蔣守成

摘要：數(shù)學教學可在常規(guī)的教材知識點教學及單元復習的基礎上，利用“主題創(chuàng)新活動”，引導學生綜合運用已有的知識、經(jīng)驗，持續(xù)、深入地探究一些與數(shù)學知識、生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的，具有一定的復雜性和挑戰(zhàn)性的問題，從而豐富數(shù)學學科的育人資源，拓展數(shù)學學科的育人樣式，充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值。在教學中，具體通過整合教材零散知識、拓展教材已有方法、選取數(shù)學經(jīng)典問題、發(fā)掘現(xiàn)實生活問題等途徑，找到合適的主題（問題），開展主題創(chuàng)新活動。

關鍵詞：小學數(shù)學;主題創(chuàng)新活動;經(jīng)典問題;生活問題

數(shù)學教育說到底是為了學生的發(fā)展，即以育人為目的;即使是為了知識的掌握，最終也還是要指向?qū)W生，而不是直接指向知識本身。為此，我們在常規(guī)的教材知識點教學及單元復習的基礎上，利用“主題創(chuàng)新活動”，豐富數(shù)學學科的育人資源，拓展數(shù)學學科的育人樣式，充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值。所謂“主題創(chuàng)新活動”，是指綜合運用已有的知識、經(jīng)驗，持續(xù)、深入地探究一些與數(shù)學知識、生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的，具有一定的復雜性和挑戰(zhàn)性的問題，從而獲得自我見解，積累活動經(jīng)驗，形成良好的學習品質(zhì)，發(fā)展“帶得走”的核心素養(yǎng)（比如：充滿好奇心，能敏銳地發(fā)現(xiàn)問題;有強烈的質(zhì)疑精神，敢于提出問題;有獨到的思維方式以及創(chuàng)新的思維習慣;有堅持不懈的探究精神;等等）的數(shù)學學習活動。

找到合適的主題（問題），是開展“主題創(chuàng)新活動”的先決條件。在教學中，我們嘗試基于學生已有的知識和經(jīng)驗，激活“凝固”的教材內(nèi)容，尋找合適的主題（問題）。具體途徑如下：

一、整合教材零散知識

現(xiàn)行的各版本小學數(shù)學教材采取螺旋上升式安排，把相關的單元安排在不同的分冊中。同時，教材中的單元劃分是固定的，只能基于一個主題下知識（內(nèi)容）之間的關聯(lián)，而數(shù)學知識（內(nèi)容）之間的關聯(lián)是豐富多樣的，這就給了教師重新選擇主題劃分單元的巨大空間——華羅庚先生說過：“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種很好的學習方法?！币虼?，我們根據(jù)“另一條線索”關聯(lián)整合教材中的零散知識（內(nèi)容），形成一定的活動主題（探究問題），引導學生展開主題創(chuàng)新活動，探究知識的來龍去脈，明晰知識的聯(lián)系與區(qū)別，構建清晰的知識體系，發(fā)展結(jié)構化、系統(tǒng)化思維。

例如，學習了小學數(shù)學中平面圖形面積計算的有關知識后，學生通常會形成由長方形（正方形）面積公式推導平行四邊形面積公式，再由平行四邊形面積公式推導三角形面積公式和梯形面積公式，最后由長方形面積公式推導圓面積公式的一種結(jié)構化表達。這是教材編排體現(xiàn)出的知識結(jié)構，但僅認識到這種線性的、單向的結(jié)構，顯然是不夠的。因此，我們設計了主題創(chuàng)新活動“平面圖形面積的再認識”，幫助學生貫通平面圖形面積之間的內(nèi)在關聯(lián)。

教學中，教師提供素材引導學生分組研究發(fā)現(xiàn)，三角形還可以轉(zhuǎn)化成長方形（如圖1所示），梯形還可以轉(zhuǎn)化成長方形（如圖2所示），圓還可以近似轉(zhuǎn)化成三角形、梯形（如圖3所示）。由此，幫助學生建立平面圖形的面積計算之間更為廣泛的聯(lián)系，形成如圖4所示的結(jié)構化表達。

再如，學習了小學數(shù)學中圓的有關知識后，學生對有關圓的問題正確率很高，但是對有關半圓的問題錯誤率居高不下。究其原因，是學生對半圓與圓的關系認識不到位。對此，我們設計了主題創(chuàng)新活動“圓與扇形”，幫助學生貫通圓、半圓、扇形之間的內(nèi)在關聯(lián)。這一活動分為以下四個環(huán)節(jié)：

