王 博， 郭書(shū)東， 傅安瑞

(南京大學(xué) 工程管理學(xué)院， 江蘇 南京 210093)

一、引 言

投資組合問(wèn)題一直以來(lái)都是金融界關(guān)注的焦點(diǎn)，其主要研究如何將資本分配到一系列證券上，從而實(shí)現(xiàn)高收益并降低風(fēng)險(xiǎn)。例如：在收益率一定的情況下，如何將投資風(fēng)險(xiǎn)最小化，或是在可承受的風(fēng)險(xiǎn)范圍內(nèi)，如何實(shí)現(xiàn)收益最大化。然而，金融市場(chǎng)的復(fù)雜性和波動(dòng)性使得證券的未來(lái)收益具有極強(qiáng)的不確定性且難以被精確預(yù)測(cè)，這大大增加了投資者對(duì)投資收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估的難度。

目前，研究人員主要采用概率或隸屬度分布、區(qū)間以及場(chǎng)景表示等方法來(lái)對(duì)證券未來(lái)收益的不確定性進(jìn)行描述。此外，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)一般可分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)主要由市場(chǎng)因素引起，屬于外部風(fēng)險(xiǎn)，難以通過(guò)分散投資來(lái)降低。因此，在早期研究中，學(xué)者們更多關(guān)注的是對(duì)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的度量，常用的評(píng)估方法包括方差、絕對(duì)離差、熵等。近年來(lái)，隨著研究的深入，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk，VaR)和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value-at-Risk，CVaR)等先后被提出，從而較好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的度量。

基于對(duì)未來(lái)收益的預(yù)測(cè)和對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估，研究人員建立了相應(yīng)的投資組合優(yōu)化模型，并對(duì)求解方法展開(kāi)了廣泛的研究。投資組合模型通常具有高維、非凸、非線性等特征，屬于典型的NP-hard問(wèn)題。傳統(tǒng)的求解算法包括分支定界法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法以及優(yōu)先級(jí)列表法等。上述方法雖然便于實(shí)現(xiàn)，但是存在數(shù)學(xué)推導(dǎo)繁瑣和難以求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題等不足。

近年來(lái)，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)及人工智能的飛速發(fā)展為投資組合問(wèn)題的研究提供了新思路和技術(shù)支持?，F(xiàn)有文獻(xiàn)表明，利用大數(shù)據(jù)和深度學(xué)習(xí)算法對(duì)證券收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，并采用智能算法對(duì)模型進(jìn)行求解均具有良好成效。

基于上述背景，本文首先采用生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Networks，GAN)對(duì)多個(gè)證券收益率可能出現(xiàn)的場(chǎng)景進(jìn)行預(yù)測(cè)，隨后建立相應(yīng)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并對(duì)求解算法進(jìn)行改進(jìn)。本文研究框架設(shè)計(jì)如下：第二部分介紹投資組合問(wèn)題的研究背景，并對(duì)國(guó)內(nèi)外關(guān)于證券收益不確定性的表示方法、投資風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)方法以及模型的構(gòu)建與求解算法等進(jìn)行回顧；第三部分對(duì)GAN和VaR的基本概念進(jìn)行介紹，并建立相應(yīng)的多目標(biāo)投資組合模型；第四部分對(duì)已有的多目標(biāo)遺傳算法(Non-Dominated Sorted Genetic Algorithm-II，NSGA-II)進(jìn)行改進(jìn)，從而對(duì)模型進(jìn)行高效求解；第五部分通過(guò)真實(shí)案例驗(yàn)證所提方法的有效性；最后，第六部分對(duì)本文研究進(jìn)行總結(jié)和展望。

二、文獻(xiàn)綜述與本文研究

(一)證券收益不確定性描述及投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)方法

1.基于隨機(jī)變量、模糊變量的投資組合

1952年，Markowitz(1999)首次提出現(xiàn)代投資組合理論，其對(duì)證券資產(chǎn)的選擇分為如下兩個(gè)階段：第一階段，基于可選證券過(guò)去的表現(xiàn)及投資者的自身經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行證券價(jià)格未來(lái)走勢(shì)的預(yù)測(cè)；第二階段，基于走勢(shì)預(yù)測(cè)，開(kāi)展投資組合優(yōu)化并作出決策。當(dāng)已經(jīng)獲得可選證券集合的期望收益及方差時(shí)，理想的投資組合決策應(yīng)使得投資期望均值最大且方差最小。[1]Fried(1970)對(duì)投資組合模型中證券資產(chǎn)的收益均值及方差給出了更具體的定義，為均值—方差模型的廣泛使用提供了更扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。[2]Davis和Norman(1990)在投資模型中引入交易成本，并假設(shè)銀行存款利率為定值、證券價(jià)格服從正態(tài)分布，在此背景下尋求最優(yōu)投資策略。案例分析證明在交易費(fèi)率為定值的情況下，最優(yōu)買賣策略正比于V型區(qū)域邊界下的非線性無(wú)界問(wèn)題的最優(yōu)解。[3]

