王冬艷，成 彬，楊亞輝

（1.河北省科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省信息安全認(rèn)證工程技術(shù)研究中心；3.河北華燁冀科信息技術(shù)有限責(zé)任公司，河北 石家莊 050081；4.河北省機(jī)電一體化中試基地，河北 石家莊 050081）

保真度是量子信息科學(xué)領(lǐng)域中的一個重要概念，是表示信息在傳輸中保持初狀態(tài)的程度，直接表征了信息的通訊質(zhì)量［1］。近年來對保真度的研究已成為量子信息領(lǐng)域中的熱門課題，如純態(tài)編碼中的保真度，量子信息和量子隱性傳態(tài)理論中的保真度等［2－6］。本文討論研究單模真空場－耦合雙原子系統(tǒng)的量子保真度演化規(guī)律。

1 模型

兩個等同雙能級原子之間存在偶極－偶極相互作用，在旋轉(zhuǎn)波近似下，單模真空場與兩個雙能級原子與單光子發(fā)生共振，系統(tǒng)哈密頓量可表示為［7］

式中：α＋和α分別表示單模真空場的光子產(chǎn)生算符和湮滅算符；，（i＝1，2）表示原子的贗自旋算符；ga表示兩等同雙能級原子間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度；g表示場—原子間的耦合強(qiáng)度。

假設(shè)初始時刻，兩等同耦合雙能級原子處于｜g1，g2〉和｜e1，e2〉的相干疊加態(tài)

上式中，｜g1，g2〉表示兩等同雙能級原子都處于能級最低態(tài)—基態(tài)；｜e1，e2〉表示兩等同雙能級原子均處于激發(fā)態(tài)。

若初始時刻，光場處在單模真空態(tài)｜Ψf（0）〉＝｜0〉，則該系統(tǒng)的在初始時刻的態(tài)矢可表示為

于是，在t＞0的任意時刻，上述場－原子相互作用系統(tǒng)的狀態(tài)演化為［7］

通過求解薛定諤方程，可得到各系數(shù)的解析表達(dá)式為

式中

由上可得系統(tǒng)的總的密度算符為

為描述量子態(tài)在傳輸過程中初態(tài)和末態(tài)的偏差程度，引入保真度的概念，其定義為［8］：

式中，ρ1和ρ2分別為源信息和目的信息所對應(yīng)的態(tài)密度算符。

由上面各式可計算得到保真度表達(dá)式，整個系統(tǒng)的保真度

原子系統(tǒng)的保真度

光場的保真度

2 保真度演化及分析

據(jù)上面計算得出的保真度表達(dá)式，通過模擬得出系統(tǒng)、光場和原子的保真度隨時間的演化曲線如下圖所示（其中F表示系統(tǒng)的保真度，F(xiàn)f表示光場的保真度，F(xiàn)a表示原子的保真度）。圖形中，縱坐標(biāo)為保真度，橫坐標(biāo)表示為時間。

圖1 θ＝π/6，g＝0.4時，ga取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

由圖1可看出，系統(tǒng)、光場和原子的保真度演化都具有相似的周期性規(guī)律。原子的保真度較高，其最小值要比系統(tǒng)和光場的保真度最小值高。當(dāng)ga的值較小時，即兩原子間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度較弱時，三體系的保真度均表現(xiàn)出規(guī)則的周期性，原子系統(tǒng)的保真性能稍好于系統(tǒng)和光場的保真性能。隨著ga的值增大，即兩原子間相互作用開始增強(qiáng)時，如圖b中，可以看到一個很有趣的現(xiàn)象，保真度的演化規(guī)律呈現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征。保真度演化為非等幅振蕩，每隔兩個小幅振蕩后就有一個大幅振蕩。保真度的變化周期明顯變大，三體系的保真度稍有提高，分析其原因，由于兩原子之間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度變大，將會導(dǎo)致原子與光場相互作用減弱，所以體系的保真度增大。

圖2 g＝0.2，ga＝0.5gθ時，θ取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

由圖2可以看出，系統(tǒng)、光場和原子的保真度具有周期性，系統(tǒng)的保真度最小，原子的保真度最大。當(dāng)θ較小時，即兩原子處于基態(tài)的概率增大時，如圖a所示，三體系的保真度演化曲線均呈現(xiàn)規(guī)則的周期性，隨著θ數(shù)值增大，如圖b所示，三體系的保真度演化曲線周期變小，保真度數(shù)值略有增大。分析其原因，當(dāng)θ增大時，兩個原子處在基態(tài)的幾率增大，因為基態(tài)為最低能級，所以原子和光場的作用要減弱，故系統(tǒng)保持原有狀態(tài)的程度要高，所以保真度增大。

圖3 θ＝π/3，ga＝0.01g g時，g取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

從上圖可以看出，三體系的保真度的演化曲線都具有規(guī)則的周期性。當(dāng)g的取值增大時，即原子和光場的耦合強(qiáng)度增強(qiáng)，系統(tǒng)、原子和光場的保真度演化曲線周期均減小，并且保真度的數(shù)值減小。分析其原因，隨著g取值的增大，原子和光場的相互作用增強(qiáng)，致使三體系在演化過程中保持原有狀態(tài)的程度降低，故保真度均減小。

3 總結(jié)

本文利用了全量子理論，研究了單模真空場與偶極－偶極耦合的兩等同雙能級原子相互作用系統(tǒng)中保真度的演化規(guī)律。結(jié)果表明，系統(tǒng)、原子和光場的保真度呈現(xiàn)相似的演化規(guī)律。原子與原子之間偶極相互作用的耦合系數(shù)、原子和光場之間的耦合系數(shù)以及初態(tài)時兩個原子均處于基態(tài)的概率影響著保真度的演化。當(dāng)原子與原子之間偶極相互作用增大時，整個體系的保真度增大，并且演化曲線出現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征；當(dāng)原子和光場之間的耦合系數(shù)增大時，整個體系的保真度減小，并且演化曲線的周期明顯變??；當(dāng)初態(tài)兩原子均處在基態(tài)的概率增大時，整個體系的保真度增大。

［1］胡冬梅，冉揚(yáng)強(qiáng)，黃小春.原子與雙光場耦合系統(tǒng)量子信息保真度研究［A］.重慶工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2007，24（2）：114－147.

［2］郭光燦.量子信息技術(shù) ［A］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2010，（5）：521－525.

［3］李元杰，張彥立.簡并拉曼過程中量子保真度的演化［A］.量子電子學(xué)報，2004.8：486－472.

［4］董傳華.在克爾媒質(zhì)中原子和光場的量子信息保真度［A］.光學(xué)學(xué)報，2003，23（10）：1181－1187.

［5］劉素梅，紀(jì)運(yùn)景，賀安之.雙光子過程中原子和光場量子態(tài)保真度的演化［A］.激光技術(shù)，2009，26（2）：210－217.

［6］Chunjia huang，Ming zhou，F(xiàn)anzhi kong，Jiayuan fang and Kewei mo Fidelity of quantum state for interacting system of light field and atomic Bose－Einstein condensate Chinese optics letters 2005，3（7）：410－413.

［7］劉王云，楊志勇，安毓英.單模真空場－耦合雙原子系統(tǒng)的量子場熵演化特性 光電子·激光2007，18（9）：1124－1127.

［8］Quantum pathology of static internal imperfections in flawed quantum computers［A］.physics letters，J.PHYSLETA.2007，3－4（370）：207－212.