金 耀， 蔡騰皓， 李彩曼， 胡雅麗， 魯佳亮， 王 怡

(1. 浙江理工大學(xué) 信息學(xué)院， 浙江 杭州 310018； 2. 浙江理工大學(xué) 浙江省服裝工程技術(shù)研究中心， 浙江 杭州 310018；3. 浙江理工大學(xué) 信息化辦公室， 浙江 杭州 310018； 4. 浙江理工大學(xué) 紡織科學(xué)與工程學(xué)院(國際絲綢學(xué)院)，浙江 杭州 310018； 5. 浙大城市學(xué)院 創(chuàng)意與藝術(shù)設(shè)計學(xué)院， 浙江 杭州 310015)

鋪砌(tiling)是一種綜合了幾何學(xué)、組合學(xué)、群倫、拓?fù)?、圖論等多個數(shù)學(xué)分支，研究形狀如何無重疊無空隙覆蓋平面的方法1]。同時，鋪砌又是一種古老的藝術(shù)形式，被廣泛應(yīng)用于建筑、裝飾與藝術(shù)設(shè)計等領(lǐng)域，如中世紀(jì)伊斯蘭建筑設(shè)計特別青睞鋪砌圖案[2]。鋪砌圖案因其種類多樣且具有特殊的對稱性與美學(xué)價值，引起了不少學(xué)者的研究興趣。近年來，不乏學(xué)者借助計算機圖形技術(shù)，研究生成不同類型的鋪砌藝術(shù)圖案的方法：如基于動力系統(tǒng)理論生成混沌鋪砌圖案[3]，結(jié)合分形理論生成分形鋪砌圖案[4]，從圖像中提取并重構(gòu)鋪砌結(jié)構(gòu)[5]等。鋪砌藝術(shù)應(yīng)用廣泛，但其在紡織領(lǐng)域應(yīng)用的研究較少(雖有研究者提出將鋪砌應(yīng)用于紡織品設(shè)計的構(gòu)想[6-7]，但未曾實踐)，而運用鋪砌方法進行織物組織設(shè)計的研究更為罕見。

織物組織設(shè)計是紡織品設(shè)計的重要組成部分。借助計算機強大的運算能力，眾多研究者針對織物組織嘗試建立不同的數(shù)學(xué)模型并采用數(shù)字化設(shè)計手段，以提高織物組織設(shè)計的效率、豐富織物組織的變化形式。施國生等[8]運用對稱性原理設(shè)計織物組織，使組織具有對稱美感，但其整體對稱性的變化形式單調(diào)。趙良臣等[9]提出運用旋轉(zhuǎn)對稱性數(shù)學(xué)原理設(shè)計織物組織，使組織具有縐效應(yīng)的美感。還有將圖像變換的思想運用于織物組織設(shè)計，得到具有不同變換特征的新組織[10]。這些方法均存在變化形式不夠豐富, 組織設(shè)計空間較小的問題。張聿等[11]將分形理論中L系統(tǒng)應(yīng)用于織物組織設(shè)計，所設(shè)計的分形組織相較于傳統(tǒng)組織具有自相似性、層次嵌套的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。針對L系統(tǒng)設(shè)計方法的局限性，文獻[12]提出了不受基礎(chǔ)組織形式限制的IFS方法，擴大了設(shè)計空間。在此基礎(chǔ)上，張聿課題組研究了分形組織的多個變種，從不同層面探討分形組織的變化形式，設(shè)計出不同風(fēng)格的織物組織，如各層基礎(chǔ)組織互異的分形組織[13]，同層仿射分形織物[14]，基于斜紋基本組織的回紋分形組織[15]等。最近，熊宇龍等[16]又提出了設(shè)計更為靈活的擴展分形組織模型，能夠涵蓋上述分形織物組織模型。

