張超

[摘? 要] 隨著專(zhuān)家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)”作為一種新的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)入了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的視野. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)同數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，實(shí)際上就是對(duì)傳統(tǒng)通過(guò)公理及演繹的方式建立數(shù)學(xué)知識(shí)的思路進(jìn)行的一個(gè)拓展. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐模式可以描述為：明確學(xué)習(xí)目的，醞釀數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，反思體驗(yàn)過(guò)程. 對(duì)于初中學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中養(yǎng)成反思的意識(shí)與習(xí)慣，是深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要舉措. 開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐研究，應(yīng)當(dāng)成為每個(gè)初中數(shù)學(xué)教師的當(dāng)然選擇.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);課堂教學(xué);實(shí)踐研究

隨著專(zhuān)家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)”作為一種新的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)入了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的視野. 相對(duì)于傳統(tǒng)學(xué)習(xí)模式而言，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有很多可圈可點(diǎn)的地方：首先，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)著力于學(xué)生的學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生以類(lèi)似于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式去主動(dòng)探索;其次，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”，強(qiáng)調(diào)從“實(shí)驗(yàn)”中學(xué)，也就是強(qiáng)調(diào)通過(guò)學(xué)生主動(dòng)地“做”或“實(shí)驗(yàn)”等，來(lái)積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（課程標(biāo)準(zhǔn)的重要論述），然后去掌握數(shù)學(xué)知識(shí);再次，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力，并認(rèn)為這能夠有效地轉(zhuǎn)變初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式，從而深化初中數(shù)學(xué)的課程改革. 近年來(lái)，筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，取得了很多認(rèn)識(shí)，在此總結(jié)一下，與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的同行們分享.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐價(jià)值

所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng). 其實(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入實(shí)驗(yàn)的觀念，雖然說(shuō)并非首創(chuàng)，但確實(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)是存在一些認(rèn)識(shí)上的差異的. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)同數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，實(shí)際上就是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)通過(guò)公理及演繹的方式建立數(shù)學(xué)知識(shí)的思路進(jìn)行的一個(gè)拓展. 同時(shí)，已有的研究也發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)律，從而揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在培養(yǎng)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納及創(chuàng)新思維的能力.

例如，在學(xué)習(xí)“全等圖形”的時(shí)候，傳統(tǒng)教學(xué)都是讓學(xué)生通過(guò)觀察的方法，建立全等圖形的概念，比如讓學(xué)生觀察相同的兩本數(shù)學(xué)書(shū)的封面、相同的郵票等;還有教師基于現(xiàn)代教學(xué)手段的運(yùn)用，借助圖形的復(fù)制與粘貼去獲得全等圖形. 相比較而言，后者除了觀察之外，還有學(xué)生的想象在發(fā)揮作用. 但無(wú)論是哪種教學(xué)思路，都無(wú)法滿(mǎn)足學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)的方式去建構(gòu)對(duì)全等圖形的認(rèn)識(shí). 而要想讓學(xué)生獲得體驗(yàn)，就可以采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法. 比如可以讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手剪切，去獲得全等圖形，由于不同學(xué)生的動(dòng)手操作能力不同，所以學(xué)生在操作的過(guò)程當(dāng)中，有可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的過(guò)程或者結(jié)果，最直接的就是學(xué)生得到的圖形與原先的圖形并不全等.

看起來(lái)這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生走了彎路，但從教學(xué)結(jié)果的角度來(lái)看，這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)卻讓學(xué)生對(duì)全等圖形的認(rèn)識(shí)普遍變得比較深刻. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情形呢？筆者通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，正是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中出錯(cuò)了——而且是自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，所以他們才對(duì)全等圖形的判斷依據(jù)（即“完全重合”）有更加深刻的認(rèn)識(shí). 如此比較，就可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)教師的目的直接鎖定在全等圖形的定義上時(shí)，學(xué)生的理解并不深刻，而通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)看似走了彎路，結(jié)果學(xué)生對(duì)完全重合卻有著深刻的認(rèn)識(shí)，這一方面闡釋了“欲速則不達(dá)”的樸素道理，另一方面也印證了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐模式

那么數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是不是就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中動(dòng)手去做呢？在筆者看來(lái)并不是那么簡(jiǎn)單，盡管在日常教學(xué)中一直不能模式化，但建立基本的實(shí)踐模式，以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中形成比較清晰的思路，還是非常必要的. 有同行在時(shí)間的基礎(chǔ)上總結(jié)出的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式，并將之概括為四大環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提出猜想，驗(yàn)證猜想. 筆者在借鑒實(shí)踐的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐模式描述為：明確學(xué)習(xí)目的，醞釀數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，反思體驗(yàn)過(guò)程.

例如，上面提及的“全等圖形”這一概念的學(xué)習(xí)，筆者立足于為后面“全等三角形的性質(zhì)與判定”知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，還增加了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：對(duì)照?qǐng)D中的三角形①，試作出與其全等的三角形.

