郭茜

摘要：勾股定理有著豐富的文化內涵和巨大的文化價值。勾股定理的教學要凸顯數(shù)學文化特色，可盡量選取相關歷史材料，融入定理猜想、證明與應用的全過程，在潤澤學生數(shù)學情感、促進學生數(shù)學理解的同時，讓學生充分體會數(shù)學文化中的探索精神、思想方法以及數(shù)學之用、數(shù)學之美。

關鍵詞：勾股定理;教學設計;數(shù)學史;數(shù)學文化

作為初中數(shù)學的重要內容，勾股定理是平面幾何最基本的定理，是數(shù)形結合的典范，有著豐富的文化內涵和巨大的文化價值。張奠宙先生說過：“勾股定理是難得的承載著大量的數(shù)學文化的中學數(shù)學課題?！币虼?，勾股定理的教學要凸顯數(shù)學文化特色，可盡量選取相關歷史材料，融入定理猜想、證明與應用的全過程，在潤澤學生數(shù)學情感、促進學生數(shù)學理解的同時，讓學生充分體會數(shù)學文化中的探索精神、思想方法以及數(shù)學之用、數(shù)學之美。筆者在教學中便做了這樣的嘗試，取得了較好的效果。

一、教學設計

（一）課前準備

推送視頻微課“勾股定理的發(fā)展歷史”，讓學生了解與勾股定理相關的重要歷史事件。

讓學生上網(wǎng)搜索與勾股定理相關的小故事，分享給同學，并提交給教師。

[設計意圖：歷史材料的融入，會使得這節(jié)課的容量比較大。讓學生在課前觀看相關歷史事件的視頻，可以使他們在課堂上比較快地接收信息，從而快速進入思考、理解的狀態(tài)。讓學生在課前搜集相關歷史材料，可以使課堂上呈現(xiàn)的歷史材料部分甚至全部來自學生，從而更好地激發(fā)學生的學習動力。]

（二）課堂教學

1.勾股定理的猜想。

（1）探索等腰直角三角形的三邊關系。

首先，分享學生課前搜集的古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯的小故事：

相傳，在公元前550年左右，有一次，畢達哥拉斯應邀去朋友家做客。善于觀察的他被腳下排列規(guī)則的地磚圖案所吸引，看著看著，竟然在地磚圖案上做起了數(shù)學，完全忘記了自己是來做客的。地磚圖案是一個個相同的直角三角形按黑白兩色有規(guī)則地排列形成的。他發(fā)現(xiàn)，地磚圖案中正方形A和正方形B的面積之和恰好等于正方形C的面積（如圖1）。回家后，他又做了進一步的推廣、演算，最終得到了勾股定理——西方稱為畢達哥拉斯定理。

接著，出示三個問題：

問題1：地磚圖案中，正方形A、正方形B和正方形C的面積為什么有上述關系？如何計算或表示三個正方形的面積？

問題2：這三個正方形中間所圍的圖形是什么？

問題3：如何描述結論？

（2）探索網(wǎng)格中直角三角形的三邊關系。

首先，出示情境：

1955年，希臘發(fā)行了一枚郵票（如圖2），紀念畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理;顯然，郵票中的圖形可以放入網(wǎng)格中（如圖3）。

接著，出示一個問題：

問題4：圖中，三個正方形的面積是否還具有剛才的關系？如何求正方形C的面積？

預設：（1）“補”的方法，即C的面積=大正方形的面積-4個小直角三角形的面積;（2）“割”的方法，即C的面積=4個小直角三角形的面積+小正方形的面積。

然后，出示三個問題：

問題5：這三個正方形中間所圍的圖形是什么？

問題6：如何描述結論？

問題7：網(wǎng)格中，其他的直角三角形滿足這個關系嗎？請在課前分發(fā)的方格紙上繪制直角三角形，構造相應的正方形并求出其面積。

匯總學生的計算結果，驗證結論。

（3）探索任意直角三角形的三邊關系。

出示一個問題：

問題8：去掉網(wǎng)格限制，任意直角三角形都滿足這個關系嗎？

利用“幾何畫板”軟件繪制直角三角形，構造相應的正方形并自動求出其面積;改變直角三角形的形狀、大小，自動呈現(xiàn)變化的數(shù)據(jù)，驗證結論。

根據(jù)正方形面積公式，獲得猜想：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2 + b2=c2。

