胡嘉卉

【摘要】本文論述了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中開展數(shù)學實驗的必要性以及應(yīng)用實踐，結(jié)論表明數(shù)學實驗的開展既可以促進學生對理論知識的理解，又能夠提高學生的應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計;數(shù)學實驗;應(yīng)用

【基金項目】 2021河南工業(yè)大學本科教學研究項目（項目編號： lxyjy202101）;河南工業(yè)大學博士基金項目（項目編號： 2020BS037）.

1引言

在大數(shù)據(jù)背景下，計算機軟件及技術(shù)在各個學科領(lǐng)域內(nèi)廣泛應(yīng)用，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的理論和方法體現(xiàn)出越來越重要的作用.其中，數(shù)理統(tǒng)計中處理數(shù)據(jù)的方法應(yīng)用尤其廣泛，遍及理學、工學、管理學和農(nóng)學等專業(yè)領(lǐng)域.同時，這門課程也成為機器學習和人工智能發(fā)展的重要數(shù)學支撐.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是理工科高等院校的必修課程，是碩士研究生入學考試的重要內(nèi)容之一，好的教學效果不僅能為學生打下堅實的理論基礎(chǔ)，滿足其后續(xù)學習的需要，還有利于學生將所學知識應(yīng)用到專業(yè)實踐中去.然而，在大多數(shù)高等院校，這門課程目前的教學模式主要是教師通過板書以及PPT講解理論知識，學生聽講并通過做作業(yè)對知識進行鞏固.這種方式雖然能達到讓學生掌握理論知識的目的，但在這種教學模式下，學生往往會覺得課堂枯燥，知識抽象難懂，學習興趣不高，掌握不了所學知識的應(yīng)用方法，很難在后續(xù)的學習中把理論知識應(yīng)用到專業(yè)中去.為了提升教學效果，使學生能將所學知識與實踐相結(jié)合，我們在原有課堂教學過程中適當引入一些數(shù)學實驗，這樣不僅能夠增強師生互動，活躍課堂氣氛，還有利于提高學生的動手能力.

筆者在教學過程中對部分重要且抽象的知識點應(yīng)用MATLAB軟件開展了數(shù)學實驗，幫助學生深刻地理解所學內(nèi)容，增強了學生的學習興趣，提升了教學效果.下面就筆者的教學實踐和效果進行論述和分析.

2概率統(tǒng)計課程中的實驗教學

2.1模擬擲硬幣實驗

歷史上，很多數(shù)學家都做過拋硬幣實驗，他們通過多次反復(fù)投擲均勻硬幣，統(tǒng)計出硬幣正面向上的頻率，發(fā)現(xiàn)當實驗次數(shù)較少時，頻率值隨機波動幅度較大;當實驗次數(shù)較多時，頻率值的隨機波動幅度較小;隨著實驗次數(shù)的逐漸增加，正面向上的頻率將逐漸穩(wěn)定于固定值0.5.

然而在課堂上，成千上萬次投擲真實硬幣來重現(xiàn)這一結(jié)論是不方便也不現(xiàn)實的.我們可以帶領(lǐng)學生一起編寫MATLAB程序來模擬擲硬幣實驗，記錄并觀察多次實驗的結(jié)果，同樣可以得出相應(yīng)的結(jié)論.

例1通過生成隨機數(shù)模擬連續(xù)多次投擲硬幣的結(jié)果，規(guī)定隨機數(shù)小于0.5時為正面，否則為反面.記錄重復(fù)10次，100次，1000次，10000次，100000次，1000000次實驗出現(xiàn)正面的頻率.

解 參考代碼如下：

frequency = zeros（6，1）;

for m = 1 ： 6

a=0;

A=rand（10^m，1）;

for i = 1 ： 10^m

if A（i，1） < 0.5

a=a+1;

end

end

frequency（m，1） = a/（10^m）;

end

frequency

運行結(jié)果列表如下：

表1列出了4組模擬結(jié)果.從結(jié)果可以看出，當實驗次數(shù)較少時，比如10次，正面朝上的頻率波動幅度比較大，最小0.3，而最大為0.7.但是隨著實驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定于固定值0.5.學生通過計算機生動地重現(xiàn)了歷史上幾位著名數(shù)學家做過的擲硬幣實驗，理解頻率和概率的關(guān)系.同時，實驗直觀地解釋了大數(shù)定律，即事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率，概率是頻率的穩(wěn)定值.

2.2驗證泊松定理

泊松定理當n充分大（n≥20），而p較?。╬≤0.05）時，服從二項分布的隨機變量X近似服從泊松分布，即P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k≈λkk！e-λ，其中λ=np.

在課堂上，我們通過下面的例2，告訴學生如何用MATLAB中的命令計算二項分布的概率，從而避免分布律的復(fù)雜計算，然后通過調(diào)整參數(shù)，驗證泊松定理的結(jié)論.

