何根芳

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）通過學(xué)生觀看“吸煙與患肺癌關(guān)系”視頻，引導(dǎo)學(xué)生思考如何論證自己所得到直觀判斷的正確性，發(fā)展學(xué)生的直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng)。

（二）引導(dǎo)學(xué)生積累收集、整理數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)，掌握利用2×2列聯(lián)表及條形等高圖對(duì)樣本數(shù)據(jù)結(jié)果做出判斷的方法，總結(jié)分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方法與經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

（三）引導(dǎo)學(xué)生探討所作結(jié)論是否有誤判可能，通過探討所作結(jié)論可靠性問題，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力，進(jìn)而類比反證法思想，通過設(shè)問、追問，以相互獨(dú)立事件之間的概率關(guān)系去引導(dǎo)學(xué)生用頻率估計(jì)概率，借助已有知識(shí)獨(dú)立事件概率公式去得出“吸煙與患癌無關(guān)”的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

（四）通過小組對(duì)小概率事件進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生明確設(shè)定規(guī)則做出判斷一般思路，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和一般步驟，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)： 獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想，K2的含義及獨(dú)立檢驗(yàn)步驟。

難點(diǎn)： 隨機(jī)事件相關(guān)性判斷可靠性分析，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題。

三、教材分析，學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了必修3中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，對(duì)于樣本數(shù)據(jù)分析處理積累了初步經(jīng)驗(yàn)。在選修2-3前面章節(jié)中學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件發(fā)生的概率及事件的獨(dú)立性的概念，在選修2-2中學(xué)習(xí)了反證法的基本思想，同時(shí)對(duì)于小概率事件幾乎不可能發(fā)生有一定的理解。

通過上一節(jié)對(duì)相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，學(xué)生明白兩個(gè)變量之間可能存在相關(guān)關(guān)系，但是對(duì)于如何利用頻率估計(jì)概率，從而借助獨(dú)立事件概率公式建立相關(guān)關(guān)系等價(jià)關(guān)系式缺乏相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此本節(jié)課通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生以舊知識(shí)為工具，突破理解獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想。

四、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

情境：學(xué)生觀看吸煙與患肺癌關(guān)系視頻。

【問題】我們都聽說過吸煙更容易患肺癌，可是有老煙民說有人煙不離手還長壽，有人不抽煙還得肺癌，你準(zhǔn)備用什么來反駁他這句話呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：生活常識(shí)（情感判斷）

關(guān)鍵點(diǎn)2：用數(shù)據(jù)說話（理性分析）

關(guān)鍵點(diǎn)2：數(shù)據(jù)獲得方式（抽樣調(diào)查）

關(guān)鍵點(diǎn)3：樣本信息應(yīng)該有幾類分類？

吸煙、不吸煙、患癌、不患癌（分類變量）

關(guān)鍵點(diǎn)4：調(diào)查結(jié)果如何呈現(xiàn)

設(shè)計(jì)意圖：增強(qiáng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)，引出2×2列聯(lián)表及條形等高圖概念，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)二 問題驅(qū)動(dòng)，探究概念

【問題】得到2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)之后，同學(xué)們能不能根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)得出吸煙與患肺癌是否有關(guān)呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：比例不同（直觀感受）

關(guān)鍵點(diǎn)2：吸煙患肺癌概率比不吸煙患肺癌概率高（用樣本頻率估計(jì)概率）

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)表格的分析，引導(dǎo)學(xué)生熟悉2×2列聯(lián)表特征，鞏固用頻率估計(jì)概率做出判斷的基本思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

【問題】除了用表格分析數(shù)據(jù)的結(jié)果，還可以用什么方式來展現(xiàn)呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：等高（統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，方便比對(duì)）

關(guān)鍵點(diǎn)2：

頻率估計(jì)概率

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過回憶初中所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用圖表直觀判斷得出結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)

【問題】我們說直接判斷吸煙與患肺癌有關(guān)好不好判斷？在數(shù)學(xué)中，我們有一個(gè)思想是正難則反，判斷有關(guān)比較困難那我們可以考慮什么？你為什么會(huì)認(rèn)為判斷無關(guān)容易一些呢？能不能利用2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)建立兩個(gè)事件無關(guān)關(guān)系式？

關(guān)鍵點(diǎn)1：做出假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系

關(guān)鍵點(diǎn)2：無關(guān)與已有知識(shí)事件獨(dú)立相呼應(yīng)

關(guān)鍵點(diǎn)3：

相互獨(dú)立概率公式： P（AB）= P（A）·P（B）

關(guān)鍵點(diǎn)4：頻率估計(jì)概率。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)，借助獨(dú)立事件作為工具去探究新知識(shí)，在探究過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生感受用頻率估計(jì)概率的思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型做出理性判斷，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

環(huán)節(jié)三 知識(shí)生成，卡方檢驗(yàn)