相較于基于出現(xiàn)頻率的概率分布模型，Tanaka(1995)研究了基于可能性多元分析的投資組合模型。[4]可能性多元分析包括可能性回歸分析、可能性判別分析和可能性投資組合?；趯＜覍?duì)于證券給出的重要性等級(jí)數(shù)據(jù)，Tanaka等(1995)證明了在投資組合的實(shí)際應(yīng)用中，可能性分布模型比概率分布模型具有更優(yōu)異的預(yù)測(cè)性。此外，Tanaka等進(jìn)一步結(jié)合專家經(jīng)驗(yàn)與證券收益的概率分布來(lái)定義證券的重要性等級(jí)，并證明了可能性分布模型具有更好的投資組合表現(xiàn)。[5]在此基礎(chǔ)上，考慮到投資者需要權(quán)衡眾多因素才能作出投資決策，而其中的一部分因素可能是模糊不清、難以用概率理論來(lái)解釋的，因此，Chu等(1996)引入模糊變量建立了投資組合模型[6]。近期，Wang等(2011)采用模糊風(fēng)險(xiǎn)值理論(Fuzzy VaR)作為投資風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，并建立了相應(yīng)的模糊投資組合模型。本文基于實(shí)際情況，將投資者分為兩類：保守型與風(fēng)險(xiǎn)偏好型。針對(duì)保守型投資者，設(shè)定VaR閾值，在VaR不超過(guò)閾值的情況下，盡可能追求期望收益的最大化；針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者，在設(shè)定最低投資期望收益率的前提下，盡可能最小化VaR。當(dāng)假定可選證券為模糊變量后，即可根據(jù)其隸屬度函數(shù)獲取VaR值及期望收益率。實(shí)驗(yàn)證明，基于模糊VaR的投資組合模型更易被一般投資者所接受。[7]

2.基于區(qū)間變量的投資組合

在基于隨機(jī)變量或模糊變量的投資組合中，一方面證券的概率或者隸屬度分布有時(shí)難以精確獲取，另一方面，證券的未來(lái)收益未必完全服從某個(gè)固定的分布。因此，部分學(xué)者也開(kāi)展了基于區(qū)間預(yù)測(cè)的投資組合研究。Giove等(2006)在投資組合模型中引入了含區(qū)間變量的回歸函數(shù)，通過(guò)最小化回歸函數(shù)使得投資組合模型達(dá)到最優(yōu)投資表現(xiàn)?；貧w函數(shù)不僅具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)可推導(dǎo)性，而且具有較好的泛化能力，可應(yīng)用于多種投資組合模型中。實(shí)驗(yàn)證明，在理想條件下，區(qū)間投資組合可在不顯著增加計(jì)算復(fù)雜度的前提下，解決含大規(guī)模證券的投資組合問(wèn)題。[8]Bhattacharyya等(2011)采用模糊集(Fuzzy Sets)中的區(qū)間數(shù)將均值—方差模型擴(kuò)展為均值—方差—傾斜度投資組合模型，并且將交易成本納入模型之中，同時(shí)，Bhattacharyya等(2011)在模型中引入了短期回報(bào)、長(zhǎng)期回報(bào)、資產(chǎn)流動(dòng)性、紅利、證券資產(chǎn)數(shù)量等約束指標(biāo)，并提出了樂(lè)觀型、悲觀型及中立型投資組合模型，隨后采用遺傳算法來(lái)求解模型，最終證明了基于區(qū)間變量的投資組合模型具有更優(yōu)異的投資表現(xiàn)。[9]此外，融入上述約束指標(biāo)能夠使得理論模型更貼近現(xiàn)實(shí)。Mohagheghi等(2015)將投資回報(bào)的凈現(xiàn)金流定義為模糊區(qū)間數(shù)，提出了一種新的投資組合模型。概括而言，該模型通過(guò)定義模糊區(qū)間風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)、回報(bào)指數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)—回報(bào)復(fù)合指數(shù)來(lái)對(duì)投資方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)?；谡鎸?shí)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法具有較高的投資回報(bào)。[10]

3.基于場(chǎng)景生成的投資組合

一般而言，隨機(jī)優(yōu)化是求解含不確定信息的組合優(yōu)化類問(wèn)題的重要手段。在上述基于隨機(jī)變量、模糊變量及區(qū)間預(yù)測(cè)的投資組合研究中，不確定性描述多以微積分形式存在，難以被隨機(jī)優(yōu)化直接利用，而要采用隨機(jī)優(yōu)化方法對(duì)投資組合問(wèn)題進(jìn)行求解，就需具備關(guān)于證券未來(lái)收益的一系列有效的場(chǎng)景信息。因此，有學(xué)者對(duì)隨機(jī)變量或區(qū)間變量進(jìn)行抽樣組合，形成海量場(chǎng)景。然而，這類方法往往忽略了多個(gè)證券收益之間的相關(guān)性，最終導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不佳。針對(duì)上述問(wèn)題，通過(guò)使用場(chǎng)景生成技術(shù)來(lái)直接產(chǎn)生未來(lái)多個(gè)證券組合場(chǎng)景的方法逐漸受到關(guān)注。

1971年，Bradley和Crane(1972)首先解釋了場(chǎng)景生成技術(shù)在金融領(lǐng)域的適用性。[11]不久，Mulvey和Vladimirou(1992)在資產(chǎn)配置方面也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。[12]1996年，Nielsen和Zenios(1996)使用場(chǎng)景生成技術(shù)來(lái)進(jìn)行固定收益投資組合管理。[13]隨后，Consiglio等(2001)將這些技術(shù)推廣至保險(xiǎn)行業(yè)。[14]至此，場(chǎng)景生成技術(shù)開(kāi)始廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域。

20世紀(jì)末，Carino等(1994)提出基于歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法能夠簡(jiǎn)單、快速地生成場(chǎng)景，該方法不需要對(duì)收益率的分布函數(shù)做任何假設(shè)，也不需要計(jì)算證券之間的相關(guān)性，而是將它們隱含在市場(chǎng)觀察到的數(shù)據(jù)之中。[15]因其簡(jiǎn)便性，在之后的研究中，基于歷史數(shù)據(jù)的場(chǎng)景生成技術(shù)成為最常用的方法之一。然而，Carino等(1998)通過(guò)后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，僅利用歷史數(shù)據(jù)生成場(chǎng)景會(huì)存在未來(lái)與過(guò)去觀察到的價(jià)格走勢(shì)不同的問(wèn)題，而且可生成的場(chǎng)景數(shù)量也受到了可用歷史數(shù)據(jù)量的限制。[16]

