吳羅義，鄭航

(武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 福建 武夷山 354300 )

0 引言

Lotka[1]和Volterra[2]提出捕食者的數(shù)學(xué)模型后，許多學(xué)者對(duì)其相關(guān)模型進(jìn)行了改進(jìn)，并對(duì)相關(guān)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究[3-13].例如：魏鳳英等[11]研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和避難機(jī)能的捕食者系統(tǒng)的分支及其穩(wěn)定性問(wèn)題； Srinivasu等[12]研究了捕食者具有附加食餌的捕食者系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)，并討論了附加食餌的“數(shù)量”對(duì)系統(tǒng)的影響.白玉珍等[13]研究了具有階段結(jié)構(gòu)和附加食餌與避難機(jī)能相結(jié)合的自治捕食系統(tǒng)的分支及其穩(wěn)定性問(wèn)題，其研究的模型為：

(1)

其中:x1(t)、x2(t)、y(t)表示未成年食餌、成年食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度；m為避難參數(shù)，m∈[0,1]；k1(1-m)是捕食者的捕獲率；h2表示捕食者處理單位數(shù)量的額外食物所需的時(shí)間；A′表示額外食物量.系統(tǒng)(1)中的其他數(shù)學(xué)符號(hào)的生物意義見文獻(xiàn)[13].為減少參數(shù)以便計(jì)算，文獻(xiàn)[13]還將系統(tǒng)(1)簡(jiǎn)化為了如下形式：

(2)

文獻(xiàn)[13]考慮的是自治系統(tǒng)，且假設(shè)的系數(shù)均為正常數(shù).而事實(shí)上，生態(tài)系統(tǒng)中很多因素是隨時(shí)間不斷變化的，如環(huán)境的周期性變化、繁殖的周期性變化等，因此研究非自治系統(tǒng)的周期解問(wèn)題具有重要意義.本文考慮將系統(tǒng)(2)改進(jìn)為非自治系統(tǒng)，并假設(shè)未成年食餌固有增長(zhǎng)率a、 未成年食餌死亡率b、 成年食餌死亡率c、 捕食者死亡率r、 未成年食餌到成年食餌的成長(zhǎng)率α和成年食餌內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)率d等參數(shù)為時(shí)間t的連續(xù)周期函數(shù).由上述假設(shè)系統(tǒng)(2)可轉(zhuǎn)化為如下非自治系統(tǒng)：

(3)

以下本文將應(yīng)用迭合度理論探討系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)正周期解的充分條件.

1 主要結(jié)果及其證明

(a)對(duì)任意的λ∈(0,1)， 方程Lx=λNx的解滿足x??Ω∩DomL；

(b)對(duì)任意的x∈?Ω∩KerL,QNx≠0, deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0，

定理1系統(tǒng)(3)至少存在1個(gè)正周期解，若系統(tǒng)(3)滿足以下3個(gè)條件：

(a) (1-m)(1+βρ)>ρ；

(4)

顯然，在以上定義的范數(shù)下，X和Z為Banach空間.為了應(yīng)用引理2， 本文定義以下映射：

由空間X、Z和映射L的定義可知:

以下在定理1的條件下求解滿足引理2的有界開集Ω.由方程Lx=λNx，λ∈(0,1)得

(5)

再對(duì)式(5)的兩邊取絕對(duì)值，然后對(duì)其兩邊同時(shí)在[0,ω]上積分得

(6)

首先，根據(jù)定理1中的條件(a)、引理1以及系統(tǒng)(5)中的第3式可得

于是有

(7)

(8)

另外，由定理1條件中的(a)、引理1以及系統(tǒng)(5)中的第3式還可得

于是有

(9)

(10)

(11)

主要觀察指標(biāo)：針灸操作評(píng)分表，單人徒手心肺復(fù)蘇術(shù)評(píng)分表，新疆醫(yī)科大學(xué)外科基本技能評(píng)分表，體格檢查考核評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（模塊一、二、三、四）?？荚囃ㄟ^(guò)率主要參照學(xué)生參與執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試并獲得資格證書進(jìn)行計(jì)算。在本次研究中考察學(xué)生的就業(yè)率，即已就業(yè)人數(shù)除以畢業(yè)總?cè)藬?shù)乘以100%。

(12)

(13)

另外，由系統(tǒng)(5)中的第1式和第2式分別可得:

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可得

(16)

綜合式(8)、(10)、(11)、(12)、(13)和式(16)可得：

由定理1中的條件知代數(shù)方程組

(17)

下面證明Ω滿足引理2中的條件(b).當(dāng)(u1(t),u2(t),v(t))∈?Ω∩KerL時(shí)， (u1(t),u2(t),v(t))是常向量，且‖(u1(t),u2(t),v(t))‖=H， 所以QNx≠0.因?yàn)镮mQ=KerL=R3， 所以同構(gòu)映射J可取恒等映射.由于式(17)存在唯一正解，因此直接計(jì)算即可得

定理2系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)正周期解，若系統(tǒng)(3)滿足以下3個(gè)條件：

(a) (1-m)(1+βρ)<ρ；

證明因證明方法與定理1相似，且只需注意函數(shù)的單調(diào)性即可，因此本文在此省略.

2 數(shù)值模擬

由(a)、(b)、(c)可知，所取的參數(shù)滿足定理1的3個(gè)條件.在上述參數(shù)下系統(tǒng)(3)的解如圖1所示.由圖1可知，系統(tǒng)(3)的解是周期解.