劉陳續(xù)，于桂蘭

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

周期結(jié)構(gòu)是指多個相同的基本單元在空間上周期性分布組合而成的結(jié)構(gòu)，如周期分布的樁基礎(chǔ)、多跨連續(xù)梁橋和高層建筑等.周期結(jié)構(gòu)的特性使其能夠產(chǎn)生相對于彈性波而言的頻率衰減域，即在頻率衰減域范圍內(nèi)的彈性波在通過周期結(jié)構(gòu)時會被抑制或禁止，該特性產(chǎn)生的機(jī)理主要有兩種：布拉格散射[1]和局域共振[2].

周期結(jié)構(gòu)的研究與設(shè)計要求研究人員具備豐富的經(jīng)驗和理論知識，且對計算設(shè)備的要求較高.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是實現(xiàn)人工智能(AI)的一種重要技術(shù)，如今神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展如火如荼，漸漸發(fā)展形成了一個新的分支——深度學(xué)習(xí)[3]，在情感分析、自動駕駛和語音識別等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[4-7].近年來，在對應(yīng)于光波和電磁波的光子晶體和超材料領(lǐng)域，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測和設(shè)計的研究已經(jīng)取得了一定的成果.文獻(xiàn)[8]用多層感知器和極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測了光子晶體的能帶曲線.Liu等[9]采用一種深度學(xué)習(xí)模型實現(xiàn)了光子晶體的反向設(shè)計.Ma等[10]提出了一種半監(jiān)督學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，能夠依據(jù)設(shè)計要求直接輸出超材料的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).而對于彈性波(聲波)卻鮮有文獻(xiàn)涉及，Liu等[11]利用自動編碼器實現(xiàn)了基于能帶理論的層狀周期結(jié)構(gòu)的反向設(shè)計.

層狀周期結(jié)構(gòu)是一種一維周期結(jié)構(gòu)，即在空間上結(jié)構(gòu)沿一個方向呈周期性的變化，國內(nèi)外學(xué)者對其做了大量研究.Xiang等[12]通過實驗驗證了層狀周期結(jié)構(gòu)對于環(huán)境振動的衰減效果.Shi等[13]將由混凝土層以及橡膠磚構(gòu)成的地基基礎(chǔ)等效成層狀周期結(jié)構(gòu)，并研究了該基礎(chǔ)的隔振性能.Huang等[14]通過數(shù)值分析研究了層狀周期結(jié)構(gòu)對表面波的隔振效果.

計算周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的方法有解析法和數(shù)值法等，但這些方法較為復(fù)雜且計算時間較長.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以根據(jù)輸入快速準(zhǔn)確地給出相應(yīng)的輸出，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測周期結(jié)構(gòu)的特性能夠極大地便利周期結(jié)構(gòu)的研究與設(shè)計.本文采用兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——深層反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)對層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預(yù)測.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種快速預(yù)測技術(shù)，能夠很好地輔助周期結(jié)構(gòu)的設(shè)計.同時，層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預(yù)測成功也為二維和三維周期結(jié)構(gòu)的分析和智能反向設(shè)計打下了基礎(chǔ).

1 問題描述

層狀周期結(jié)構(gòu)屬于一維周期結(jié)構(gòu)，其基本單元由多種材料層層疊合而成，可以作為波屏障和隔振基礎(chǔ)[12-14].在剪切橫(SH)波作用下，二組元層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的預(yù)測如圖1所示.周期結(jié)構(gòu)由m個基本單元構(gòu)成，其在水平方向上無限延伸；SH波以傾角θ入射.其中：d為基本單元的厚度；dA和dB分別為一個基本單元內(nèi)材料A和材料B的厚度.考慮小變形，假定材料為理想連續(xù)線彈性介質(zhì)且阻尼為0.

圖1 層狀周期結(jié)構(gòu)Fig.1 Layered periodic structure

對于層狀周期結(jié)構(gòu)，可采用傳遞矩陣法[15]求解其能量傳輸譜，推導(dǎo)過程如下：

當(dāng)SH波斜入射到層狀周期結(jié)構(gòu)時，其波動方程可表示為

(1)

式中：u(y,z,t)為結(jié)構(gòu)在x方向上的位移；G為材料的切變模量；ρ為材料的質(zhì)量密度；t為時間.