針對(duì)上述不足，Yu(2002)提出了基于歷史數(shù)據(jù)的引導(dǎo)技術(shù)來(lái)分析證券收益之間的相關(guān)性。[17]隨后，Kouwenberg和Zenios(2008)也發(fā)現(xiàn)當(dāng)可用樣本數(shù)量相對(duì)較少，并且需要大量觀察值時(shí)，使用引導(dǎo)技術(shù)進(jìn)行場(chǎng)景生成的效果較優(yōu)。[18]類似的，為保證觀測(cè)的獨(dú)立性，Hall等(1995)提出了塊引導(dǎo)技術(shù)，[19]它是引導(dǎo)技術(shù)的變體，是在原有基礎(chǔ)上通過(guò)場(chǎng)景塊來(lái)保留各時(shí)段原始數(shù)據(jù)的相關(guān)性。其中，塊表示一系列連續(xù)的場(chǎng)景。引導(dǎo)和塊引導(dǎo)技術(shù)的優(yōu)勢(shì)在于不受系統(tǒng)選擇錯(cuò)誤的影響。然而，也有部分研究表明上述方法仍無(wú)法改變未來(lái)收益可能與過(guò)去所觀察到的數(shù)據(jù)存在較大差異的缺陷[20]。

為此，Levy(2003)將蒙特卡羅仿真技術(shù)運(yùn)用于投資組合領(lǐng)域。蒙特卡羅仿真是一種參數(shù)化的方法，利用給定的分布函數(shù)來(lái)生成場(chǎng)景。[21]在實(shí)際應(yīng)用中，多元正態(tài)分布是最常采用的分布函數(shù)。此外，Bollerslev等(1988)發(fā)現(xiàn)證券收益的時(shí)間序列具有波動(dòng)性集群效應(yīng)，因此，利用隨機(jī)過(guò)程可以較好地實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景生成。[22]其中，最常用的是廣義自回歸條件異方差模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，GARCH)，Ding和Engle(2001)將單變量GARCH隨機(jī)過(guò)程擴(kuò)展到多元，進(jìn)一步提升了場(chǎng)景生成的質(zhì)量[23]。

概括而言，在傳統(tǒng)的場(chǎng)景生成方面，常用方法包括引導(dǎo)技術(shù)、塊引導(dǎo)技術(shù)、蒙特卡羅仿真技術(shù)和GARCH等，其中，前兩種場(chǎng)景生成技術(shù)是非參數(shù)的，后兩種則需要對(duì)證券收益分布的參數(shù)進(jìn)行評(píng)估。非參數(shù)方法和參數(shù)方法的本質(zhì)區(qū)別在于前者生成的場(chǎng)景是由歷史數(shù)據(jù)決定的，而后者則需要對(duì)未來(lái)收益的分布函數(shù)進(jìn)行假設(shè)。非參數(shù)方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單、易于理解，但由于其嚴(yán)重依賴于某個(gè)給定的樣本，因此，很難推廣到其他樣本上。此外，如若樣本中的觀測(cè)值存在明顯偏差，那么非參數(shù)方法生成的場(chǎng)景也會(huì)相應(yīng)地出現(xiàn)較大偏差。相比之下，參數(shù)方法的不足在于其效果過(guò)分依賴于所選的分布函數(shù)，故而對(duì)分布函數(shù)和相關(guān)參數(shù)的選擇至關(guān)重要。

上述研究主要基于傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法，近年來(lái)深度學(xué)習(xí)技術(shù)(如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等)的出現(xiàn)和不斷發(fā)展為大量歷史數(shù)據(jù)的分析與處理提供了新思路。其中，Goodfellow等(2014)提出的生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)是近年來(lái)無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)中最具前景的方法之一[24]。GAN包括兩個(gè)模型：捕獲數(shù)據(jù)分布的生成器G以及評(píng)估樣本來(lái)自訓(xùn)練數(shù)據(jù)可能性的判斷器D。兩個(gè)模型之間是博弈對(duì)抗的關(guān)系：生成模型的目的是生成假樣本，企圖徹底騙過(guò)判斷模型；而判斷器通過(guò)學(xué)習(xí)真樣本和假樣本，提高自己的鑒別能力，使自己不被假樣本欺騙。兩個(gè)模型相互博弈學(xué)習(xí)，直到所生成的假樣本與真樣本很接近則停止訓(xùn)練。目前，GAN已被廣泛用于圖像、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域，一系列研究成果表明，GAN具備針對(duì)海量、高維歷史數(shù)據(jù)生成帶有時(shí)空關(guān)聯(lián)性場(chǎng)景的能力?？紤]到證券價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)同樣存在上述特征，因此，本文將采用GAN生成多個(gè)證券的價(jià)格和收益率場(chǎng)景，并在此基礎(chǔ)上開(kāi)展投資組合研究。

(二)投資組合模型與求解方法

1.單期投資組合

早期的投資組合主要通過(guò)自我主觀判斷與累積經(jīng)驗(yàn)來(lái)制定投資決策，這一狀況直至20世紀(jì)50年代才得到改善。Markowitz(1952)基于概率論，以均值和方差來(lái)分別表示某投資組合方案的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)值，提出了均值—方差投資組合模型。該模型首次將定量分析方法運(yùn)用到金融投資領(lǐng)域。[25]然而，在實(shí)際應(yīng)用中，采用均值—方差模型的前提是效用函數(shù)中的收益率需滿足正態(tài)分布，從而與期望效用理論相匹配，此外，當(dāng)涉及的投資組合問(wèn)題階數(shù)過(guò)高時(shí)，該模型的求解將上升到多次協(xié)方差矩陣，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)式增長(zhǎng)。同一時(shí)期，Roy(1952)提出了安全第一的投資組合模型，該模型在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平約束下，證明了投資者的最優(yōu)投資組合即為均值—方差模型的邊界。[26]