采用分形織物組織方法通過構(gòu)造空間布局形成新組織,擴大了組織的設(shè)計空間。類似分形織物組織，本文從空間布局的角度設(shè)計織物組織,借助椅子鋪砌(chair tilings)這種具有方形結(jié)構(gòu)的特殊鋪砌構(gòu)圖，提出一種新型織物組織的設(shè)計方法。受益于椅子鋪砌的特點，該方法所設(shè)計的織物組織既具有分形組織的自相似性與層次嵌套的結(jié)構(gòu)，又具有非周期以及多種形式的對稱性,能夠設(shè)計出一些特殊的新型織物組織，豐富了織物組織的設(shè)計手段與變化形式。

1 鋪砌的生成原理

1.1 鋪砌的定義

鋪砌是由數(shù)個鋪砌塊(tile)構(gòu)成的集合,且滿足如下條件：1)每個鋪砌塊為閉集；2)鋪砌塊的并集鋪滿歐式平面；3)任何2個鋪砌塊的內(nèi)部彼此無交集。該定義即表明鋪砌集合能夠無空隙且不重疊地覆蓋平面[1]。

鋪砌的一個顯著特點是對稱性,且其對稱性可呈現(xiàn)出各種不同的排列規(guī)則。根據(jù)鋪砌塊的布局是否具有周期性，鋪砌可分為周期鋪砌與非周期鋪砌兩類[1](如圖1所示)。由圖可看出周期鋪砌呈現(xiàn)整體對稱性，較為規(guī)則；而非周期鋪砌具有局部對稱性，既具有規(guī)則性又具有隨機性。

圖1 周期與非周期鋪砌圖例Fig.1 Examples of periodic (a) and aperiodic (b) tilings

1.2 椅子鋪砌及生成原理

椅子鋪砌是一種只由一種鋪砌塊生成的非周期鋪砌，因其鋪砌塊形如“椅子”而得名。椅子鋪砌的鋪砌塊可看作3個正方形構(gòu)成的凹形六邊形。其鋪砌塊及鋪砌結(jié)構(gòu)見圖2。由圖可見，對鋪砌塊進行各種層次化幾何變換，可得到復(fù)雜的鋪砌結(jié)構(gòu)。

圖2 椅子鋪砌的鋪砌塊及鋪砌結(jié)構(gòu)Fig.2 Tiles (a) and tling structure (b) of chair tilings

為生成椅子鋪砌結(jié)構(gòu)，本文采用基于擴充—再分過程的替換法并利用四叉樹構(gòu)建chair鋪砌的層次結(jié)構(gòu)[3,6]。具體過程為：對于當(dāng)前四叉樹已生成的葉子節(jié)點，將其節(jié)點所在的鋪砌塊等比放大2倍，設(shè)置該節(jié)點的4個子節(jié)點的仿射變換，將該區(qū)域分割成4個與該鋪砌塊全等的區(qū)域，設(shè)置4個子區(qū)域的方向，使其右上角和左下角的鋪砌塊方向保持不變，左上角的鋪砌塊為原鋪砌塊順時針旋轉(zhuǎn)90°形成，而右下角的鋪砌塊為原鋪砌塊逆時針旋轉(zhuǎn)90°形成。運用上述方法構(gòu)建一棵完全四叉樹，其葉子節(jié)點所在層即為該層級的椅子鋪砌結(jié)構(gòu)。

2 椅子鋪砌織物組織設(shè)計

椅子鋪砌的結(jié)構(gòu)具有類似分形的自相似性與層次嵌套性。所不同的是其鋪砌塊的分布滿足一定規(guī)則的局部對稱性，如平移對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、鏡面對稱等并以相互嵌套的形式鋪滿平面，表現(xiàn)出亂中有序的規(guī)律。同時，椅子鋪砌具有方塊形狀的天然特點，其結(jié)構(gòu)適用于織物組織設(shè)計，所設(shè)計的組織稱為椅子鋪砌組織。

2.1 椅子鋪砌組織的設(shè)計方法

椅子鋪砌組織設(shè)計方法利用椅子鋪砌的空間布局結(jié)構(gòu)構(gòu)造新組織。類似于分形組織采用“組織替換組織點”的思想。本文首先運用椅子鋪砌方法生成織物組織的空間結(jié)構(gòu)，然后以鋪砌塊為單位的組織單元(稱為“鋪砌塊組織”)按照一定規(guī)則對空間結(jié)構(gòu)進行“鋪砌”，從而形成椅子鋪砌組織。具體講，椅子鋪砌組織的設(shè)計方法如下。