[設計意圖：從畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理最初的情境入手，從簡單到復雜、從特殊到一般，一步一步做細做實，引導學生充分經(jīng)歷歸納猜想勾股定理的過程，不斷體會一般化（推廣）的數(shù)學思想。其中，引入動手操作和軟件演示可以充分發(fā)揮學生的主體作用，提升學生的學習體驗。此外，求網(wǎng)格中直角三角形斜邊上的正方形的面積時采用的割、補方法可讓學生體會到轉化的數(shù)學思想，并且為后面理解勾股定理的證明方法（啟發(fā)勾股定理的證明思路）做好鋪墊。]

2.勾股定理的證明。

（1）商高的“積矩圖”證法。

分享學生課前搜集的中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中周武王的大臣周公和學者商高的一段對話：

昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”

解釋這段話的意思：

從前，周公問商高：“我早就聽說大夫您擅長數(shù)學。古時伏羲建立周天測量度數(shù)，可是天沒有臺階可供攀登，地也不適合以尺寸去度量，請問這些數(shù)是從何處得來的？”商高說：“數(shù)學的方法出于圓和方（正方形）的數(shù)理特性，圓可由方的數(shù)理特性推導，方可由矩（長方形）的直角數(shù)理特性推導，矩的數(shù)理原理出于乘法法則。所以，將矩形沿對角線一折為二，得兩個相等的直角三角形，那么，勾方加股方就等于徑方。例如，如果勾（即短邊）等于三，股（即長邊）等于四，那么，所得直角三角形的徑（即弦，斜邊之長）就等于五（三四五這三個數(shù)按九九乘法表來計算有三三加四四等于五五的關系）。為什么呢？您看，在直角三角形之外，以徑為邊作正方形，然后每次取半個矩形，四次就可以環(huán)繞正方形一周，這就形成一個大的方盤了。由此推導，就可以得出成立‘三四五’的數(shù)理關系了。因為由構圖得，由兩個矩形分成的四個直角三角形圍成的徑方的面積等于大的方盤面積（七七四十九）減去兩個矩形的面積（三四一十二的兩倍，二十四），從而推導得徑方面積等于二十五，這恰好等于勾方的面積九加股方的面積十六，得到徑等于五，這就是所說的勾三股四徑五。這種推導法就是所謂的‘積矩’法。大禹之所以能夠（由治水而）治天下，就得力于以上的數(shù)量關系。”

談話：這其實就是勾股定理名稱的由來。由此，我們可以知道，商高不僅發(fā)現(xiàn)了勾股定理，還證明了勾股定理。（課件出示圖4）請觀察“積矩圖”，解釋商高的證法。

（2）趙爽的“弦圖”證法。

談話：三國時期吳國的數(shù)學家趙爽在《勾股圓方圖注》一書中創(chuàng)制了“弦圖”，（課件出示圖5）再次證明了勾股定理。2002年，國際數(shù)學家大會在中國召開，會徽（課件出示會徽）就是趙爽的“弦圖”。（課件將“弦圖”一般化為圖6）請觀察“弦圖”的一般化，解釋趙爽的證法。

（3）劉徽的“青朱出入圖”證法。

談話：魏晉時期的數(shù)學家劉徽撰寫《九章算術注》時，依據(jù)“割補術”創(chuàng)制了“青朱出入圖” ，又一次證明了勾股定理。雖然此圖失傳了，但是后人根據(jù)“出入相補、以盈補虛”的原理，參照書中類似的方法，還原了此圖（課件出示下頁圖7）。請觀察“青朱出入圖”，解釋劉徽的證法。

（4）歐幾里得的證法。

談話：古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中，也給出了勾股定理的證法（課件出示下頁圖8）。

具體解釋歐幾里得的證法。

（5）其他證法。

分享師生搜集的勾股定理的其他證法。

[設計意圖：商高的證法、趙爽的證法和劉徽的證法簡潔明了，凸顯了幾何直觀，正是之前割、補計算面積方法的遷移運用，可以讓學生嘗試作出解釋。歐幾里得的證法邏輯嚴謹，在幾何直觀的基礎上凸顯了演繹推理，需要運用全等三角形知識和等積轉化思想，應該向學生作出解釋。通過對比，學生不僅可以感受到證法中蘊含的數(shù)學思想，而且能夠體會到中西數(shù)學文化的差異。勾股定理是證明方法最多的數(shù)學定理之一。分享其他證明方法，可以拓寬學生的視野，讓學生充分體會到數(shù)學知識之間的豐富聯(lián)系，以及數(shù)學學習的無窮樂趣。]

