葛敏輝

【摘? ?要】通過有關(guān)“小數(shù)除以整數(shù)”知識(shí)的學(xué)前測(cè)查，分析與解讀學(xué)生在計(jì)算時(shí)的表現(xiàn)及理解狀態(tài)，構(gòu)建算理理解的五個(gè)水平層次，并提出教學(xué)建議：重視學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的激活和比較，加強(qiáng)方法間的關(guān)聯(lián)和優(yōu)化，注重基本方法的歸納與數(shù)學(xué)原理的感悟。這些做法能夠?yàn)樵O(shè)計(jì)和教學(xué)“小數(shù)除以整數(shù)”提供依據(jù)與思路。

【關(guān)鍵詞】前測(cè);算理;理解;建議

一切教學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與終點(diǎn)都是學(xué)生。了解學(xué)生的現(xiàn)狀是教師進(jìn)行有效教學(xué)的關(guān)鍵所在。圍繞“小數(shù)除以整數(shù)”設(shè)計(jì)調(diào)查問卷，隨機(jī)抽取了某校兩個(gè)班學(xué)生（88位）進(jìn)行問卷調(diào)查，并基于調(diào)查對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析。

一、對(duì)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算“11.5÷5”的情況分析

為了解學(xué)生能否在學(xué)習(xí)小數(shù)除法前，根據(jù)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立解決簡(jiǎn)單的小數(shù)除法計(jì)算問題（如果能解決，是采用什么方法解決的;如果不能解決，他們遇到的主要困難是什么），對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“結(jié)合情境解決計(jì)算問題”的測(cè)試。測(cè)試題目如圖1。

測(cè)試后對(duì)學(xué)生的解答情況進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)，得到結(jié)果如下。

1.學(xué)生基本都能根據(jù)情境正確列出算式并得到正確答案。測(cè)試中，所有學(xué)生都能夠正確列出算式“11.5÷5”。88個(gè)學(xué)生中，能正確計(jì)算出答案的學(xué)生有86人，約占總?cè)藬?shù)的97.7%。可見，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)小數(shù)除法的計(jì)算方法前，已經(jīng)有相當(dāng)充足的認(rèn)知基礎(chǔ)。

2.學(xué)生解決“11.5÷5”的方法較為豐富。針對(duì)絕大部分學(xué)生都能得出正確答案的現(xiàn)狀，繼續(xù)對(duì)學(xué)生計(jì)算“11.5÷5”時(shí)能想到的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)只能用1種方法計(jì)算出答案的學(xué)生僅占被試人數(shù)的12.5%，能用2種方法計(jì)算的學(xué)生有52.3%，用3種方法計(jì)算的學(xué)生有27.3%。還有5名學(xué)生能夠用4種或5種方法得到答案。學(xué)生用到的具體方法及采用不同方法的人數(shù)占比見表1。

從以上統(tǒng)計(jì)整理中可見，學(xué)生獨(dú)立計(jì)算“小數(shù)除以整數(shù)”，已經(jīng)能呈現(xiàn)出多樣化的方法。但同時(shí)可以看出，情境對(duì)學(xué)生的計(jì)算起到了重要的支撐作用，列豎式解決問題時(shí)很多學(xué)生對(duì)于余數(shù)的處理問題存在困惑。

這提示教師可以基于學(xué)生的多樣算法展開教學(xué)，但需要借助情境幫助學(xué)生理解算理，強(qiáng)化“分的過程”和對(duì)“余數(shù)處理”的思辨與歸納，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的深入理解。

二、對(duì)學(xué)生列豎式計(jì)算“小數(shù)除以整數(shù)”的情況分析

為了解學(xué)生能否在學(xué)習(xí)小數(shù)除法前獨(dú)立列豎式計(jì)算，在進(jìn)行不同類型算式的列豎式計(jì)算時(shí)會(huì)有什么差異，在列豎式計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么疑難點(diǎn)等問題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“列豎式計(jì)算”的測(cè)試。測(cè)試題目如圖2。

測(cè)試后對(duì)學(xué)生的解答情況進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)，得到的結(jié)果如下。

1.絕大多數(shù)學(xué)生都能通過列豎式得到正確答案。以上4道題目，75%以上的學(xué)生能夠通過列豎式得到全部正確答案（列豎式的方法不一定完全正確）。雖然第③題（要除3次）、第④題（除數(shù)是兩位數(shù)）列豎式時(shí)相對(duì)要經(jīng)歷較復(fù)雜的過程，但這兩道題的單題正確率也都在80%以上?？梢?，學(xué)生列豎式計(jì)算小數(shù)除法已有較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

2.學(xué)生對(duì)“除到小數(shù)部分時(shí)要不要保留小數(shù)點(diǎn)”存在疑慮。在測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)小數(shù)除法列豎式計(jì)算過程中要不要保留小數(shù)點(diǎn)存在不同的認(rèn)識(shí)。約30%的學(xué)生是保留了小數(shù)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算的（如圖3）。保留小數(shù)點(diǎn)與不保留小數(shù)點(diǎn)，看起來只是一個(gè)點(diǎn)的不同，但本質(zhì)上前者是用“數(shù)”來除，后者則是用計(jì)數(shù)單位的“數(shù)量”來除。