1)構(gòu)造鋪砌結(jié)構(gòu)：根據(jù)1.2節(jié)所描述的椅子鋪砌生成原理，構(gòu)造給定層次數(shù)的鋪砌結(jié)構(gòu)，其中空缺的右上角結(jié)構(gòu)默認(rèn)由鋪砌的左下角結(jié)構(gòu)復(fù)制得到。由此形成的鋪砌結(jié)構(gòu)見圖3(a)。

圖3 椅子鋪砌組織的生成過程Fig.3 Procedure of generating chair-tiling weaves.(a) Tiling structure; (b) Tile weave; (c) Tiling weave

2)設(shè)計鋪砌塊組織：確定組織循環(huán)數(shù)，并在鋪砌塊中設(shè)計鋪砌塊組織，見圖3(b)。

3)生成鋪砌組織：將鋪砌塊組織運用椅子鋪砌的對稱變換規(guī)則替換原鋪砌塊，生成最終的鋪砌組織。由圖3(a)與(b)生成的鋪砌組織見圖3(c)。

2.2 椅子鋪砌組織的變化形式

本文所提出的椅子鋪砌組織設(shè)計方法可從多個不同角度對織物組織進行變化創(chuàng)新，以增加組織設(shè)計的自由度，擴大組織設(shè)計的空間。具體講，主要的變化形式有如下幾種。

1)鋪砌層次數(shù)n的變化。即改變椅子鋪砌的層次數(shù)。不同的層次數(shù)將形成不同的鋪砌結(jié)構(gòu)。隨著層次數(shù)的增加，其結(jié)構(gòu)也將變得越為復(fù)雜。

2)鋪砌結(jié)構(gòu)S的變化。鋪砌結(jié)構(gòu)可通過改變鋪砌(見圖2(b))的右上角結(jié)構(gòu)進行變化。其右上角的結(jié)構(gòu)可采用不同的結(jié)構(gòu)進行嵌套，如可對鋪砌的左下角結(jié)構(gòu)通過施加不同的旋轉(zhuǎn)變換{R90°,R180°,R270°}得到不同的整體鋪砌結(jié)構(gòu)。將3種不同旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的變換1、變換2與變換3分別施加于圖2(b)，可獲得圖4所示結(jié)果。

圖4 不同變換下得到的右上角鋪砌結(jié)構(gòu)Fig.4 Tiling structures of upper right corner under different transformations. (a) Transformation 1; (b) Transformation 2; (c) Transformation 3

3)鋪砌塊組織W的變化。設(shè)置不同鋪砌塊組織將帶來風(fēng)格迥異的椅子鋪砌組織結(jié)構(gòu)，也是實現(xiàn)椅子鋪砌組織變化的主要手段。用戶既可將整個鋪砌塊作為整體并直接在其內(nèi)部設(shè)計組織，亦可只輸入1個組織循環(huán)以及1個同循環(huán)數(shù)的置換群組織，并利用該組織循環(huán)在該群作用下得到的軌道組織[17]進行排列組合變化出多個組織生成鋪砌塊組織。

3 仿真實驗與討論

本文運用C++語言實現(xiàn)上述椅子鋪砌組織設(shè)計方法并對生成織物組織圖進行可視化仿真。

3.1 不同鋪砌層次數(shù)的織物組織

本文嘗試對同一種鋪砌塊組織，采用不同的鋪砌層次數(shù)生成椅子鋪砌組織。圖5示出層次數(shù)n分別為2,3,4時得到的椅子鋪砌組織?？梢?，當(dāng)層次數(shù)較小時，所生成的組織相對簡單；而當(dāng)層次數(shù)增加時，生成的組織逐漸變得復(fù)雜，并且形成具有小花型的外觀效果。

