從善學，徐雪松

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

當今世界，能源逐漸枯竭，新能源的發(fā)展仍不足以支撐人類的需求，開發(fā)蘊藏在海洋中的豐富化石能源能夠有效地緩解能源危機.海洋工程裝備的設計制造和優(yōu)化是當前船舶與海洋工程研究的熱點方向.

懸垂型細長體是海洋工程中常出現的一種結構物類型，如無人遙控潛水器(ROV)布放時，母船與中繼器之間的鎧裝臍帶纜就是一種懸垂型細長體[1]；在鉆井立管入井作業(yè)時，水下待入井的鉆井立管也是一種懸垂型細長體[2].細長體上端通常與水面浮式結構物(如母船)相連，母船在波浪的作用下產生多自由度的往復運動，從而導致下面所連接的細長體隨之晃蕩.細長體的晃蕩會對其下端物體的作業(yè)造成不利影響，如在ROV布放系統(tǒng)中，中繼器的晃蕩會導致中繼器和ROV之間的輕纜斷裂；在鉆井立管入井作業(yè)中，立管的晃蕩會導致立管下端與井口對接困難.在多細長體同時作業(yè)的場合，多細長體的同時晃蕩有可能導致相互的碰撞和干涉，嚴重影響其水下作業(yè)的安全性[3-4].考慮到實際波浪運動的復雜性，母船的垂向升沉運動一般可以通過采用升沉補償裝置進行補償.

在上端周期性水平運動時，懸垂型細長體整體可能會出現大幅度運動，運動方向也比較復雜.其中在與上端方向一致的順應方向，軸向各點在水平方向上主要呈現出周期運動響應.細長體運動導致的流場變化也會引起渦激振動.渦激振動主要體現在與順應方向垂直的橫向.相對于順應方向的大幅度運動，渦激振動幅度較小，而且規(guī)律性遠不如順應方向明顯，因此本文暫不考慮細長體的渦激振動問題.

當上端水平周期運動時，細長體軸向各處也會出現相同周期的運動響應，各點運動響應幅值點的連線即為細長體運動響應的幅值包絡線.對于一個特定的上端水平周期運動，細長體軸向各處的響應振幅是不同的，其中存在某一位置上的響應振幅值最小，此點即為最小幅值點；相應地，存在某一位置上的響應振幅值最大，此點即為最大幅值點.顯然，對于幅值包絡線特性的研究對單細長體運動的響應規(guī)律，以及多細長體作業(yè)安全性方面的研究有著重要的意義.在實際工程中，對于細長體運動響應幅值包絡線的特性分析，將有利于水下潛體的安全布放、鉆井立管入井效率的提升，以及多管采油系統(tǒng)作業(yè)的安全評估等.

現有的水下細長體動力學響應方面的研究多聚集在兩端連接狀態(tài)下細長體動力學方面的研究.在細長體下端約束且整體張緊的情況下，細長體的整體運動幅度相對較小，渦激振動必須考慮.關于多立管的干擾和碰撞問題的研究，崔洋洋[5]研究了雙立管在均勻來流中的流固耦合問題；李紅艷等[6]研究了雙立管和螺旋側板在抑制渦激振動的作用.這些研究多針對上下端連接狀態(tài)下，在來流作用或管內流作用下的細長體運動響應分析.對于下端自由的懸垂細長體的運動響應也有一些研究，吳天昊等[7-8]通過試驗研究了平臺運動下懸垂立管的渦激振動響應及疲勞損傷問題，并研究了平臺運動和管內流動聯合作用下，立管的動力響應特性.然而，針對幅值包絡線方面還未見類似研究.針對這方面的不足，本文將針對母船水平周期運動下，細長體軸向各處的響應振幅特性開展研究.

1 動力學計算方法

水下細長體(常見如立管和纜繩等)的動力學研究已經比較成熟，計算方法眾多.考慮到研究重點是幅值包絡線以及對現有成果的接續(xù)，下面介紹采用柔性分段模型來計算懸垂型細長體運動響應的原理和方法.在該模型中，水下柔性細長體被分成一系列柔性段，單獨分析其變形，通過求解力學平衡方程來完成動力學計算.由于柔性細長體的整個變形被分解為所有段的小“曲線”變形，所以動力學計算中只需要相對較少數量的段即可達到較好的精度[9-10].