這提示教師在教學(xué)時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生先經(jīng)歷“分的過程”，在建立深刻表象后，再放手讓學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算;要加強(qiáng)對(duì)豎式中疑惑點(diǎn)的思辨，利用“分的活動(dòng)”辨析“小數(shù)點(diǎn)是否要保留”，從而建立“分的過程”與豎式間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。同時(shí)也要加強(qiáng)不同類型的練習(xí)和對(duì)比，通過比較異同來促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，對(duì)算法的掌握。

三、對(duì)學(xué)生豎式計(jì)算過程中的理解情況分析

為了解學(xué)生是否理解豎式計(jì)算的過程，理解水平如何，學(xué)生能不能自主發(fā)現(xiàn)“小數(shù)除以整數(shù)”與“整數(shù)除法”之間的關(guān)聯(lián)等問題，在學(xué)生完成問卷后，教師根據(jù)答題情況選擇部分能正確列豎式計(jì)算的學(xué)生進(jìn)行了訪談。通過訪談，進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)豎式計(jì)算過程中每一個(gè)步驟所表達(dá)意義的理解情況。

1.多數(shù)學(xué)生并不理解豎式中每一步表達(dá)的意義。訪談發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生之所以能列豎式解決問題，多是參照“整數(shù)除法”的計(jì)算方法遷移而來的。當(dāng)問及豎式中每個(gè)數(shù)的意義時(shí)，他們?nèi)狈?duì)計(jì)算意義本質(zhì)的理解。

如當(dāng)教師向能正確列豎式計(jì)算96.8÷4（如圖4）的學(xué)生提問“豎式中的16表示什么意思”時(shí)，60%以上的受訪學(xué)生回答“不知道”。問到“豎式中第一步計(jì)算后，得到9-8=1，下面為什么會(huì)變成16”時(shí)，一半以上受訪學(xué)生的回答是“6落下來就變成了16”。同樣的，當(dāng)問到“最后一步計(jì)算時(shí)這兩個(gè)8分別是什么意思”時(shí)，學(xué)生的回答基本集中在“第一個(gè)8是上面落下來的，第二個(gè)8是2×4得到的”。

這說明多數(shù)學(xué)生雖然能夠得到正確的計(jì)算結(jié)果，但對(duì)豎式意義的理解還停留在程序性理解水平。

2.多數(shù)學(xué)生并不清楚為什么要去掉小數(shù)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。訪談表明，這些能夠正確列豎式計(jì)算的學(xué)生，雖然在列豎式解決問題的時(shí)候去掉了小數(shù)點(diǎn)，但他們中的大多數(shù)并不清楚為什么要去掉小數(shù)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。如教師呈現(xiàn)一份學(xué)生作業(yè)（如圖5），提問：“有人在豎式計(jì)算時(shí)是像這樣保留著小數(shù)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算的，你計(jì)算時(shí)為什么都是去掉小數(shù)點(diǎn)的？”80%以上的受訪者的回答都是“不知道”。如果教師繼續(xù)追問：“你覺得這種做法對(duì)嗎？也就是說，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)計(jì)算可以嗎？”幾乎所有的受訪者都回答“也可以”。這說明這部分學(xué)生對(duì)在列豎式時(shí)點(diǎn)不點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)這個(gè)問題同樣存有疑惑。

3.學(xué)生難以自主發(fā)現(xiàn)“小數(shù)除以整數(shù)”與“整數(shù)除以整數(shù)”的算理的共同點(diǎn)。為了解學(xué)生是怎么理解“小數(shù)除以整數(shù)”與“整數(shù)除法”這兩類除法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的，教師對(duì)受訪學(xué)生提問：“你覺得今天做的小數(shù)除法與以前學(xué)過的整數(shù)除法有什么相同點(diǎn)？”學(xué)生的回答大致有兩類。第一類認(rèn)為它們的算法是一樣的，理由是可以用商的變化規(guī)律，將被除數(shù)擴(kuò)大，使小數(shù)除法變成整數(shù)除法。也就是說，小數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法。第二類認(rèn)為它們?cè)谟?jì)算過程中的部分步驟一致。比如認(rèn)為小數(shù)除法和整數(shù)除法都是從最高位算起，除完有余數(shù)都是和下一位合起來一起除的規(guī)則相同。對(duì)這類學(xué)生進(jìn)一步追問“為什么規(guī)則是相同的”，學(xué)生基本都無法給出合理的解釋。

由此可見，即便學(xué)生對(duì)算法能夠正確操作運(yùn)用，但對(duì)算理的理解水平還存在較大的差異。

四、對(duì)學(xué)生小數(shù)除以整數(shù)的算理理解水平分析

基于上述分析，研究團(tuán)隊(duì)根據(jù)測(cè)試和訪談情況，基于SOLO分類理論對(duì)學(xué)生的算理理解水平進(jìn)行了深入的層次分析，將學(xué)生對(duì)小數(shù)除以整數(shù)的算理理解水平劃分為5個(gè)水平層次。

