真度的影響近似為零，因此只需考慮γ和κ對保真度的影響).

表1 基于LR不變量技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案對比

2.2 基于無躍遷量子驅(qū)動的糾纏態(tài)制備

無躍遷量子驅(qū)動的關(guān)鍵是如何構(gòu)造無躍遷哈密頓量HTQD， 雖然無躍遷量子驅(qū)動技術(shù)對激勵脈沖沒有嚴(yán)苛的要求，但因在當(dāng)前的實驗條件下無法直接構(gòu)造出無躍遷哈密頓量，因此只能通過引入輔助能級、失諧量等方式才可構(gòu)建出與無躍遷哈密頓量等效的任意物理可行哈密頓量HAPF.本文基于控制變量思想，對比分析了Huang等[27]和Chen等[28]在腔耦合模型下基于無躍遷量子驅(qū)動技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案，如表2所示.在表2中：tf為糾纏達(dá)到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為驅(qū)動脈沖的拉比頻率； Ω0為驅(qū)動脈沖的振幅；t0、tc為設(shè)置的參數(shù).F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關(guān)系.

表2 基于無躍遷量子驅(qū)動技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案對比

2.3 基于超絕熱迭代的糾纏態(tài)制備

超絕熱迭代技術(shù)首先是通過設(shè)計迭代相互作用繪景得到一系列的哈密頓函數(shù)，然后再從中選擇適用于特定目的的哈密頓函數(shù).利用該方案構(gòu)建的超絕熱哈密頓量與原始哈密頓量具有相同的形式，且制備出的目標(biāo)態(tài)與原始哈密頓制備出的目標(biāo)態(tài)也相同，但系統(tǒng)在演化過程中其激發(fā)態(tài)的布居很高，導(dǎo)致系統(tǒng)的耗散較大.本文基于控制變量的物理思想，對比分析了Huang等[29]和Wu等[30]在腔耦合模型下基于超絕熱迭代技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案，如表3所示.表3中：tf為糾纏達(dá)到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為脈沖的拉比頻率；τ、χ為相關(guān)的參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關(guān)系.

表3 基于超絕熱迭代技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案對比

2.4 基于綴飾態(tài)的糾纏態(tài)制備

綴飾態(tài)方案在不需要額外耦合的情況下即可實現(xiàn)對絕熱過程的加速，同時通過選取合適的可控參數(shù)可以減少中間態(tài)的布居，從而減少系統(tǒng)的耗散和提高目標(biāo)態(tài)的保真度.但在實際應(yīng)用中，綴飾態(tài)方案所應(yīng)用的系統(tǒng)可能會沿未知路徑演化，由此會使得中間態(tài)的布居不受控制，進(jìn)而增加系統(tǒng)耗散.基于控制變量的物理思想，本文對比分析了Kang等[31]和Zhang等[32]在超導(dǎo)量子干涉裝置中基于綴飾態(tài)制備糾纏態(tài)的方案，如表4所示.在表4中：tf為操作時間； Ω(t)為脈沖的拉比頻率；ζ、τ、χ為設(shè)置的參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關(guān)系.

表4 基于綴飾態(tài)技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案對比

3 結(jié)論

對基于LR不變量、無躍遷量子驅(qū)動、超絕熱迭代以及綴飾態(tài)這4種絕熱捷徑技術(shù)制備糾纏態(tài)的方案進(jìn)行對比分析發(fā)現(xiàn)，這4種絕熱捷徑技術(shù)均能加速系統(tǒng)演化過程，且均能有效地實現(xiàn)高保真度和對環(huán)境魯棒的糾纏.另外， 4種絕熱捷徑技術(shù)在實現(xiàn)過程中也存在各自的局限性： LR不變量方案中的脈沖在當(dāng)前實驗條件下難以實現(xiàn)；無躍遷量子驅(qū)動方案制備的目標(biāo)態(tài)與由原始哈密頓量驅(qū)動制備的目標(biāo)態(tài)相比存在一定偏差；超絕熱迭代和綴飾態(tài)方案雖具有更高的可行性(不需要耦合系統(tǒng)的初態(tài)、末態(tài)和引入額外的參數(shù)來構(gòu)建哈密頓量)，但因系統(tǒng)演化路徑包含激發(fā)態(tài)和演化路徑不可控使得系統(tǒng)對原子自發(fā)輻射等耗散因素更加敏感，即其對環(huán)境的魯棒性更弱.綜上，在實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的實驗條件和精度要求靈活運用上述4種絕熱捷徑技術(shù)來實現(xiàn)目標(biāo)態(tài)的制備.