1.1 動力學模型

細長體模型圖如圖1(a)所示，細長體上端與水平母船或平臺連接，下端一般連接底部物體.當上端母船水平運動時，水下細長體可能出現大的彎曲變形.根據柔性分段模型，將細長體離散為n個柔性分段，柔性分段Qi的兩端處有節(jié)點Ni和Ni+1，如圖1(b)所示.全局和局部坐標系如圖1(b)和1(c)所示，其中Oi-biniti為局部坐標系.全局固定坐標系O-xyz設定為平行于水平面的x和y軸，z軸指向海底，其原點位于細長體上端的初始位置.在每個節(jié)點Ni處存在坐標系biniti，軸bi和ni垂直于ti軸.以相同方式，在中點Ci處存在局部坐標系OCi-bcincitci.

圖1 柔性體長體模型簡化圖Fig.1 Symplified model of flexible slender body

假設從bcincitci到bi+1ni+1ti+1的旋轉變換按以下步驟執(zhí)行：① 圍繞ni軸旋轉θni角度；② 圍繞bi軸旋轉θbi角度.旋轉變換可以表示為

(1)

P(θbi,θni)=

P(θb,θn)=

(2)

對于柔性細長體上端，有如下關系式：

(3)

式中：θb0和θn0為b1n1t1相對于xyz軸的旋轉角度.

1.2 計算方法

在外部載荷作用下，柔性段變形如圖1(b)和1(c)所示.分段的變形由力矩和張力引起.這里假設每個分段的變形非常小，而整個水下柔性細長體的大變形均由這些小變形組成.此外，假設每個分段上的力矩或張力是均勻的，并且每個分段的外力作用在分段中點處，這些外力包括水動力、重力和慣性力.

設作用在Qi上的力矩Mi，可沿局部坐標軸作如下分解：

(4)

圖2 Qi的變形和投影坐標示意圖Fig.2 Deformation and projections of Qi

由于Qi處的平均偏轉角是Ni+1處偏轉角的一半，所以，Ni和Ni+1之間的坐標變換可以近似地表示為

(5)

式中：(xi,yi,zi) 為Ni的坐標；ri為Ni的位移矢量；li為Qi初始長度；ei為Qi的伸長率.

坐標系Ci和Ni間的坐標轉換可以用以下公式表示：

(6)

式中：(xCi,yCi,zCi)為Ci的坐標；rCi為Ci處的位移矢量.

根據式 (5)，Ni和Ni+1的速度關系可以表示為

(7)

Ci和Ni+1的速度關系可以表示為

(8)

(9)

Ni+1的加速度可以表示為

(10)

Ci的加速度可以表示為

(11)

細長體的運動控制方程由所有柔性段中點處的力矩平衡方程和張力平衡方程組成，所有柔性段的2個角度偏轉值和1個伸長率為待求變量.每個柔性段中點處的位移、速度和加速度可以通過式(6)、(8)和(11)求出，進一步可以計算出每個柔性段所受的外力，從而可以列出每個柔性段中點處的力矩平衡方程和張力平衡方程.若柔性段上端簡化為鉸接支撐，在上端點處x和y軸方向上的2個彎矩為0，這2個方向上彎矩平衡方程也作為控制方程.同時，細長體上端切線相對于x和y軸的2個偏轉角為2個待求變量.對于被分為n個柔性分段的細長體，將有3n+2個變量和3n+2個控制方程，對這些控制方程采用優(yōu)化的方法求解出每個變量值，從而實現整個細長體系統(tǒng)的動力學計算.關于柔性分段模型的力矩平衡方程和張力平衡方程的具體推導構成可以參考文獻[9].

2 幅值包絡線特性分析

采用MATLAB軟件編寫程序實現以上基于柔性分段模型的細長體系統(tǒng)動力學計算方法，計算上端水平周期運動下懸垂型水下細長體的運動響應，提取軸向各處的運動幅值以描繪幅值包絡線，并在此基礎上分析包絡線特性.程序計算中選取的水動力系數、計算時間步長和分段數量均與文獻[9]中一致，動力學計算結果已與實驗結果進行了對比驗證，故此處動力學計算結果不再重復驗證.