針對(duì)均值—方差模型中存在的不足，Sharpe(1963)提出了單指數(shù)模型，其假設(shè)投資組合中的各證券均是相互獨(dú)立的，且僅與市場(chǎng)相關(guān)，并在模型求解中利用對(duì)角線原則來(lái)簡(jiǎn)化非對(duì)角線矩陣元素，降低了均值—方差模型的計(jì)算復(fù)雜度。[27]類似的，為避免均值—方差模型求解復(fù)雜度較高這一問(wèn)題，Perold(1984)引入多因素工具來(lái)簡(jiǎn)化求解矩陣中的秩問(wèn)題，[28]而Konno和Suzuki(1992)也使用緊因子分解法對(duì)含大規(guī)模證券的投資組合模型進(jìn)行求解[29]。針對(duì)均值—方差投資組合模型中關(guān)于收益分布的假設(shè)問(wèn)題，徐緒松和侯成琪(2006)提出了非正態(tài)分布條件假設(shè)，引入以擬合優(yōu)度為驗(yàn)證指標(biāo)的均值—尺度參數(shù)投資組合模型。[30]近期，石珂琦(2015)在風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)CVaR的基礎(chǔ)上提出了GARCH模型來(lái)擬合投資方案的預(yù)測(cè)收益。[31]

2.多期投資組合

傳統(tǒng)的單期投資組合模型假設(shè)投資決策一旦制定便不再調(diào)整，直到該投資結(jié)束。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，固定的投資策略難以獲得較高的回報(bào)，因此，大多數(shù)投資者更加青睞于靈活的投資策略，以求提高投資收益。此外，采用多期投資組合的另一個(gè)重要原因在于投資者不會(huì)一成不變地執(zhí)行某個(gè)投資策略，而是會(huì)根據(jù)證券市場(chǎng)實(shí)際情況動(dòng)態(tài)改變投資策略。相比于單期投資組合模型，多期投資組合模型本質(zhì)上是基于不確定性動(dòng)態(tài)理論，投資者可以在每個(gè)周期階段調(diào)整投資策略來(lái)應(yīng)對(duì)證券市場(chǎng)的不確定性。在此背景下，多期投資組合受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。[32]

Mossin(1968)首先提出了利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法將單階段模型推廣到多階段，即多期投資組合。[33]但受限于模型求解技術(shù)，直至2000年，Li和NG(2000)通過(guò)嵌入式途徑得到了多階段均值—方差模型的最優(yōu)策略和有效前沿的解析表達(dá)式，從而使多階段投資組合模型的求解得到了突破。[34]近年來(lái)，Sun等(2016)提出了多期投資組合的極大、極小模型，并對(duì)其相關(guān)解析解進(jìn)行了研究。[35]針對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃策略問(wèn)題，Zhu等(2004)提出了廣義均值—方差模型，通過(guò)求解該模型來(lái)獲取最優(yōu)投資策略，即在控制相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)的前提下最大化期望收益。[36]類似的，Calafiore(2008)提出的具有控制策略的多期投資組合優(yōu)化模型，較好地解決了金融資產(chǎn)配置中的多周期序列問(wèn)題。[37]Wu和Li(2011)先后研究了具有狀態(tài)轉(zhuǎn)換和不確定退出時(shí)間的多期均值—方差投資組合問(wèn)題，[38]以及多期均值方差框架下非自籌資金的投資組合問(wèn)題[39]。近期，Liu和Chen(2018)為更好地描述動(dòng)態(tài)投資風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變特性和隨機(jī)收益過(guò)程的模糊性，提出了在制度轉(zhuǎn)換框架下的兩種多期魯棒風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，該測(cè)度基于區(qū)域動(dòng)態(tài)不確定性集合，為投資者提供了適應(yīng)市場(chǎng)環(huán)境變化的魯棒投資組合策略。[40]

3.多目標(biāo)投資組合

隨著建模技術(shù)的發(fā)展，多目標(biāo)投資組合優(yōu)化也逐漸受到了關(guān)注。從起源上來(lái)看，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto最早將涉及到多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題定義為多目標(biāo)優(yōu)化。該類優(yōu)化在管理學(xué)領(lǐng)域上被歸納為多目標(biāo)決策問(wèn)題，旨在通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型得到一系列互不支配的Pareto解。[41]針對(duì)多目標(biāo)模型的求解，Geoffrion(1968)提出了加權(quán)和法。[42]隨后，Haimes等(1971)通過(guò)保留單個(gè)目標(biāo)，并將其他目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件的方式來(lái)解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。[43]