水平0：無解題思路——不能獨(dú)立得出小數(shù)除以整數(shù)計(jì)算的答案。

水平1：能利用經(jīng)驗(yàn)正確解答——如能借助“元、角、分”等生活經(jīng)驗(yàn)幫助計(jì)算，得到正確的結(jié)果，并能表達(dá)思考過程。

水平2：能用多種方法正確解答——能在原有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法改造，能用不同方法找到計(jì)算問題的答案，并能說清計(jì)算的過程。

水平3：能建立方法關(guān)聯(lián)——能對(duì)比自己或他人使用的不同方法，并發(fā)現(xiàn)這些方法之間存在的關(guān)系，形成具有一定關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)。

水平4：能抽象出基本算法的算理——提煉出小數(shù)除以整數(shù)的豎式計(jì)算基本算法，并理解算理，形成對(duì)“整數(shù)除法”的融通。

研究團(tuán)隊(duì)對(duì)這5個(gè)水平層次進(jìn)行了賦分（0～4），對(duì)照學(xué)生的答題解析進(jìn)行了整理、統(tǒng)計(jì)，具體情況見表2。

從上表中可以看出，學(xué)生對(duì)算理的理解達(dá)到水平4的學(xué)生僅有10人（11.4%），總平均分只有2.02/4，整體處于較低的水平。

這說明多數(shù)學(xué)生沒有理解小數(shù)除法與整數(shù)除法的算理一樣，豎式的每一個(gè)步驟都是在記錄“計(jì)數(shù)單位數(shù)量的等分”，這是學(xué)生理解上的難點(diǎn)。

五、基于前測(cè)的教學(xué)建議

前測(cè)與訪談的結(jié)果提示我們，在教學(xué)“小數(shù)除法”的豎式計(jì)算方法時(shí)，不能僅僅停留在程序性操作的教學(xué)層面上，更要關(guān)注通過多種活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生真正理解豎式中的步驟是在記錄計(jì)數(shù)單位“數(shù)量”的等分過程。為更好地進(jìn)行這一內(nèi)容的教學(xué)，提出具體教學(xué)建議如下。

（一）重視學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的激活和比較

雖然看起來大部分學(xué)生都已經(jīng)會(huì)列豎式計(jì)算了，但學(xué)生往往只知其然而不知其所以然。利用生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境讓學(xué)生經(jīng)歷“分”的過程，對(duì)學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位的等分會(huì)有幫助。因此建議教師在教學(xué)時(shí)從生活情境入手，利用“元、角、分”的模型，讓學(xué)生充分體驗(yàn)分錢的過程（把余下的1元轉(zhuǎn)化為10角再分）。這樣，操作、算式、語言在比較中互相轉(zhuǎn)化，豐富了“分”的表象，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“分”的感知。

（二）加強(qiáng)方法間的關(guān)聯(lián)和優(yōu)化

關(guān)聯(lián)的過程就是去粗取精、由表及里的過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)前已經(jīng)會(huì)用多種不同的算法解決問題，教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)方法間的關(guān)聯(lián)，突出其內(nèi)在聯(lián)系。通過溝通與聯(lián)系，學(xué)生能夠體會(huì)到，不同的方法都是在表征同一個(gè)“分的過程”，即都在記錄“等分不同計(jì)數(shù)單位數(shù)量”的過程。把方法形成有關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，能促進(jìn)學(xué)生理解的深化。

（三）注重基本方法的歸納和本質(zhì)原理的感悟

如果想讓學(xué)生對(duì)“把下一位數(shù)落下來，再繼續(xù)除”這一程序性操作過程有更深刻的理解，教師在教學(xué)時(shí)要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基本方法的歸納和本質(zhì)原理的感悟過程。這種感悟主要包含三個(gè)方面：①轉(zhuǎn)化。通過活動(dòng)理解當(dāng)除不盡有余數(shù)的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化為更小的計(jì)算單位繼續(xù)除。②合并。大的計(jì)數(shù)單位上“余”下來的數(shù)，轉(zhuǎn)化為小的計(jì)數(shù)單位后，要與小的計(jì)數(shù)單位上原有的數(shù)量進(jìn)行合并。③等分。要引導(dǎo)學(xué)生明白合并后的數(shù)表示的是小計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，豎式記錄的是將計(jì)數(shù)單位上的數(shù)量進(jìn)行等分的過程。學(xué)生只有充分經(jīng)歷基本通法的提煉和本質(zhì)原理的感悟，才能深化理解，知其然并知其所以然。這也會(huì)為學(xué)生在今后的除法豎式計(jì)算學(xué)習(xí)時(shí)，能夠有效遷移、創(chuàng)新運(yùn)用知識(shí)提供保障。

（浙江省東陽市吳寧第五小學(xué)? ?322100）