1.教師請學生畫一個半徑為2厘米的半圓，說一說它有什么特征。得到：半圓是由一條直徑和半圓弧組成的圖形，是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。

2.教師請學生求出自己畫的半圓的周長和面積，說一說求的方法，讓學生形成求半圓的周長、面積的一般方法，同時在比較中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的區(qū)別。然后，引導學生拓展探究半個半圓（即四分之一圓）的周長和面積、八分之一圓的周長和面積、一般扇形的周長和面積。

3.教師引導學生研究長方形和其中最大半圓的關系：在一個長為a、寬為b的長方形中畫一個最大的半圓，半圓的周長和面積取決于長方形的長還是寬？得到如圖5所示的結(jié)果。

4.教師引導學生解決有關半圓形跑道、養(yǎng)雞場等的實際問題。

又如，蘇教版小學數(shù)學二年級下冊《角的初步認識》單元的一個《動手做》欄目要求學生用三角板拼直角、銳角和鈍角，三年級上冊《長方形和正方形》單元的一道練習題要求學生用三角板拼長方形和正方形，四年級上冊《垂線與平行線》單元的一個《動手做》欄目要求學生用三角板拼畫不同度數(shù)的角，六年級上冊《分數(shù)除法》單元的一道練習題要求學生測量、計算三角板上30°角所對的直角邊和斜邊的比值。因此，我們設計了主題創(chuàng)新活動“探究三角板的奧秘”，將教材中零散的與三角板相關的問題統(tǒng)整起來，引導學生發(fā)現(xiàn)三角板如此設計的本質(zhì)原因，溝通角、邊、面積之間的內(nèi)在關系，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，實現(xiàn)對數(shù)學知識的融合。

此外，還可以整合與生活現(xiàn)實密切相關的數(shù)學知識（問題），形成活動主題。例如，整合有關利息、納稅、促銷等的知識與問題，形成“理財中的數(shù)學”這一活動主題。

二、拓展教材已有方法

很多數(shù)學知識，如計算法則、公式等，具有方法性——能夠解決相應的問題。在常規(guī)的教材知識點教學中，學生通常只會學習一些比較基本或現(xiàn)代常用的方法。然而，從問題解決（目標）的角度看，方法應該是多樣的并且往往蘊含著相同的本質(zhì)。認識并比較多樣的方法，有助于提升思維的靈活性和深刻性。因此，我們基于問題解決（目標）拓展教材中的已有方法，形成一定的活動主題（探究問題），引導學生展開主題創(chuàng)新活動。

例如，學習了蘇教版小學數(shù)學三年級下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》單元后，學生提問：我們學習的乘法豎式是從低位乘起的，那么，乘法計算可以從高位乘起嗎？于是，我們設計了主題創(chuàng)新活動“乘法計算方法新探”，介紹了我國古老的算籌方法、我國明代的“鋪地錦”方法、15世紀意大利的“格子乘法”、古印度的從高位算起方法、我國臺灣的“視窗”方法等。這一活動打破了學生對乘法計算方法的固有認知，讓學生經(jīng)歷從舉一反三到“舉三返一”的探索過程，既深刻體驗乘法計算方法歷史演變的優(yōu)化過程（如圖6所示），又充分理解乘法計算方法歷史演變中不變的算理本質(zhì)（明確各部分計算結(jié)果的數(shù)位所在——計數(shù)單位）。由此，還引發(fā)了學生對加法、減法和除法計算方法的思考和探究，如：加、減法一定要從低位算起嗎？除法一定要從高位算起嗎？從而發(fā)現(xiàn)算法背后更為本質(zhì)的算理的價值，全面提升運算能力。

又如，教學完“十進制”后，我們設計了主題創(chuàng)新活動“數(shù)學中不同的進制”，引導學生認識二進制、五進制、八進制、十二進制、六十進制，讓學生明白一個數(shù)可以用不同的進制系統(tǒng)來表示，雖然呈現(xiàn)的樣式不同，但是數(shù)的大小是不變的，不同的進制各有一些優(yōu)點和缺點，各有一些應用。