以上求解思路主要是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)調(diào)整各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解。隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，進(jìn)化(智能)算法逐漸成為求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效手段之一。對(duì)進(jìn)化算法而言，近年來(lái)，遺傳算法、差分進(jìn)化算法、免疫算法、蟻群算法、模擬退火算法和粒子群算法逐漸出現(xiàn)并被廣泛用于求解眾多復(fù)雜非線性問(wèn)題。在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，Schaffer(1984)最早提出了基于向量的多目標(biāo)遺傳算法。[44]Doerner等(2004)采用蟻群算法對(duì)多目標(biāo)投資組合問(wèn)題進(jìn)行求解，其中，基于信息素和隨機(jī)權(quán)重的方法使得算法的計(jì)算效率得到了提升。[45]在此期間，NSGA、SPEA、NSGA-II、SPEA2也不斷地被提出，研究人員已在一系列多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上驗(yàn)證了各種算法的有效性。此外，為解決基于Pareto支配關(guān)系算法難以得到最優(yōu)結(jié)果的問(wèn)題，Qi等(2014)提出了基于自適應(yīng)權(quán)重的MOEA/D算法，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題分解成多個(gè)標(biāo)量?jī)?yōu)化子問(wèn)題，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)整體問(wèn)題的求解。[46]針對(duì)上述投資組合模型及求解方法的文獻(xiàn)分析，本文首先采用GAN進(jìn)行場(chǎng)景生成，通過(guò)訓(xùn)練GAN的生成器和判斷器，直接產(chǎn)生服從歷史數(shù)據(jù)分布的證券未來(lái)收益場(chǎng)景；隨后，利用風(fēng)險(xiǎn)值(VaR)來(lái)評(píng)估給定置信度水平下投資組合方案的最大損失值，并建立同時(shí)最大化期望收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)值的多目標(biāo)投資組合模型；最后，結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)策略對(duì)現(xiàn)有的NSGA-II算法進(jìn)行改進(jìn)，從而對(duì)模型進(jìn)行高效求解。

三、預(yù)備知識(shí)及數(shù)學(xué)模型

(一)基于GAN的證券未來(lái)收益率場(chǎng)景生成

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)是由Goodfellow(2014)首先提出的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它主要包括兩個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：生成器G和判別器D。[24]核心思想源自博弈論中的零和博弈：G通過(guò)學(xué)習(xí)真實(shí)數(shù)據(jù)的潛在分布來(lái)生成以假亂真的數(shù)據(jù)樣本，D也在不斷學(xué)習(xí)以提高自己分辨真?zhèn)蔚哪芰?。在整個(gè)訓(xùn)練過(guò)程中，G和D兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)交替更新自己的權(quán)重，通過(guò)不斷地迭代，最終使雙方達(dá)到納什平衡。

具體而言，生成器G的輸入可以是任意一種隨機(jī)分布z～Pz(z)(如高斯分布)，G的目標(biāo)是通過(guò)訓(xùn)練使該采樣輸入z的輸出G(z)盡可能逼近真實(shí)分布Pg(x)；相對(duì)應(yīng)的，判別器D的輸入數(shù)據(jù)來(lái)自真實(shí)數(shù)據(jù)x以及生成器生成的數(shù)據(jù)G(Z)。經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)層映射到標(biāo)量輸出D(·)，代表輸入數(shù)據(jù)服從真實(shí)分布的概率。G和D的損失函數(shù)分別定義如下：

LG= -Ez～Pz(z)[D(G(z))]，

(1)

LD= -Ex～Pg(x)[D(x)]+Ez～Pz(z)[D(G(z))]。

(2)

上述兩個(gè)損失函數(shù)可整合成以下統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)形式：

(3)

在訓(xùn)練開(kāi)始階段，判別器D能夠輕易分辨出輸入數(shù)據(jù)來(lái)自于哪一部分，但隨著網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗訓(xùn)練的不斷進(jìn)行，真實(shí)數(shù)據(jù)x和生成數(shù)據(jù)G(Z)之間的差異越來(lái)越小，最終使得D無(wú)法分辨出輸入數(shù)據(jù)的真?zhèn)危藭r(shí)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡狀態(tài)，表示訓(xùn)練過(guò)程完成。

另一方面，證券收益率場(chǎng)景是指多支證券在未來(lái)某一天的某項(xiàng)指標(biāo)(如收盤(pán)價(jià))不確定性關(guān)系的采樣近似表示，若能夠得到未來(lái)某時(shí)段內(nèi)的收益率場(chǎng)景，投資者據(jù)此便能制定出相應(yīng)的最優(yōu)投資組合策略，從而實(shí)現(xiàn)期望收益最大化，并規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。然而，在實(shí)際金融交易過(guò)程中，投資者往往無(wú)法準(zhǔn)確地對(duì)收益率場(chǎng)景的先驗(yàn)分布進(jìn)行有效估計(jì)，因此，傳統(tǒng)的基于概率分布抽樣的場(chǎng)景生成法難以應(yīng)用在分布未知的證券收益率場(chǎng)景生成任務(wù)之中。相比之下，GAN則能夠另辟蹊徑，借助深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)映射和模型泛化能力，不需要對(duì)收益率的分布進(jìn)行概率模型估計(jì)就能直接生成服從歷史數(shù)據(jù)分布的樣本，因此，針對(duì)這一優(yōu)勢(shì)，本文采用GAN生成若干數(shù)量的未來(lái)收益率場(chǎng)景，來(lái)對(duì)多支證券的收益不確定性進(jìn)行表示，從而為投資者提供有效的決策信息。值得注意的是，采用GAN進(jìn)行不確定信息預(yù)測(cè)的研究剛剛起步，且現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中于電力系統(tǒng)的負(fù)荷、可再生能源發(fā)電的場(chǎng)景生成，鮮有用于證券收益預(yù)測(cè)的相關(guān)研究，因此，采用GAN生成證券未來(lái)收益場(chǎng)景也是本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)之一。

(二)風(fēng)險(xiǎn)值理論及場(chǎng)景表示下的風(fēng)險(xiǎn)值計(jì)算方法

在投資組合領(lǐng)域，假設(shè)證券i的未來(lái)收益不確定性表示為ξi，未來(lái)?yè)p失的不確定性表示為L(zhǎng)i，顯然，可知Li= -ξi。風(fēng)險(xiǎn)值VaR測(cè)算的是在給定置信水平1-β下，該證券可能出現(xiàn)的最低價(jià)格(可轉(zhuǎn)化為可能出現(xiàn)的最低收益率，即最大損失)，如下式所示：