例2某人對同一目標進行獨立射擊400次，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.02，試求至少命中兩次的概率.

解設(shè)X表示400次射擊命中目標的次數(shù)，那么X～B（400，0.02），我們可以根據(jù)二項分布的分布律直接計算出答案0.9972.另外，由于此題的參數(shù)滿足泊松定理的條件，所以我們也可以用泊松分布的分布律近似計算概率.

同時，常用分布的概率還可以利用MATLAB命令計算，學生恰當應(yīng)用軟件，可以避免煩瑣的計算.

參考代碼如下：

X=0：400;

R=binopdf（X，400，0.02）;

s=sum（R（3：401））

運行結(jié)果為s=0.9972.這里學生可以看到，程序運行結(jié)果和利用分布律計算的結(jié)果是一致的.

在此例子的基礎(chǔ)上，我們引導(dǎo)學生對參數(shù)做一些調(diào)整，通過繪制二項分布和泊松分布的曲線來驗證泊松定理的結(jié)論.繪制的曲線如圖1和圖2所示.

從繪制出的圖像可以看出，當p足夠小，n足夠大時，即泊松定理的條件滿足時，二項分布和泊松分布的分布律曲線是吻合的，如圖1所示的情形.而當這個條件不滿足時，如圖2所示，二者會出現(xiàn)較大偏差，此時不能用泊松分布近似二項分布.

2.3蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬

蒙特卡羅模擬是一種計算方法，其原理是通過大量隨機樣本來求出一個系統(tǒng)中的未知量.該方法的一般實現(xiàn)過程為：先設(shè)計一個適當?shù)碾S機實驗，使得某事件發(fā)生的概率與所求量有關(guān)，然后大量重復(fù)該實驗，用事件發(fā)生的頻率代替概率，從而近似計算出所求.隨著計算機技術(shù)及軟件的發(fā)展，蒙特卡羅方法很適合通過計算機模擬實現(xiàn)，這樣能夠節(jié)省大量成本.

例3用蒙特卡羅法計算圓周率π的近似值.

解 在一個邊長為1 cm的正方形內(nèi)畫一個半徑為1 cm的14圓，然后在這個正方形內(nèi)生成均勻分布的隨機點，落在圓內(nèi)的點數(shù)占總點數(shù)的π4，我們求出這個頻率，再乘以4，就得到π的近似值.通過不同數(shù)量的隨機點得到的π的近似值如下表所示.可以看出，隨機點越多，得到的π的近似值越精確，這也說明了隨著實驗次數(shù)的增多，頻率逐漸趨于概率.

2.4參數(shù)的區(qū)間估計

如果得到樣本向量X，我們調(diào)用命令[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，alpha），可以得到參數(shù)的極大似然估計值mu和sigma，以及置信系數(shù)為1-alpha的置信區(qū)間muci和sigmaci.在課堂上講到區(qū)間估計內(nèi)容時，我們先講解教材中的方法，然后通過例4和例5說明如何應(yīng)用命令normfit求置信區(qū)間，比較得到的結(jié)果，并進一步闡明我們對于置信系數(shù)的理解.

例4從某年級中隨機抽取10名女生，身高如下：162 cm，159 cm，168 cm，160 cm，157 cm，162 cm，163 cm，159 cm，170 cm，166 cm.求該年級女生平均身高的95%的置信區(qū)間.（假設(shè)女生身高服從正態(tài)分布）

解 我們先用教材中的方法解答，再調(diào)用命令normfit求解，然后進行對比.

解法一： 設(shè)該年級女生的平均身高為μ，欲求滿足P（θ^1<μ<θ^2）=0.95的區(qū)間（θ^1，θ^2），先求滿足P-λ<X--μSn<λ=0.95的λ.由教材的附表查表可得λ=tn-1α2=t9（0.025）=2.26.

故PX--λSn<μ<X-+λSn=0.95，其中X-=162+…+16610=163，S2=1n-1∑ni=1（Xi-X-）2=18.43.所以μ的置信系數(shù)為95%時，置信區(qū)間為（159.6，165.6）.

解法二： 調(diào)用命令[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，alpha），其中X為樣本向量，alpha=0.05.

參考代碼如下：

X = [162 159 168 160 157 162 163 159 170 166];

[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，0.05）

運行可得：

mu =162.6000

sigma =4.2216

muci =

159.5800

165.6200

sigmaci =

2.9038

7.7071

其中，mu和sigma分別為總體期望和標準差的極大似然估計值，muci為本題所求，即平均身高μ的95%的置信區(qū)間，這與上面的計算結(jié)果是一致的.sigmaci為總體標準差的95%的置信區(qū)間.

由此可見，在掌握了基本理論的前提下，適當應(yīng)用軟件解決問題是快捷方便的.