【問題】得到關(guān)系式ad≈bc后，我們可以怎么判斷吸煙與患肺癌關(guān)系的強(qiáng)弱呢？樣本容量的不同會(huì)導(dǎo)致|ad-bc|的不同，那么這時(shí)又該如何比較相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：對(duì)ad-bc的探討;

關(guān)鍵點(diǎn)2：為什么帶絕對(duì)值;（之差可能為負(fù)數(shù)，直接比較大小不合適）

關(guān)鍵點(diǎn)3：|ad-bc|的大小表示什么？（越大，吸煙與患肺癌關(guān)系越強(qiáng)，越小，吸煙與患肺癌關(guān)系越弱）

關(guān)鍵點(diǎn)4：統(tǒng)一評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生去分析所得結(jié)論的意義，并進(jìn)一步思考如何用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)價(jià)相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，引出統(tǒng)計(jì)量卡方的概念。

【問題】早在1990年英國的統(tǒng)計(jì)學(xué)家K. Pearson就提出了通過構(gòu)造隨機(jī)變量

關(guān)鍵點(diǎn)1：分母的合理性，除以總數(shù)消除樣本容量的影響，2×2分類變量，各個(gè)維度有區(qū)別

關(guān)鍵點(diǎn)2：n為樣本容量，樣本容量越大統(tǒng)計(jì)數(shù)與相應(yīng)總體參數(shù)越接近

關(guān)鍵點(diǎn)3：（ad-bc）2考慮分母是4次，所以分子要統(tǒng)一，不用絕對(duì)值而是用平方

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生分析卡方的成因，探討公式中每個(gè)變量的合理性，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

【問題】統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)，在H0成立條件下，P（K2≥6.635）≈0.01，你是怎么理解這句話的？

關(guān)鍵點(diǎn)1：在H0成立條件下，K2觀測值超過6.635概率非常小，是一個(gè)小概率事件

關(guān)鍵點(diǎn)2：小概率事件通常不會(huì)發(fā)生，因此有理由判斷H0假設(shè)不成立

關(guān)鍵點(diǎn)3：做出這種判斷會(huì)犯錯(cuò)，犯錯(cuò)誤概率不會(huì)超過0.01。

設(shè)計(jì)意圖：引出獨(dú)立性檢驗(yàn)原理：在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。

【問題】同學(xué)們通過計(jì)算，可以得到K2的觀測值是多少？（k≈56.632），由此你可以得出什么結(jié)論呢？如果計(jì)算的觀測值比臨界值要小，你又能得出什么結(jié)論呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：k>6.635，可認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)

關(guān)鍵點(diǎn)2：做出這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01;

關(guān)鍵點(diǎn)3：前面結(jié)論是基于小概率事件通常不會(huì)發(fā)生做出的，所以觀測值小于臨界值時(shí)，只能說明得不出吸煙與患肺癌有關(guān)。

【問題】怎樣判斷K2的觀測值是大還是小呢？做出誤判的概率有多大呢？

關(guān)鍵點(diǎn)1：確定一個(gè)正數(shù)k0，當(dāng)k≥k0就認(rèn)為觀測值大，否則認(rèn)為觀測值小;

關(guān)鍵點(diǎn)2：需要觀測值大于臨界值所對(duì)應(yīng)的概率

關(guān)鍵點(diǎn)3：誤判概率不超過 P（K2≥k0）

關(guān)鍵點(diǎn)4：臨界值表。由于不同樣本中K2的觀測值不同，我們統(tǒng)一將實(shí)際問題中K2的觀測值用k表示。在H0成立的情況下，有如下結(jié)果：

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)臨界值的探討，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受臨界值的必要性和意義，體會(huì)數(shù)值所代表的意義，得出獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法和步驟。

【問題】你能總結(jié)一下獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟嗎？

關(guān)鍵點(diǎn)1：明確研究問題，分類變量;

關(guān)鍵點(diǎn)2：根據(jù)實(shí)際問題確定犯錯(cuò)誤概率上界k0;

關(guān)鍵點(diǎn)3;利用公式的觀測值;

關(guān)鍵點(diǎn)4：若k≥k0，就判定“兩個(gè)變量有關(guān)”，且做出此判定的犯錯(cuò)概率不超過 P（K2≥k0）;否則，則說明樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)證明兩個(gè)變量有關(guān)（或者說不能在犯錯(cuò)誤概率不超過 P（K2≥k0）前提下得出兩個(gè)變量有關(guān)）。

環(huán)節(jié)四 總結(jié)

【問題】通過這節(jié)課，你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生總結(jié)反思，從而明確獨(dú)立檢驗(yàn)方法和步驟以及假設(shè)檢驗(yàn)原理;引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)據(jù)意識(shí)，通過本節(jié)課形成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步思考數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性作用，認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)方法對(duì)于我們生活中做決策的指導(dǎo)意義。

【本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題2019年度課題“建構(gòu)深度教學(xué)，在問題引領(lǐng)下發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)研究”（課題編號(hào)：201912014）研究成果】

【參考文獻(xiàn)】

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[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.