(4)

式(4)中，P(Li)為不確定性分布Li的概率密度函數(shù)，λ值即為所求的證券i的VaR值。類似的，對(duì)于某個(gè)包含n支證券的投資組合策略X= (x1，…，xn)，VaR評(píng)估的是在1-β置信水平下該組合可能出現(xiàn)的最大損失，如下式所示：

(5)

需要注意的是，上述VaR的計(jì)算公式主要針對(duì)連續(xù)變量，例如服從正太分布或威布爾分布的隨機(jī)數(shù)，或無(wú)分布信息的區(qū)間數(shù)。而如前所述，本文采用具有關(guān)聯(lián)特性的場(chǎng)景來(lái)描述證券收益的不確定性，因此，需在此背景下計(jì)算相應(yīng)的VaR值，故對(duì)上述VaR的計(jì)算方法作下列拓展，以計(jì)算給定置信水平下考慮多個(gè)場(chǎng)景的投資組合風(fēng)險(xiǎn)值。

(6)

式(6)中，X=(x1，…，xn)表示某個(gè)給定的投資組合策略；sj指代生成的第j個(gè)場(chǎng)景，每個(gè)sj為n維向量，包括每支證券在該場(chǎng)景下的確定性的收益；m為場(chǎng)景總數(shù)。采用上式，可以找出投資方案X在1-β定置信水平下最壞場(chǎng)景的收益率λ(一般情況下，該收益率為負(fù)數(shù)，即相應(yīng)的資產(chǎn)損失值)。

(三)基于場(chǎng)景的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型

本文利用GAN較為強(qiáng)大的數(shù)據(jù)生成能力來(lái)產(chǎn)生數(shù)個(gè)候選證券的未來(lái)收益率場(chǎng)景。首先，對(duì)所有候選證券在歷史上每一天的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行組合，并作為一個(gè)整體輸入到GAN之中；隨后，通過(guò)生成器和判斷器的博弈對(duì)抗來(lái)對(duì)GAN進(jìn)行訓(xùn)練，使其具備輸出近似服從歷史數(shù)據(jù)分布的股價(jià)場(chǎng)景的能力。由于在訓(xùn)練GAN時(shí)，輸入的是過(guò)去每一天候選股票的收盤(pán)價(jià)組合，因此，利用訓(xùn)練后的GAN輸出的場(chǎng)景即為可能的未來(lái)收盤(pán)價(jià)組合場(chǎng)景。若采用pj表示第j個(gè)組合場(chǎng)景，則所有m個(gè)收盤(pán)價(jià)組合場(chǎng)景可表示為

p1= (p1,1，…，pi,1，…，pn,1)，

pj= (p1,j，…，pi,j，…，pn,j)，

pm= (p1,m，…，pi,m，…，pn,m)。

(7)

可見(jiàn)，S-MOPSM在最大化所有場(chǎng)景下期望收益(目標(biāo)1)的同時(shí)，最小化極端場(chǎng)景的損失(目標(biāo)2)。通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行求解，所產(chǎn)生的多目標(biāo)解集將為投資者提供有效的決策依據(jù)，此外，xi≥0表明本文不考慮賣空操作。

四、求解算法

作為一類非線性多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，S-MOPSM難以通過(guò)經(jīng)典數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解。如前所述，近些年來(lái)，已有大量研究致力于高效多目標(biāo)進(jìn)化算法的設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)，其中包括多目標(biāo)粒子群算法(Multi-objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)和多目標(biāo)遺傳算法(Multi-objective Genetic Algorithm, MOGA)等。粒子群算法(PSO)通過(guò)模仿鳥(niǎo)類覓食行為，利用個(gè)體間的信息共享實(shí)現(xiàn)種群的演化，最終找到問(wèn)題的最優(yōu)解。基于此，Wang等設(shè)計(jì)了基于變異支配次數(shù)以及強(qiáng)化學(xué)習(xí)的FS-MOPSO算法來(lái)緩解經(jīng)典算法的局部最優(yōu)問(wèn)題。[47-48]不同于PSO，遺傳算法(GA)借鑒生物進(jìn)化中優(yōu)勝劣汰、適者生存的規(guī)律，通過(guò)選擇、交叉、變異等操作使得染色體向更優(yōu)的方向進(jìn)行演化。Srinivas和Deb(1994)在適應(yīng)度共享的基礎(chǔ)上，提出了非支配排序遺傳算法(NSGA)。[49]然而，由于計(jì)算復(fù)雜度高且忽視了精英解的作用，NSGA并未得到廣泛應(yīng)用。因此，Deb等(2000)在NSGA的基礎(chǔ)上，引入非支配快速排序方法和精英解機(jī)制，提出了非支配快速排序遺傳算法(NSGA-II)。[50]實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，NSGA-II具有收斂速度快且全局搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

為進(jìn)一步提高NSGA-II的求解能力，本文將競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)機(jī)制引入NSGA-II中。在競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)中，個(gè)體通過(guò)向精英解學(xué)習(xí)來(lái)更新自身染色體。具體而言，首先根據(jù)NSGA-II中的密度估計(jì)方法，計(jì)算每個(gè)精英解的密度；隨后，從當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇個(gè)體pa，并根據(jù)輪盤(pán)賭機(jī)制選擇精英解ps，精英解的密度越大，它被選到的概率越大；最后，對(duì)pa的位置更新如下:

pa=pa+η*Rand(0，1)*(ps-pa)。

(8)