當(dāng)考慮時諧平面波時，可假設(shè)

u(y,z,t)=U(z)eikyy-iω t

(2)

式中：ω為角頻率；ky為SH波在y方向上的波數(shù),由Snell定理可得ky為常數(shù).將式(2)代入式(1)可得第n個基本單元中材料A和材料B的位移和應(yīng)力分別為

(3)

i=A,B

(4)

i=A,B

當(dāng)i=A時，(n-1)d≤z≤(n-1)d+dA；當(dāng)i=B時，(n-1)d+dA≤z≤na.

(5)

根據(jù)兩種材料界面處的位移和應(yīng)力連續(xù)條件即可得相鄰基本單元間的傳遞矩陣T.對于含有m個基本單元的層狀周期結(jié)構(gòu)，位移和應(yīng)力在兩端邊界處成立如下關(guān)系

(6)

其中Tm可以簡記為

(7)

為了更好地反映衰減情況，定義能量傳遞系數(shù)為透射波與入射波能量比值的對數(shù)，即

(8)

式中：Pin為入射波能量；Pout為SH波經(jīng)過m層周期結(jié)構(gòu)后的透射波能量.

由式(3)～(8)可得到能量傳遞系數(shù)的表達(dá)式如下：

Γ=

(9)

若材料A為鋁(GAl=28.7 GPa,ρAl=2 730 kg/m3)，材料B為環(huán)氧樹脂(Ge=1.59 GPa,ρe=1 180 kg/m3)，一個基本單元中dA=0.5 m，dB=0.5 m，m=8，不同入射角度下的能量傳輸譜如圖2所示.從圖2中可以看出，SH波在通過層狀周期結(jié)構(gòu)時，其能量在某些頻率范圍內(nèi)有明顯的衰減.就前兩個頻率的衰減域而言，隨著入射角度的增大，能量傳輸譜的衰減幅值逐漸減小，衰減域的中心頻率略向高頻移動.

圖2 “鋁-環(huán)氧樹脂”層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜隨SH波入射角度的變化Fig.2 Variation of energy transmission spectrums of layered periodic structure of “aluminum-epoxy resin” with SH wave incident angles

由式(9)可以看出，層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜與其結(jié)構(gòu)參數(shù)構(gòu)成映射關(guān)系，即每一組結(jié)構(gòu)參數(shù)可以唯一對應(yīng)結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜.如果把結(jié)構(gòu)參數(shù)當(dāng)作“輸入”，能量傳輸譜當(dāng)作“輸出”，則可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來智能處理“輸入”與“輸出”的關(guān)系.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)來調(diào)節(jié)自身的參數(shù)值，最終可以找到數(shù)據(jù)中輸入與輸出的關(guān)系來模擬一個特定的函數(shù)，并能夠準(zhǔn)確和快速地將輸入映射到輸出上，其計算速度可達(dá)毫秒量級.但是，在數(shù)據(jù)充足的情況下，如何選擇一個合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型模擬一個特定的函數(shù)關(guān)系是十分重要的，這直接影響著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度.

層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜變化較為復(fù)雜，簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬很難滿足高精度要求.所構(gòu)建的深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好地解決了這個問題，并與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了對比分析.

2 數(shù)據(jù)集與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 數(shù)據(jù)集

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很好的泛化能力，具有模型簡單、訓(xùn)練速度快等優(yōu)點(diǎn)，如圖3所示.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層組成，輸入層到隱含層無權(quán)重連接，而隱含層到輸出層有權(quán)重連接，神經(jīng)元為徑向基函數(shù).RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要調(diào)節(jié)的參數(shù)有兩類，一類是徑向基函數(shù)的中心，另一類是隱含層到輸出層的權(quán)重.

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.3 RBF neural network

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用的徑向基函數(shù)為多元二次函數(shù)，其表達(dá)式為

(10)

式中：x為一組輸入值；c為徑向基函數(shù)的中心；δ為形狀參數(shù).對于徑向基函數(shù)中心點(diǎn)的計算，采用K-Means法，其表達(dá)式為

(11)

式中：S={S1,S2,…,Sk}為所有樣布輸入數(shù)據(jù)的集合，Si是S中的一個子集，由一個或多個樣本輸入數(shù)據(jù)組成；ci為Si中所有輸入數(shù)據(jù)的均值.采用線性回歸法計算RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重，其公式為

(12)

式中：β為權(quán)重；ytr為樣本標(biāo)簽(即真實值)；yNN為訓(xùn)練時RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值.