2.1 無量綱化

由于懸垂型水下細長體軸向各處的響應幅值特性與上端運動幅值、上端運動周期及吊重質量等相關，需要分析這些參數對響應幅值包絡線特性的影響規(guī)律.為了使得這些規(guī)律更具普適性，將這些參數進行無量綱化.根據相似準則，模型試驗與實際情況滿足形狀相似、力學相似和水動力學相似等條件，則根據試驗結果可以預測實際情況的結果.但由于尺度效應，實際模型試驗不可能同時滿足所有的相似準則，所以需要針對相對重要的方面進行無量綱化，使得試驗得到的結果更具有現實意義.

針對上端水平周期運動水下細長體響應幅值包絡線分析問題的特點，無量綱化處理將先選取一個基準模型，參照基準模型計算出上端運動振幅、上端運動周期以及下端吊重質量的無量綱化參數；通過調整這些參數，分別展開動力學計算，并進一步畫出相應的幅值包絡線；分析這些參數變化對幅值包絡線特性的影響.設上端振幅無量綱化參數α為細長體運動幅值A與細長體長度L的比值，即α=A/L；上端周期無量綱化參數β為上端運動周期T與細長體一階固有周期Tc的比值，即β=T/Tc；吊重無量綱化參數γ為吊重質量mG與細長體質量m的比值，即γ=mG/m.

2.2 計算模型

2.2.1基準模型 基準模型參照文獻[9]中的立管模型建立，主要區(qū)別為文獻[9]采用的是空心管道，而本文計算采用的是外徑(D)、長度、截面積(S)和彈性模量等物理參數相同的實心細長體，其整體柔度與實際海洋工程中的深水鉆井立管柔度相仿，具體物理參數如表1所示.在基準模型的基礎上，改變上端運動幅值、周期和吊重質量等參數，分析這些參數對細長體運動響應幅值包絡線特性的影響.

表1 模型的主要參數Tab.1 Main parameters of model

2.2.2運動及載荷 懸垂型水下細長體的上端設為強迫水平周期運動，且細長體在水平面上的主運動方向為x軸方向，運動公式為

(12)

式中：r0,x為在第1個節(jié)點處水平x方向上的位移；φ0=0為初始相位；t為運動時間.

2.3 計算結果分析

由于上端運動幅值、上端運動周期和吊重質量是上端水平周期運動下懸垂型細長體響應運動幅值特性的重要影響參數，下面將分別改變這些參數計算相應的結果，以繪制細長體的幅值包絡線圖，并在此基礎上對比分析各參數對懸垂型細長體在水下運動響應幅值包絡線特性的影響.

根據計算要求，首先研究在上端運動周期和吊重質量不變的情況下，上端運動幅值改變對細長體運動響應幅值包絡線的影響.當β=0.069，γ=0.50時，分別取α=0.046 0，0.062 0，0.031 0，0.015 0，0.007 7，0.004 6，計算獲得的幅值包絡線如圖3所示.其中，x軸為細長體在水平面上的主要運動方向；z軸數值為前文所設的垂向坐標軸，但數值與其相反；兩側虛線代表細長體的幅值包絡線；中間的數根實線是在不同相位時的細長體形狀，相鄰兩根實線之間的相位差Δφ=π/6；λ為最小幅值點的相對位置，即最小幅值點到上端的軸向長度與L的比值.下文中由計算獲得的對比圖像中的實線與虛線的含義與此相同.

由圖3可知，上端運動幅值對懸垂型細長體的運動響應幅值包絡線有明顯影響.上端運動幅值越小，λ也越小，即最小幅值點的軸向位置越靠近上端.當上端運動幅值減小時，細長體下端的運動幅值也隨之減小，但下端運動幅值減小緩慢.最大幅值點出現在上端或下端：當上端運動幅值較大時，最大幅值點出現在上端；反之，當上端運動幅值較小時，最大幅值點出現在下端.最大幅值點變化的轉捩點出現在λ=0.457 3～0.558 7 時，即最小幅值點在靠近細長體的中點位置.

圖3 上端運動幅值對細長體運動響應包絡線的影響Fig.3 Effect of upper end motion amplitudes on envelope of slender body motion responses

考慮在上端運動幅值和吊重質量不變的情況下，改變上端運動周期，分析其對細長體運動響應幅值包絡線的影響.由于實際海況中，波浪周期一般在8～20 s內，所以計算當α=0.046，γ=0.50時，分別取β=0.046，0.138，0.184，0.230，0.276，0.322，計算獲得的幅值包絡線如圖4所示，其中Δφ=π/10.