既然是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的視角之下讓學(xué)生作圖，那作圖的過(guò)程就應(yīng)當(dāng)保持一定的開(kāi)放性，允許學(xué)生在作圖的過(guò)程中既有自主的學(xué)習(xí)方式，又有合作的學(xué)習(xí)方式;既有成功的體驗(yàn)，又有失敗的總結(jié)與教訓(xùn). 也就是讓學(xué)生一邊做一邊思考，這樣才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的真諦. 這一要求正體現(xiàn)了上述數(shù)學(xué)實(shí)踐模式中的“完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的核心思想，只有保證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)放性、真實(shí)性，那么數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才能徹底發(fā)揮其促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用.

事實(shí)上，學(xué)生在作圖的過(guò)程之中，方法確實(shí)并非唯一的：有的學(xué)生嘗試通過(guò)畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形的方法，做出三角形的軸對(duì)稱(chēng)圖形;有的學(xué)生通過(guò)折疊，然后在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處用筆尖下壓，以得到三個(gè)新的頂點(diǎn)，將這三個(gè)新的頂點(diǎn)連接起來(lái)就是一個(gè)與原三角形全等的三角形;還有的學(xué)生別出心裁地在原圖的右邊描出一個(gè)個(gè)與左邊間距相同的小黑點(diǎn)，然后作出全等三角形……這個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就提供了一個(gè)良好的契機(jī)，那就是讓學(xué)生去比較自己的思路與操作方法——這里強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：思路對(duì)應(yīng)著學(xué)生的思維，操作對(duì)應(yīng)著學(xué)生的體驗(yàn)，而思維與體驗(yàn)正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)關(guān)鍵要素. 事實(shí)上，學(xué)生在比較的過(guò)程之中，就能夠自發(fā)地發(fā)現(xiàn)不同方法的優(yōu)劣. 更重要的是，學(xué)生在比較的過(guò)程之中，能夠發(fā)現(xiàn)全等圖形的性質(zhì). 事實(shí)上，有學(xué)生在作全等圖形的時(shí)候，就嘗試通過(guò)“角邊角”的方法去進(jìn)行——先作出等長(zhǎng)的一條邊，然后在這條邊的基礎(chǔ)上作出相等的一個(gè)角，再在角的另一條邊上作出等長(zhǎng)的邊，最后連接第三條邊. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程也能夠得到全等圖形時(shí)，學(xué)生是非常興奮的. 在合作交流的過(guò)程中，這一思路也打開(kāi)了許多學(xué)生的思維空間，他們會(huì)思考除了這一方法之外還有沒(méi)有其他的方法. 很顯然這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，就為后面全等三角形的性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)奠定了一個(gè)非常堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 這也從側(cè)面說(shuō)明，上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的模式是有效的.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐反思

其實(shí)在上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ疆?dāng)中，還有一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，那就是反思. 對(duì)于初中學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中養(yǎng)成反思的意識(shí)與習(xí)慣，是深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要舉措.

例如，在學(xué)習(xí)了“全等三角形的性質(zhì)與判定”之后，在引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思這一課的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其實(shí)全等三角形的性質(zhì)與判定，是全等三角形學(xué)習(xí)必然會(huì)遇到的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程之中，通過(guò)體驗(yàn)與思考，自然也就涉及性質(zhì)與判定兩個(gè)話題. 在經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)之后，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，那么在全等圖形、全等三角形、全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，就不可能發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系. 于是學(xué)生也就普遍認(rèn)為當(dāng)遇到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)用心參與，且既要?jiǎng)邮植僮?，又要?jiǎng)幽X思考. 這些都是學(xué)生在反思過(guò)程中形成的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)研究有著非常重要的啟發(fā).

值得一提的是，學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中還會(huì)有一些意料之外的精彩，比如前面在作全等三角形的時(shí)候，有學(xué)生別出心裁地通過(guò)“旋轉(zhuǎn)”的方法，將要畫(huà)的三角形疊在另一張白紙之上，用筆尖緊壓住三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，然后旋轉(zhuǎn)到另外一個(gè)位置，發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)一次就可以得到一個(gè)全等三角形，相對(duì)于其他同學(xué)而言，他就能夠在短時(shí)間之內(nèi)作出更多的全等三角形，興奮之情溢于言表. 在筆者看來(lái)，這也是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)體驗(yàn)過(guò)程，某種程度上講正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給這位學(xué)生提供了廣闊的思考空間. 而這個(gè)學(xué)生的創(chuàng)意，在得到了筆者的肯定性評(píng)價(jià)之后，他也帶動(dòng)了多個(gè)學(xué)生更多地關(guān)注數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而讓一個(gè)小的群體表現(xiàn)出了良性循環(huán)的學(xué)習(xí)樣態(tài).

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中立足于課堂，運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行概念學(xué)習(xí)、探索規(guī)律、反思結(jié)論、深化思想、總結(jié)復(fù)習(xí)等，來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐研究，可以收到很好的教學(xué)效果，而開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐研究，也應(yīng)當(dāng)成為每位初中數(shù)學(xué)教師的當(dāng)然選擇.