三、選取數(shù)學經(jīng)典問題

數(shù)學經(jīng)典問題蘊含著深厚的研究歷程以及數(shù)學思想方法，牽連著廣泛的應用變化以及數(shù)學知識結(jié)構，因此，是非常有價值的探究主題?，F(xiàn)行的各版本小學數(shù)學教材通過《你知道嗎》《數(shù)學廣角》等欄目呈現(xiàn)了一些數(shù)學經(jīng)典問題，如“哥德巴赫猜想”“楊輝三角”“鴿巢問題”“哥尼斯堡七橋問題”等。我們以此為基礎，并基于學生已有的知識和經(jīng)驗，選取更多的數(shù)學經(jīng)典問題。由此，重點針對小學高年級學生組織主題創(chuàng)新活動，引導他們經(jīng)歷和數(shù)學家相似的研究歷程，感受探索真理的艱辛，提升理性思維和批判性思維，培養(yǎng)獨立思考、自由探索的品質(zhì)。

例如，基于“哥尼斯堡七橋問題”，我們組織了主題創(chuàng)新活動，引導六年級學生經(jīng)歷和數(shù)學家歐拉相似的研究過程，將復雜的、有挑戰(zhàn)的生活問題抽象成數(shù)學問題，即將七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題來研究。具體的活動內(nèi)容如下：

提問：（出示圖10）這是當年普萊格爾河的地圖，從任意一個河岸或島嶼出發(fā)，能否不重復地一次走遍這七座橋呢？請同學們拿出學習單1，用鉛筆嘗試著在圖中畫一畫，然后在小組中分享你的發(fā)現(xiàn)。

分享：不管怎么走，總有一座橋沒有走到;要保證全部走到，必須再架一座橋。

追問：再架一座橋，要架在哪里？這時，又該怎么走呢？請同學們拿出學習單2，用不同顏色的筆畫出增加的橋和行走的路線，并在小組內(nèi)交流。

交流：我們發(fā)現(xiàn)，雖然架橋的位置不同，但是都能不重復地一次走遍這八座橋。我們覺得，能否一次走遍所有的橋，可能和橋的數(shù)量有關。

簡化：隨著橋的數(shù)量的增加，畫圖解決就太復雜了，其實，能否走通和島的大小、岸的長短、橋的長短沒有關系。請同學們想辦法把七橋圖變得更簡單，從而更方便思考。小組合作畫出簡化圖。

匯報：（出示圖11）我們把七橋問題中的A、B、C、D四個區(qū)域不斷縮小，最后用4個點來表示，而圖中的七座橋用7條線來表示，這樣就把情境圖抽象成數(shù)學圖了。

評價：當年歐拉也和同學們有著相同的想法，通過圖形簡化把能否不重復地一次走遍這些橋轉(zhuǎn)化成能否不重復地一筆畫出這個圖形。

四、發(fā)掘現(xiàn)實生活問題

數(shù)學具有廣泛的應用性?，F(xiàn)實生活中的很多問題，都蘊含著或者要用到數(shù)學知識和方法。這樣的問題可以激發(fā)學生的研究興趣，增強學生的數(shù)學應用意識以及社會責任感。因此，我們努力尋找學生能理解、能解決（至少是部分解決）的具有一定的復雜性和挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實生活問題，如常見的“住房面積有多大？”“汽車牌照中的數(shù)學原理”等問題、熱點的“新冠肺炎疫情”“神舟飛船”等問題，設計主題創(chuàng)新活動，帶領學生走向更廣闊的數(shù)學世界，從數(shù)學的角度、用數(shù)學的知識和方法研究跨學科的現(xiàn)實生活問題。