例5假設(shè)X～N（10，4），模擬產(chǎn)生X的100組容量為24的重復(fù)觀測樣本數(shù)據(jù)，對于每一組樣本數(shù)據(jù)利用normfit計算總體均值的0.95的置信區(qū)間，并考察在得到的100個置信區(qū)間中有多少個區(qū)間包含10.

解 參考代碼如下：

function n = ex4（）

n=0;

for i=1：100

x =normrnd（10，2，24，1）;

[m，s，sci] = normfit（x）;

if sci（1）<10 && sci（2）>10

n=n+1;

end

end

該函數(shù)的四次運行結(jié)果分別為n=96，n=95，n=96，n=99.該結(jié)果表明，如果置信系數(shù)為0.95，那么對于構(gòu)造的100個區(qū)間來說，大約會有95個包含參數(shù)μ.事實上，對于一個具體的區(qū)間，如例4中得到的（159.6，165.6），它或者包含μ，或者不包含μ，兩者必居其一，說它包含μ的概率是0.95并不合適.因此，置信系數(shù)0.95的意義是指多次重復(fù)抽樣構(gòu)造置信區(qū)間包含μ的頻率大約是95%.也就是說，置信系數(shù)實際上是對構(gòu)造置信區(qū)間的這種方法的可靠程度的整體評價.這樣的教學模式一方面可以使學生學會應(yīng)用軟件中的命令進行參數(shù)估計，另一方面，也使學生更深刻地理解了置信系數(shù)和置信區(qū)間的含義.

2.5假設(shè)檢驗

在講到假設(shè)檢驗部分時，除了給學生講授教材中的理論知識以及借助查表的檢驗方法外，我們還向?qū)W生介紹了MATLAB中的命令，以使其快速地得到結(jié)論.

例6某工廠生產(chǎn)10 Ω的電阻，根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻的實際情況，可認為其電阻值服從正態(tài)分布，標準差σ=0.1 Ω.現(xiàn)隨機抽取10個電阻，測得它們的阻值為： 9.9 Ω，10.1 Ω，10.2 Ω，9.7 Ω，9.9 Ω，9.9 Ω，10 Ω，10.5 Ω，10.1 Ω，10.2 Ω，試問通過這10個實測值能否認為該廠生產(chǎn)的電阻的平均阻值為10 Ω？

這個題目我們可以用教材上的方法結(jié)合查表來做，這是我們課堂上講授的基本理論和方法，是這部分內(nèi)容的基礎(chǔ).基于此，我們進一步引導(dǎo)學生用MATLAB命令快速地解決問題，拓展學生的解題思路，增強學生對知識的理解和動手解決問題的能力.

解 我們先采用教材上的方法解答，再調(diào)用命令ztest解答，并對得到的結(jié)論進行對比.給定顯著性水平α=0.05.原假設(shè)H0：μ=10;對立假設(shè)H1：μ≠10.

解法一：選取適當?shù)慕y(tǒng)計量，構(gòu)造小概率事件：

PX--μσn>λ=0.05

查表得到λ=1.96.由樣本值可得X-=10.05，將樣本值代入統(tǒng)計量得：

X--μσn=10.05-100.110=1.58<1.96

即統(tǒng)計量的取值落入接受域，故接受原假設(shè)H0.

解法二：應(yīng)用命令ztest，可以更方便地得到結(jié)論.

參考代碼如下：

X=[9.9 10.1 10.2 9.7 9.99.9 10 10.5 10.1 10.2];

sigma=0.1;

mu=10;

alpha=0.05;

h=ztest（X，mu，sigma，alpha，0）

運行結(jié)果為h=0.

這表明，在顯著性水平α=0.05時，接受原假設(shè)H0.可見應(yīng)用軟件解決問題減少了計算量，提高了效率.需要注意的是，雖然軟件的輔助可以給問題解決帶來方便，節(jié)省時間，但是我們并不能忽略基本理論和數(shù)學思想的講授，學生只有在理解并充分掌握了基礎(chǔ)數(shù)學理論的前提下，適當應(yīng)用軟件，才能起到事半功倍的效果.

3結(jié)束語

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學中，教師適當引入數(shù)學實驗，既可以加深學生對抽象理論知識的理解，豐富解決問題的思路，又可以提高學生應(yīng)用知識的能力，進一步增強了學生的學習熱情，提高了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，增強了教學效果.本文論述了課程中開展的數(shù)學實驗的部分例子，它們都具有理論內(nèi)容重要、編程簡單易行的特點，非常適合在課堂教學過程中同時開展.在不同學時、不同專業(yè)的課程教學中，我們會根據(jù)總課時量、課程進度、學生的學習能力等具體情況，適當增加或者減少部分數(shù)學實驗.如果授課對象是軟件應(yīng)用能力比較強的理工科學生，我們還可以通過布置作業(yè)的形式讓他們自行編程，實現(xiàn)一些簡單的實驗，并把該作業(yè)成績按一定的權(quán)重計入期末總評成績中，以實現(xiàn)對學生學習效果的全方面、多角度考查.

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