式(8)中，η為控制參數(shù)。通過(guò)引入上述競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)機(jī)制，個(gè)體可以向適應(yīng)度更高的解學(xué)習(xí)來(lái)更新染色體。圖1展示了本文提出的改進(jìn)的NSGA-II (Improvded NSGA-II, INSGA-II)求解多目標(biāo)投資組合問(wèn)題的流程圖。INSGA-II的具體實(shí)施步驟如下所示。

圖1 INSGA-II算法流程圖

步驟1.假設(shè)[X1,X2,K,Xn]表示某個(gè)對(duì)n支證券的投資方案。首先，針對(duì)每個(gè)個(gè)體，采用隨機(jī)函數(shù)在(0,1)內(nèi)初始化[X1,X2,K,Xn]。

步驟2.針對(duì)每個(gè)個(gè)體，對(duì)[X1,X2,K,Xn]進(jìn)行歸一化處理，第i支證券的投資量Xi轉(zhuǎn)化為

(9)

步驟3.對(duì)每個(gè)個(gè)體，其在場(chǎng)景j下的收益率rj可計(jì)算為rj=Xsj，隨后，根據(jù)模型(7)分別計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即計(jì)算所有場(chǎng)景下收益率的期望和VaR。

步驟4.將當(dāng)前種群與精英解集合并成一個(gè)綜合種群PU(第一次迭代時(shí)精英解的個(gè)數(shù)為0)。

步驟5.檢查PU中每個(gè)個(gè)體之間的支配關(guān)系并記錄其支配次數(shù)和被支配次數(shù)。將被支配次數(shù)為0的解挑選進(jìn)入最新的精英解集。

步驟6.根據(jù)個(gè)體之間的支配關(guān)系，將種群分為不同層級(jí)：

步驟6.1.設(shè)置k=1；

步驟6.2.將被支配次數(shù)為0的解設(shè)置為第k層級(jí)，將第k級(jí)中的個(gè)體從PU中刪除并重新檢查個(gè)體之間的支配關(guān)系，k=k+1；

步驟6.3.若PU為空，則終止種群的層級(jí)劃分；否則，轉(zhuǎn)到步驟6.2。

步驟7.根據(jù)密度保留策略，從PU中選取一定數(shù)量的個(gè)體組合為臨時(shí)種群PT：

步驟7.1.設(shè)置k= 1，nr等于種群個(gè)體數(shù)；

步驟7.2.比較第k層級(jí)中個(gè)體數(shù)nk和nr；

步驟7.3.如果nk小于nr，將nk加入到PT中，nr=nr-nk，k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟7.2；否則，參照文獻(xiàn)[50]中的密度計(jì)算規(guī)則計(jì)算k層級(jí)中每個(gè)個(gè)體的密度，按密度從大到小排列，并將排序前nr的個(gè)體加入到PT之中。

步驟8.對(duì)PT中的個(gè)體，使用經(jīng)典遺傳算法中的選擇、交叉、變異算子以及本文提出的競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)算子獲得子代種群。

步驟9.如迭代次數(shù)大于等于預(yù)先設(shè)定的數(shù)值，保存精英解并終止算法；否則，轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)執(zhí)行。

五、案例分析

為驗(yàn)證所提模型和算法的有效性，本節(jié)選取(1)蘋(píng)果、(2)百度、(3)雪佛龍、(4)英國(guó)石油公司、(5)瓦萊羅能源公司、(6)通用汽車、(7)克羅格、(8)網(wǎng)易、(9)搜狐、(10)騰訊共10支股票作為候選，考慮于2019年1月1日開(kāi)始進(jìn)行為期6個(gè)月的投資組合問(wèn)題。首先，根據(jù)2014年1月1日至2018年12月31日10支股票的歷史數(shù)據(jù)訓(xùn)練GAN，并采用GAN生成未來(lái)收盤(pán)價(jià)場(chǎng)景。其中，GAN的參數(shù)設(shè)置如表1所示。本文中的場(chǎng)景生成算法采用Python語(yǔ)言編寫(xiě)，模型求解算法采用C++語(yǔ)言編寫(xiě)，程序在Intel i7-7700 3.6GHZ CPU個(gè)人電腦上運(yùn)行。

表1 GAN參數(shù)設(shè)置

經(jīng)過(guò)充分訓(xùn)練，由GAN生成的100個(gè)股票未來(lái)收盤(pán)價(jià)場(chǎng)景如圖2所示。通過(guò)轉(zhuǎn)換，可得圖3所示的股票未來(lái)收益率場(chǎng)景。根據(jù)生成的場(chǎng)景，采用INSGA-II求解S-MOPSM得到帕累托解集(如圖4所示)。在S-MOPSM中，投資風(fēng)險(xiǎn)采用VaR刻畫(huà)，VaR值越小表示投資風(fēng)險(xiǎn)越小，當(dāng)VaR為負(fù)數(shù)時(shí)，表示投資方案在給定置信水平下最壞情況出現(xiàn)時(shí)仍具有正收益。圖4中的帕累托解顯示，VaR值隨著平均收益的減小而減小。上述現(xiàn)象與理論及實(shí)際情況相符，為獲得更高的平均收益，投資者需要將更多的資金投入到平均收益較高的證券之中。然而，證券的平均收益越高意味著潛在的風(fēng)險(xiǎn)越大，因此，該投資方案在給定置信水平下最壞場(chǎng)景的投資風(fēng)險(xiǎn)也越大。以上分析表明，本文提出的多目標(biāo)投資組合模型可以有效地反映收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的對(duì)立關(guān)系。

隨后，我們挑選出四個(gè)具有代表性的帕累托解，并將其具體投資組合方案列于表2(表中，每一行表示一個(gè)解，包含該投資方案的期望收益、風(fēng)險(xiǎn)以及在10支股票上的資產(chǎn)分配情況)。由表2所示，資金主要集中分配在第2、4、7、9號(hào)4支股票上。可見(jiàn)，本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化模型能在一定程度上達(dá)到分散投資的目的。