圖5 不同鋪砌層次數(shù)得到的椅子鋪砌組織Fig.5 Chair-tiling weaves with different tiling layers

3.2 不同鋪砌結(jié)構(gòu)的織物組織

本文通過對椅子鋪砌的右上角結(jié)構(gòu)進行變化，得到不同的椅子鋪砌結(jié)構(gòu)，形成不同的椅子鋪砌組織。圖6示出采用不同鋪砌結(jié)構(gòu)設(shè)計的鋪砌組織(n=3)，即椅子鋪砌右上角結(jié)構(gòu)未經(jīng)變化以及分別對左下角結(jié)構(gòu)施加變換1(90°旋轉(zhuǎn))、變換2(180°旋轉(zhuǎn))、變換3(270°旋轉(zhuǎn))變換得到的織物組織圖。由圖可見，局部鋪砌結(jié)構(gòu)的變化引起了整體組織外觀效果的變化；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為180°時，所設(shè)計的織物組織呈現(xiàn)出中心對稱的效果，而當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為其他值時，則出現(xiàn)亂而有序的非周期對稱外觀效果。

圖6 采用不同鋪砌結(jié)構(gòu)設(shè)計的鋪砌組織(n=3)Fig.6 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Without transformation; (b) Transformation 1;(c) Transformation 2; (d) Transformation 3

3.3 不同鋪砌塊組織的織物組織

通過設(shè)計不同的鋪砌塊組織還可獲得更多的椅子鋪砌組織。圖7示出采用鋪砌塊組織設(shè)計的鋪砌組織(n=3)。由圖可見，不同的鋪砌塊組織所生成的椅子鋪砌組織外觀效果差異較大，風(fēng)格也不同。特別地，當(dāng)鋪砌塊組織本身具有對稱性時，所生成的鋪砌組織將呈現(xiàn)具有整體對稱性的規(guī)則花型效果,如圖7(a)、(b)所示。

圖7 采用不同鋪砌塊組織設(shè)計的鋪砌組織(n=3)Fig.7 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Tiling weave 1; (b) Tiling weave 2; (c) Tiling weave 3

為控制所生成織物組織的組織點分布，利用椅子鋪砌組織鋪砌塊相互咬合嵌套的特點，可從如下幾方面設(shè)計具有一定特點的鋪砌塊組織：欲生成帶有大塊組織點的織物組織，可在鋪砌塊的角點處設(shè)計大塊組織點，使其在角點處拼接時形成更大的組織點；欲生成具有回紋外觀的織物組織，可參考回紋分形組織設(shè)計方法[15]，設(shè)計斜紋狀的鋪砌組織，等等。圖8示出采用特殊鋪砌塊組織設(shè)計的鋪砌組織(n=3)。由圖可見，上述方法生成的椅子鋪砌組織可分別呈現(xiàn)大塊組織點與回形結(jié)構(gòu)，符合預(yù)期。

圖8 采用特殊鋪砌塊組織設(shè)計的鋪砌組織(n=3)Fig.8 Chair-tiling weaves with special tiling structures.(a) Weave with large weave points; (b) Fret weave

4 結(jié)束語

本文將鋪砌的思想引入織物組織設(shè)計，從組織空間布局的角度，提出了一種基于椅子鋪砌的織物組織設(shè)計方法。該方法通過構(gòu)造鋪砌結(jié)構(gòu)、設(shè)計鋪砌塊組織與生成鋪砌組織3個步驟實現(xiàn)組織設(shè)計?？赏ㄟ^改變鋪砌層次數(shù)、鋪砌結(jié)構(gòu)類型以及鋪砌塊組織等實現(xiàn)椅子鋪砌組織的變化，擴大了設(shè)計空間，獲得豐富的新型織物組織。由該方法所生成的織物組織不僅具有自相似性、層次嵌套等分形織物組織的特點，而且因其具有椅子鋪砌結(jié)構(gòu)，使其呈現(xiàn)出亂中有序的非周期對稱性特點,組織結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有一定的防偽功能。

椅子鋪砌僅是眾多鋪砌結(jié)構(gòu)的一種，不同的鋪砌規(guī)律將開拓出不同的織物組織設(shè)計空間。如何引入更多類型的鋪砌結(jié)構(gòu)進行織物組織設(shè)計可成為未來研發(fā)新產(chǎn)品的一個方向。