周小燕，梁青青，趙春艷，楊惠

(蘭州文理學(xué)院 傳媒工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730000 )

0 引言

1995年，美國科學(xué)家埃里克·康奈爾等在實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn)了玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)[1]，因BEC不僅可為研究量子力學(xué)的基本問題提供一個(gè)宏觀系統(tǒng)，而且可廣泛應(yīng)用在原子激光、精密測量、量子信息和量子計(jì)算等領(lǐng)域，因此受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-9].近年來，學(xué)者們對(duì)有限深勢阱中單組份BEC的穩(wěn)定性做了大量的研究，結(jié)果表明影響B(tài)EC穩(wěn)定性的因素較多，如原子之間的相互作用，勢阱囚禁原子數(shù)目的多少，凝聚原子與熱原子之間的相互作用，等等[10-11].也有學(xué)者對(duì)有限深勢阱中雙組份BECs的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，結(jié)果表明雙組份BECs的穩(wěn)定性更加復(fù)雜[12-14].為進(jìn)一步分析有限深勢阱中雙組份BECs激發(fā)態(tài)的穩(wěn)定性，本文在不考慮相分離和熱原子影響的情況下，利用變分法研究了有限深勢阱中兩組份凝聚體激發(fā)態(tài)的穩(wěn)定性.

1 淺阱中凝聚體滿足的模型方程

淺阱中凝聚體所滿足的模型方程[15]為:

(1)

2 淺阱中兩組份凝聚體激發(fā)態(tài)的穩(wěn)定性

為了研究淺阱中凝聚體激發(fā)態(tài)的穩(wěn)定性，令原子之間的相互作用系數(shù)g12[16-17]為

g12(t)=g120[1+εsin(ωt)].

(2)

其中:g120表示組份間原子之間相互作用的常數(shù)部分，g120ε表示組份間的原子間相互作用的振蕩部分,ω表示振蕩頻率.令組內(nèi)原子之間的相互作用g為

g(t)=g0[1+εsin(ωt)].

(3)

其中:g0表示組內(nèi)原子之間相互作用的常數(shù)部分，g0ε表示組內(nèi)原子之間相互作用的振蕩部分.本文選用高斯型試探波函數(shù)(如式(4)所示)作為激發(fā)態(tài)的波函數(shù).

(4)

方程(1)所對(duì)應(yīng)的拉格朗日表達(dá)式為

(5)

將方程(4)帶入方程(5)可得到有效的拉格朗日表達(dá)式：

(6)

(7)

式(7)中,i=1,2,j=1,2且i≠j.為計(jì)算方便，令R1=R2=R,N1=N2=N/2,g1(t)=g2(t)=g(t)=g0[1+εsin(ωt)], 則式(7)可化簡為

(8)

2.1 不調(diào)制相互作用系數(shù)時(shí)凝聚體的穩(wěn)定性

當(dāng)不調(diào)制相互作用系數(shù)，即ε=0時(shí)，方程(8)可簡化為

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的計(jì)算方法可計(jì)算出囚禁在淺阱系統(tǒng)中的能量為

(10)

由式(10)可知：當(dāng)8π+g0+g120>0,R→0時(shí),波包趨于擴(kuò)散,能量E2D→∞.當(dāng)8π+g0+g120<0時(shí),波包趨于塌縮,能量E2D→ -∞.因此可得出激發(fā)態(tài)波包塌縮的臨界條件為

g0+g120+8π<0.

(11)

由式(11)可知，兩組份凝聚體在下列情況下發(fā)生塌縮：組內(nèi)間的原子相互吸引，而組份間的原子相互排斥；或組內(nèi)間的原子相互排斥，而組份間的原子相互吸引.由此可見，兩組份凝聚體能量的塌縮條件決定了兩組分凝聚體的動(dòng)力學(xué)特性.

2.2 調(diào)制相互作用系數(shù)時(shí)凝聚體的穩(wěn)定性

為了說明調(diào)制原子之間相互作用的效果，本文將R(t)分成慢變部分A(t)和快變部分B(t)， 即：

R(t)=A(t)+B(t), 且|B(t)|?|A(t)|.

(12)

將式(12)代到式(8)中可得到如下方程：

(13)

360c2A3〈B2〉-4A+16cA3-36c2A5.

(14)

式(14)中，G=g0+g120， 快變部分的相對(duì)時(shí)間的平均導(dǎo)數(shù)用〈…〉表示.在求解方程(13)時(shí)，可將慢變部分A視為常數(shù)，由此求得方程(13)的解為

(15)

將方程(15)代入式(14)中，即可得到如下關(guān)于慢變A部分的表達(dá)式：

(16)

當(dāng)A→0時(shí),方程(16)變?yōu)?/p>

(17)

(18)

由式(18)可知，只要通過Feshbach共振技術(shù)來調(diào)制原子之間的相互作用，并滿足式(18)，就可以抑制雙組份凝聚體的塌縮.