圖2 股票價(jià)格場(chǎng)景圖

圖3 股票收益率場(chǎng)景圖

圖4 S-MOPSM的帕累托解集

表2 代表性帕累托解具體投資方案

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提預(yù)測(cè)方法、投資組合模型及算法的有效性，我們對(duì)表2所列四個(gè)代表性帕累托解在真實(shí)市場(chǎng)中的表現(xiàn)進(jìn)行分析和討論。首先，收集上述10支股票在投資期間(2019.01-2019.06)的每周收盤(pán)價(jià)，每支股票各包括26個(gè)數(shù)據(jù)，即26個(gè)周收盤(pán)價(jià)；其次，基于各支股票在2019年1月2日(1月1日閉市)的買入價(jià)格，將上述每周收盤(pán)價(jià)轉(zhuǎn)化為每周收益率；最后，按表2所列四個(gè)代表性帕累托解的投資組合策略進(jìn)行資金分配，并檢驗(yàn)各個(gè)解在真實(shí)股市中的表現(xiàn)，結(jié)果如圖5所示。

圖5表明，在整個(gè)投資期間的真實(shí)市場(chǎng)表現(xiàn)中，代表性帕累托解4可以產(chǎn)生最大的投資收益，解3次之，隨后是解2和解1(由區(qū)域1可見(jiàn))；其次，若考慮整個(gè)投資期間出現(xiàn)的最壞情況，解1產(chǎn)生的投資損失最小，解2次之，隨后是解3和解4(由區(qū)域2可見(jiàn))。此外，如表2所示，四個(gè)代表性帕累托解按照從解1到解4順序來(lái)看，期望收益越來(lái)越大，但在給定置信水平下投資所承受的最大損失也越來(lái)越大。這表明，本文通過(guò)理論分析得到的結(jié)論與上述基于真實(shí)股市數(shù)據(jù)得到的結(jié)果是吻合的。由此可見(jiàn)，本文所采用的場(chǎng)景生成技術(shù)能夠較好地描述收益的不確定性，所建立的數(shù)學(xué)模型及開(kāi)發(fā)的求解算法也能有效地處理不確定性下的多目標(biāo)投資組合問(wèn)題。

為分析置信水平對(duì)模型求解的影響，本文對(duì)比分析了三種不同置信水平下求得的帕累托解集。圖6表明，采用較低的置信水平獲得的帕累托解集可以支配采用較高置信水平時(shí)獲得的帕累托解集。上述現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是，較高的置信水平意味著在進(jìn)行決策時(shí)需要考慮更多的極端場(chǎng)景。一般情況下，對(duì)同一個(gè)決策方案而言，設(shè)置更高的置信水平將使得風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估需要考慮更壞的場(chǎng)景，進(jìn)而增加了VaR的數(shù)值。因此，投資者可以根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)偏好以及對(duì)股市走勢(shì)的認(rèn)知，設(shè)置相應(yīng)的置信水平，從而獲得更符合自身需求的帕累托解集。

圖5 代表性帕累托解真實(shí)市場(chǎng)表現(xiàn)

圖6 不同置信水平的帕累托解集

最后，本文將INSGA-II與NSGA-II以及FS-MOPSO進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所提算法的有效性。圖7表明，INSGA-II獲得的帕累托解集能夠較好地支配其他兩種算法的解集，直觀上證明了INSGA-II的效果更佳。為更客觀地衡量所提算法的求解效果，本文采用超體積作為帕累托解集質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)(超體積越大，算法性能越好)。當(dāng)參考點(diǎn)設(shè)為(0,0.25)時(shí)，INSGA-II、NSGA-II和FS-MOPSO得到的帕累托解集的超體積數(shù)值分別為0.1812、0.1806和0.1765?？梢?jiàn)，在本文所采用的案例中，INSGA-II優(yōu)于NSGA-II以及FS-MOPSO。

圖7 算法比較

六、結(jié)論及展望

針對(duì)投資組合存在的預(yù)測(cè)難、優(yōu)化難問(wèn)題，本文首先利用生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生了一系列服從歷史數(shù)據(jù)分布的證券未來(lái)收益率場(chǎng)景；隨后，建立了基于不確定性場(chǎng)景表示下的多目標(biāo)投資組合模型來(lái)同時(shí)優(yōu)化多個(gè)場(chǎng)景下的期望收益及風(fēng)險(xiǎn)值；最后，通過(guò)引入競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)機(jī)制，改進(jìn)了經(jīng)典多目標(biāo)遺傳算法，提升了種群的搜索能力，并對(duì)所建多目標(biāo)投資組合模型進(jìn)行了求解。

案例分析表明，基于場(chǎng)景生成的多目標(biāo)投資組合模型可以有效地反映投資收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的對(duì)立關(guān)系，在一定程度上達(dá)到分散資金的目的，并且所得理論結(jié)果與真實(shí)市場(chǎng)表現(xiàn)相吻合。此外，設(shè)置不同置信水平可以對(duì)期望收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行不同程度的權(quán)衡，得到不同的帕累托解集，這表明所建模型具備較好的適應(yīng)性。最后，本文所提算法與部分已有算法相比，求解效果更佳。

后續(xù)擬開(kāi)展的研究主要包括采用更先進(jìn)的生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，如采用條件GAN、序列GAN等來(lái)產(chǎn)生更有效的證券未來(lái)收益率場(chǎng)景；將交易成本、交易金額約束、市場(chǎng)流動(dòng)性等納入所建模型，使得理論結(jié)果更貼近現(xiàn)實(shí)。