2.3 深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每層之間都由權(quán)重和偏差相連，并通過激活函數(shù)傳遞到下一層，其隱含層層數(shù)可以是多層的，如圖4所示.在以往的文獻(xiàn)中，大部分BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層一般不超過3層，導(dǎo)致其泛化能力不強(qiáng).由于當(dāng)時算法的限制，若隱含層層數(shù)較多，可能會出現(xiàn)梯度爆炸或者梯度消散的現(xiàn)象.而且當(dāng)時的硬件水平較為落后，增加隱含層層數(shù)意味著需要調(diào)節(jié)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)增多，一般的計算機(jī)很難承擔(dān)起如此龐大的運(yùn)算工作.如今神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)飛速發(fā)展，計算機(jī)硬件性能日益更新，使得訓(xùn)練基于大數(shù)據(jù)的深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為可能.

圖4 深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Deep BP neural network

2.3.1激活函數(shù) 選取的激活函數(shù)有兩種，一種是tanh函數(shù)，其能夠使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的非線性模擬能力；另一種是elu函數(shù)，其可以較好地緩解梯度消散的問題.其公式如下：

式中：p為預(yù)激活值；ε為可調(diào)參數(shù).隱含層神經(jīng)元采用的是tanh激活函數(shù)，輸出層神經(jīng)元采用的是elu激活函數(shù).

2.3.2優(yōu)化算法 經(jīng)驗性結(jié)果證明，Adam算法在實踐中具有良好的性能，與其他隨機(jī)優(yōu)化算法相比具有較大的優(yōu)勢[17].因此，采用Adam算法優(yōu)化梯度下降法，用于調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，其公式如下：

(15)

φt=ι1φt-1+(1-ι1)gt

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

2.3.3代價函數(shù) 代價函數(shù)為均方差(MSE)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠很好地估計有限樣本的后驗概率.對于深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用MSE作為其代價函數(shù)，其表達(dá)式為

(21)

3 結(jié)果和討論

分別利用深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測層狀周期結(jié)構(gòu)的能量傳輸譜.考慮單參數(shù)、雙參數(shù)和三參數(shù)變化的3種情況.單參數(shù)預(yù)測考慮填充比變化；雙參數(shù)預(yù)測考慮切變模量比和密度比變化；三參數(shù)預(yù)測同時考慮填充比、切變模量比和密度比的變化.

對于預(yù)測精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與真實值(即標(biāo)簽)中每個點(diǎn)的平均絕對誤差的絕對值，即

(22)

3種情況下訓(xùn)練深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時代價函數(shù)的收斂曲線如圖5所示，其中Q為迭代次數(shù).從圖5中可以看出，3種情況下代價函數(shù)均收斂到了較小的值，由于對代價函數(shù)的數(shù)值取了對數(shù)，所以及其微小的變化也會使圖中的收斂曲線顯示出較大的振蕩，這說明深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于訓(xùn)練集的學(xué)習(xí)效果較好.

圖5 3種情況下深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代價函數(shù)的收斂曲線Fig.5 Convergence curves of cost function for deep BP neural networks under three conditions

3.1 單參數(shù)變化

單參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓(xùn)練集 I 和測試集 I 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為“1-15-100”，其中，“1”為輸入層的維度，“15”為隱含層神經(jīng)元的數(shù)目，“100”為輸出層神經(jīng)元的數(shù)目；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為“1-100-60-30-20-60-100”，其中，“1”為輸入層的維度，最后一個“100”為輸出層神經(jīng)元的數(shù)目，其他數(shù)字表示相應(yīng)隱含層神經(jīng)元的數(shù)目.測試集Ⅰ中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與真實值(標(biāo)簽)的對比如圖6所示.由圖6可知，僅10組樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練的深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得了較滿意的預(yù)測結(jié)果，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值與真實值的吻合度較高且精度相近.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差分別為0.39、0.48和0.58；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差分別為0.36、0.47和0.59.兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測一組數(shù)據(jù)所需時間約為2 ms.