圖4 上端運動周期對細長體運動響應包絡線的影響Fig.4 Effect of upper end motion period on envelope of slender body motion responses

由圖4可知，上端運動周期對懸垂型細長體的運動響應幅值包絡線特性有明顯的影響.當上端運動周期逐漸增大時，細長體最小幅值點的位置有向上端移動的趨勢.約在β=0.322時，最小幅值點移動到上端，若此時繼續(xù)增大周期，最小幅值點保持不動.最大幅值點在周期較小時，保持在上端不動；而當周期增大時，最小幅值點由下端向上端移動并在越過細長體中點位置后，最大幅值點由上端轉移到下端.當β>0.322時，即達到臨界周期，下端運動幅值開始減小，上下端運動幅值逐漸趨于一致.

考慮在上端運動幅值和上端運動周期不變的情況下，改變吊重質量對細長體運動響應包絡線的影響.當α=0.046，β=0.069 時，并參考實際海洋工程吊重和管線的質量比值，分別取γ=0.25，0.31，0.38，0.50，0.75，1.00，計算獲得的幅值包絡線如圖5所示，其中Δφ=π/6.

圖5 吊重質量對細長體運動響應包絡線的影響Fig.5 Effect of lower end weight on envelope of slender body motion responses

由圖5可知，吊重質量對懸垂型細長體的運動響應幅值特性也有一定的影響.計算結果顯示，隨著吊重質量的增加，λ隨之減小，即細長體的最小幅值點有向上移動的趨勢，但吊重質量對其運動幅值響應的影響較??；當下端吊重質量逐漸增大時，細長體下端的運動幅值也隨之增大，但吊重質量對下端運動幅值響應的影響同樣較小.

3 結論

本文基于柔性分段模型的水下細長體動力學計算方法，改變上端運動幅值、上端運動周期和吊重質量3個參數，對懸垂型水下細長體運動響應幅值包絡線的計算結果進行了對比分析，得到如下結論.

(1) 在上端水平周期運動情況下，細長體軸向各處的響應運動也為周期運動，各處響應特性不同.最小幅值點一般在細長體中間段，其相對位置會因上端運動幅值、周期和吊重質量的改變而上下移動；最大幅值點位置出現在細長體的上端或者下端.

(2) 最小幅值點位置的特征為在上端運動周期和吊重質量不變的情況下，最小幅值點隨著上端運動幅值的增大，其相對位置上移；在上端運動幅值和吊重質量不變的情況下，上端運動周期的增大，最小幅值點的相對位置也會隨之上移.但通過計算發(fā)現存在一個臨界周期，當β=0.322時，在上端運動周期達到這個臨界周期后，最小幅值點移動到最上端，若繼續(xù)增大周期，最小幅值點將保持不動；在上端運動幅值和運動周期不變的情況下，吊重質量越大，最小幅值點越靠近上端，但吊重質量的變化對最小幅值點位置的影響較小.

(3) 最大幅值點位置的特征為最大幅值點一般都位于上端.考慮上端運動幅值的影響時，存在λ=0.457 3～0.558 7 時的轉捩點，最小幅值點由下端向上端移動過程中，在轉捩點處，細長體的上下形狀接近對稱，即下端運動幅值與上端運動幅值相同.越過轉捩點后，最大幅值點由細長體上端移動到下端.考慮上端運動周期的影響時，上端運動周期達到臨界周期后，最大幅值點由細長體上端移動到下端，但周期繼續(xù)增大時，下端運動幅值開始逐漸減小，最終在運動周期足夠大時，整個細長體上各點的運動幅值相同.

上端運動幅值、運動周期和吊重質量確實是影響懸垂型水下細長體運動響應幅值的重要因素，其對細長體上最大和最小幅值點的位置及幅值有明顯的影響.在實際海洋工程問題中，對于鉆井立管待入井、ROV的布放及多細長體共同作業(yè)等情況，可以通過適度改善這些參數的組合，提高工作效率及作業(yè)安全性，避免事故的發(fā)生.