3.勾股定理的應用。

出示習題：

1.在下列橫線上填上正確的數(shù)值。

2.已知在Rt△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊。

（1）若∠A=90°，a=0.5，b=0.3，則c=_______________;

（2）若∠B=90°，a=5，c=12，則b=_________________;

（3）若∠C=90°，c=15，b=9，則a=____________________;

（4）若∠C=90°，a∶b=3∶4，c=10，則a=____________，b=____________。

3.《九章算術》中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長各幾何？”題意是：“如圖9，有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在池塘中央，高出水面部分BC為1尺。如果把該蘆葦沿與岸邊垂直的方向拉向岸邊，那么，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′。問：水深和蘆葦長各多少？”

4.（1）求圖10中陰影部分的面積：SE=___________，SA+SB+SC+SD=____________。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）請拿出之前在方格紙中繪制的圖形，在原有兩層圖形的基礎上繪出第三層。你還能繪出更多層嗎？

展示“幾何畫板”軟件繪制的“勾股樹”（如圖11），讓學生欣賞。

[設計意圖：第1題是勾股定理的基本應用，即已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊。第2題稍微提升難度，即不給圖形，先要確定已知邊是直角邊還是斜邊，以及變已知一邊長度為已知兩邊長度的比。第3題是《九章算術》中的問題，是實際應用問題，既滲透了數(shù)學文化，也體現(xiàn)了數(shù)學之用;同時進一步提升難度，即要運用建模思想和方程方法。第4題“勾股樹”問題，是規(guī)律探究和數(shù)學實驗問題，既滲透了數(shù)學文化，也體現(xiàn)了數(shù)學之美。]

二、教學立意

（一）重走歷史之路，感悟數(shù)學思想方法

弗賴登塔爾認為，數(shù)學學習應該是一個再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的活動過程。再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，可以使數(shù)學學習不過分著眼于瑣碎的、容易遺忘的數(shù)學知識（問題），更關注獲得知識（解決問題）過程中具有一般性的、能夠積淀和遷移的數(shù)學思想方法和活動經(jīng)驗。數(shù)學教學中融入數(shù)學史，可以讓學生更好地經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，完成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，因為歷史體現(xiàn)（包含）著最真實的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程。本節(jié)課，不僅定理的猜想、證明和應用環(huán)節(jié)都融入了大量的歷史材料，而且，“猜想—證明—應用”這一流程也充分體現(xiàn)了歷史發(fā)展的脈絡，是對歷史過程的重構。有了過程的充分經(jīng)歷，學生就能更好地體會到從一般化、割補轉化、等積變換、幾何直觀、演繹推理等重要的數(shù)學思想方法以及“大膽猜想（類比、歸納），小心求證（驗證、論證），廣泛應用（數(shù)學、現(xiàn)實）”的數(shù)學研究經(jīng)驗。

（二）比較中西文化，體會數(shù)學之用和數(shù)學之美

勾股定理的文化內涵還充分體現(xiàn)了數(shù)學文化的多樣性特征。本節(jié)課，在證明環(huán)節(jié)，筆者有意引導學生比較源自中國數(shù)學文化的商高證法、趙爽證法、劉徽證法和源自西方數(shù)學文化的歐幾里得證法;在運用環(huán)節(jié)，筆者有意引導學生比較源自中國數(shù)學文化的“引葭赴岸”問題和源自西方數(shù)學文化的“勾股樹”問題。由此，可以讓學生體會到中國數(shù)學文化的實用特征和西方數(shù)學文化的理性特征，進而體會到數(shù)學同時具有的應用價值和審美價值，建立多元的數(shù)學觀和文化觀。

參考文獻：

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[2] 俞求是.《周髀算經(jīng)》“周公商高問答”相關問題的研究[J].數(shù)學通報，2019（2）.

[3] 王海青.基于數(shù)學史和《原本》思想的勾股定理教學價值思考[J].教學與管理，2016（10）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995.