圖6 能量傳輸譜預(yù)測值與真實值對比(3個測試樣本) Fig.6 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (3 test samples)

3.2 雙參數(shù)變化

雙參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓(xùn)練集 II 和測試集 II 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為“2-100-100”；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為“2-100-60-30-20-60-100”.測試集 II 中4組神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果與真實值的對比如圖7所示.從圖7中可以看出，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度都很高，尤其是衰減域頻率范圍和低頻區(qū)能量傳遞系數(shù)與真實值吻合得很好，僅圖7(d)中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果稍偏離了真實值.測試集中兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差的統(tǒng)計圖如圖8所示.其中：J為樣本數(shù).由圖8可知，深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果更好.

圖7 能量傳輸譜預(yù)測值與真實值對比(30個測試樣本中的4組)Fig.7 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (4 groups out of 30 test samples)

圖8 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值的誤差統(tǒng)計(30個測試樣本)Fig.8 Error statistics for two neural network predictions (30 test samples)

3.3 三參數(shù)變化

三參數(shù)變化時，數(shù)據(jù)集由訓(xùn)練集 III 和測試集 III 組成.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為“3-1 000-100”；深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為“3-300-100-80-80-80-80-60-60-60-60-100”，共10個隱含層.測試集 III 中4組神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果與真實值的對比如圖9所示.從圖9中的4組結(jié)果可以看出，深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值與真實值吻合得較好，但是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)了極大的偏離.測試集中兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差的統(tǒng)計圖如圖10所示.從圖10中可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度極不穩(wěn)定，300組測試樣本中接近一半的預(yù)測結(jié)果誤差大于0.50，其中最大誤差達(dá)到18.35；而深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)依然發(fā)揮著很好的性能，最大誤差僅為0.33，90%的樣本誤差落在(0.14，0.26).

圖9 能量傳輸譜預(yù)測值與真實值對比(300個測試樣本中的4組)Fig.9 Comparison of predicted values of energy transmission spectrum with real values (4 groups out of 300 test samples)

圖10 兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值的誤差統(tǒng)計(300個測試樣本)Fig.10 Error statistics for two neural network predictions (300 test samples)

4 結(jié)語

通過構(gòu)建深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)了層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的精準(zhǔn)預(yù)測，分別考慮了幾何參數(shù)和物理參數(shù)單獨(dú)變化及同時變化3種情況并與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了對比.研究結(jié)果表明：當(dāng)僅考慮填充比變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度較高，且性能相近；當(dāng)考慮切變模量比和密度比同時變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果都較好，但深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能更優(yōu)；當(dāng)同時考慮填充比、切變模量比和密度比變化時，兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)差異很大.深層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測精度高且性能穩(wěn)定，預(yù)測誤差范圍為0.10～0.34；而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度極不穩(wěn)定，其測試集樣本的預(yù)測誤差范圍為0.10～18.35，其中接近一半的誤差超過0.50.

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)周期結(jié)構(gòu)的正向預(yù)測是實現(xiàn)其反向設(shè)計的前提.傳統(tǒng)的周期結(jié)構(gòu)反向設(shè)計的方法是將機(jī)器學(xué)習(xí)與解析法或數(shù)值法結(jié)合，比如遺傳算法結(jié)合有限元法.由于解析法和數(shù)值法計算較慢，采用以上方法設(shè)計一個周期結(jié)構(gòu)所需的時間較長.若用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代解析法或數(shù)值法，即可以結(jié)合遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助計算遺傳算法中個體的適應(yīng)度，這將能省去大量的計算時間.

通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了層狀周期結(jié)構(gòu)能量傳輸譜的智能預(yù)測，對于不同的幾何參數(shù)和物理參數(shù)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均可以快速、準(zhǔn)確地預(yù)測出衰減域的頻率范圍及衰減幅度，避免了大量經(jīng)驗性嘗試所帶來的計算資源消耗.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測可以作為周期結(jié)構(gòu)設(shè)計的一種輔助工具，在快速準(zhǔn)確地預(yù)測出結(jié)構(gòu)傳輸譜的基礎(chǔ)上，針對環(huán)境振動或地震動領(lǐng)域減隔振問題需求，結(jié)合遺傳算法或其他方法能夠快速找到符合設(shè)計要求的結(jié)構(gòu)，對于減振分析及設(shè)計具有重要的意義.對于層狀周期結(jié)構(gòu)傳輸譜的成功預(yù)測也為二維和三維周期結(jié)構(gòu)分析以及周期結(jié)構(gòu)的智能反向設(shè)計提供了參考.