例如，教學《圓環(huán)的面積》一課，學生對作為學具的膠帶紙表現(xiàn)出了濃厚的興趣，提出了“膠帶紙有多長？”的問題。我們便抓住這個問題，組織主題創(chuàng)新活動。對此，學生首先想到了最簡單的方法——將卷著的膠帶紙展開后直接測量長度（受測量工具限制，要分段測量后求和），并實際測量了一卷膠帶紙的長度，得到結(jié)果約為18.3米。對這一方法，教師引導學生認識到優(yōu)點是簡單準確，缺點是浪費膠帶紙，進而思考：如何在不展開的情況下，知道一卷膠帶紙的長度？對這個問題，學生討論發(fā)現(xiàn)：展開的膠帶紙的側(cè)面可以看成長為膠帶紙長度、寬為膠帶紙厚度的長方形，卷著的膠帶紙的側(cè)面是一個圓環(huán)，因此，可以測量相關數(shù)據(jù)，通過圓環(huán)的面積等于長方形的面積算出膠帶紙的長度。于是，教師引導學生思考如何測量一層膠帶紙的厚度，得到先測量多層再除以層數(shù)的方法。由此，學生實際測量出圓環(huán)大圓的半徑約為2.3厘米，小圓的半徑約為1.7厘米，一層膠帶紙的厚度約為0004厘米，然后通過“大圓的面積-小圓的面積=膠帶紙的長度×膠帶紙的厚度”算出膠帶紙的長度約為18.84米。經(jīng)歷了方法優(yōu)化的過程，又有學生想到查找包裝袋上的信息，看看有沒有標明膠帶紙的長度。實際查找中，學生發(fā)現(xiàn)了“18 mm×20 yd×40 μm”的規(guī)格信息。經(jīng)過分析，學生得出：18 mm表示膠帶紙的寬度是18毫米，40 μm表示膠帶紙的厚度是40微米，20 yd表示膠帶紙的長度是20碼，即20×0.9144=18.288（米）。最后，教師引導學生比較由各種方法得到的結(jié)果，說一說自己的發(fā)現(xiàn)。學生認識到：測量總會存在誤差，我們要精益求精，減少誤差。在這一主題創(chuàng)新活動中，學生重點經(jīng)歷了通過數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析來解決實際問題的過程，提升了實踐創(chuàng)新能力。

再如，超市是學生在生活中常見、常去的地方，我們設計了主題創(chuàng)新活動“超市建在哪兒？”，引導六年級學生討論解決以下問題：

金壇區(qū)西城街道的碧桂園和新城金郡是兩個新開發(fā)的小區(qū)，中間相隔一條1200米長的街道?？紤]到周邊沒有一家超市，某連鎖超市的老板準備在這條街道上建一家超市。如果你是老板，你打算把超市建在哪里？

在教師的引導下，經(jīng)過討論，學生形成以下觀點：

1.考慮距離因素，把超市建在街道的中點，到兩個小區(qū)的距離一樣。

2.考慮人口因素，哪個小區(qū)人多，超市就應該向哪個小區(qū)靠近一點。

3.考慮消費水平，哪個小區(qū)消費水平高，超市就應該向哪個小區(qū)靠近一點。

對此，教師讓學生分成三個小組，設計活動方案，通過訪問調(diào)查、查閱資料等方式了解情況、收集數(shù)據(jù)，來驗證或說明自己的觀點。

在最后的匯報分享中，學生充分闡述了自己的見解。雖然對超市究竟建在哪兒，沒有形成統(tǒng)一的結(jié)論，但是，“真實的數(shù)據(jù)是決策的重要依據(jù)或參考”“越精準、越有效的數(shù)據(jù)越有可能幫助我們形成科學、合理的決策”等觀念已經(jīng)在學生的心間悄悄播下了種子。

這里特別需要說明的是，通過上述四種途徑尋找合適的主題（問題）時，既可以以教師為主體，也可以以學生為主體。實際上，學生在日常的學習和生活中總會產(chǎn)生一些教師預想不到甚至有些天馬行空的主題，而這些主題往往更加鮮活，更能激發(fā)學生學習、探究的興趣。教師要敏銳地捕捉學生的想法，從而確定主題創(chuàng)新活動的內(nèi)容。比如，上述主題創(chuàng)新活動“乘法計算方法新探”和“膠帶紙有多長？”的主題（問題）便間接或直接地來自學生。

最后需要指出的是，在主題創(chuàng)新活動中，問題的探究對學生來說往往有一定的難度，因此，教師需要做到“三不”：不急于指導，而給予學生探究的空間;不過分追求效率，而重視學生經(jīng)驗的累積;不過分強調(diào)學生的收獲，而更多關注學生能否提出自己的見解、檢驗自己的想法，能否嘗試綜合運用數(shù)學知識和方法。

總之，通過12年的研究，“主題創(chuàng)新活動”已經(jīng)成為江蘇省數(shù)學主題拓展課程基地的一種鮮活教學樣態(tài)，連接了兒童數(shù)學學習的當下和未來。