李冬冬， 張成俊,2， 左小艷,2， 張 弛,2， 李紅軍， 周向陽(yáng)

(1. 武漢紡織大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖北 武漢 430073；2. 武漢紡織大學(xué) 湖北省數(shù)字化紡織裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430073)

織針驅(qū)動(dòng)是橫機(jī)中重要的組成部分，在傳統(tǒng)凸輪式織針驅(qū)動(dòng)方法上，提出陣列式混合磁懸浮織針電磁驅(qū)動(dòng)方法[1]，消除機(jī)械傳動(dòng)所致的震動(dòng)、發(fā)熱和噪聲等問(wèn)題。目前，混合磁懸浮驅(qū)動(dòng)方法已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，如直線電動(dòng)機(jī)[2]、懸浮列車(chē)[3]、懸浮軸承[4]、同步電動(dòng)機(jī)[5]、懸浮球[6]、織針懸浮驅(qū)動(dòng)[7]等，隨著該驅(qū)動(dòng)方法應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，混合磁懸浮驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)相關(guān)計(jì)算也越來(lái)越被學(xué)者所重視。

Muzhitskii等[8]基于等效磁網(wǎng)絡(luò)法，推導(dǎo)出磁極尺寸、磁芯長(zhǎng)度和極間距離的數(shù)學(xué)公式，確定了用于無(wú)損磁測(cè)試磁化的多邊形磁體的最佳尺寸； Huang等[9]運(yùn)用等效荷電法，提出了一種新型的電磁章動(dòng)齒輪傳動(dòng)方法，設(shè)計(jì)了新型結(jié)構(gòu)來(lái)獲得傳動(dòng)裝置的嚙合特性；王海峰等[10]利用直接耦數(shù)值計(jì)算法，分析了永磁操動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，表明瞬態(tài)電磁場(chǎng)可滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)要求；Salons等[11]運(yùn)用有限元和邊界元法，分析了在求解電磁場(chǎng)時(shí)軸對(duì)稱(chēng)幾何模型的邊界條件，闡述了電磁計(jì)算時(shí)二者相結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。雖然,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)混合磁懸浮理論進(jìn)行了大量的研究，也取得了豐碩的成果，但在橫機(jī)織針電磁耦合驅(qū)動(dòng)的復(fù)雜工況下，永磁場(chǎng)空間分布規(guī)律的研究還處于起步階段。

本文通過(guò)3個(gè)方面對(duì)橫機(jī)混合磁懸浮永磁織針空間磁場(chǎng)分布進(jìn)行研究。首先，建立永磁織針等效磁路模型，推導(dǎo)空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式；其次，利用數(shù)學(xué)分析軟件對(duì)解析式進(jìn)行數(shù)值求解，并通過(guò)磁場(chǎng)有限元軟件對(duì)2種不同形狀的永磁織針進(jìn)行靜磁場(chǎng)仿真；最后，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)其空間磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)對(duì)比分析數(shù)值結(jié)果和測(cè)量數(shù)值，獲得永磁織針在空間的磁場(chǎng)分布規(guī)律。

1 混合磁懸浮織針驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)

混合磁懸浮是由永磁體與電磁鐵共同作用，對(duì)被懸浮物體施加懸浮力。混合磁懸浮織針驅(qū)動(dòng)由兩部分構(gòu)成：上部分是永磁織針(永磁體與織針為一體式結(jié)構(gòu))，下部分是通電線圈。通過(guò)給線圈通入給定的電流，線圈產(chǎn)生空間磁場(chǎng)，磁極性與永磁織針的極性相反。根據(jù)同性相斥原理，永磁織針被磁懸浮在磁場(chǎng)中。在單一式混合磁懸浮的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了陣列式懸浮結(jié)構(gòu)，如圖1所示。通過(guò)改變混合懸浮結(jié)構(gòu)中電磁永磁正對(duì)面積及磁積面積，從而改變永磁織針的Z向位移，實(shí)現(xiàn)編制三位功[1](集圈、浮線、成圈)。

圖1 織針磁驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of magnetic driving structure for knitting needles

2 永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型

2.1 圓柱形永磁織針等效模型

不同的鐵磁材料沿特定方向上充磁所表現(xiàn)的磁性及磁場(chǎng)分布往往不同。圖2示出橫機(jī)的混合電磁懸浮驅(qū)動(dòng)織針幾何和等效環(huán)流模型。

圖2 圓柱形永磁織針幾何和等效環(huán)流模型Fig.2 Geometric model (a) and equivalent circulation model (b) of permanent magnet

由圖2可知，橫機(jī)的單一式混合電磁懸浮模型，主要由永磁織針、支撐級(jí)片、電磁鐵組成；由于織針對(duì)數(shù)學(xué)建模和有限元仿真分析沒(méi)有影響，依據(jù)永磁織針的簡(jiǎn)化模型，顯示當(dāng)永磁體沿著Z軸正向充磁，磁感線從N極出發(fā)指向S極。在永磁材料選定情況下，永磁體外部磁感線的疏密主要與永磁體的幾何尺寸有關(guān)。

2.2 圓柱形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型

根據(jù)安培環(huán)路定理，可把磁場(chǎng)等效成電場(chǎng)，磁路等效成電流，利用磁路中的安培定律，把永磁體等效為Z方向上有n圈電流環(huán)，半徑方向上也有n圈電流環(huán)[12]，電流密度為J。永磁體在空間上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析模型如圖3所示。

注：a表示P在XY平面的投影點(diǎn)。圖3 空間中一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等效模型Fig.3 Equivalent model of magnetic induction of point in space

總電流密度為

Jz=∑∑Jm

(1)

式中：Jz為永磁電流環(huán)總電流密度，A/m3；Jm為單圈永磁電流環(huán)電流密度，A/m3。

則永磁體空間外點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度是由永磁體半徑和高度方向上產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加，如式(2)所示。根據(jù)電磁場(chǎng)安培環(huán)路定律和磁場(chǎng)疊加原理，P點(diǎn)在空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

dB=BX+BY+BZ

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：B、BX、BY、BZ分別表示空間磁感應(yīng)強(qiáng)度和在X、Y、Z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；I為永磁體面等效電流，A；HC為永磁體的矯頑力，A/m；h為永磁體的高度，mm；z為永磁體Z軸高度值，mm；d為永磁體的直徑，mm；l為電流元的長(zhǎng)度，mm；μr永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率，H/m；μ0為真空磁導(dǎo)率，H/m。

設(shè)定P點(diǎn)的Z坐標(biāo)隨永磁體高度方向遞增，則公式(4)中的z等于零，將參數(shù)代入公式(4)得到：

BZ=1.19h/(h+1.065d+1.065h)

(6)

從式(5)可看出永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度和永磁體的高度與直徑有關(guān)，且不是線性關(guān)系。主要與永磁體的磁化曲線有關(guān)。銣磁體的退磁曲線如圖4所示。

圖4 銣磁體的退磁曲線Fig.4 Demagnetization curve of neodymium magnet

由圖4可知，在a～b段，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化超前于磁場(chǎng)強(qiáng)度，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化較快；在b～c段，磁感應(yīng)強(qiáng)度還在增加，但增加的幅度明顯比a～b段??；在c～d段，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化最慢，基本接近磁飽和。

2.3 長(zhǎng)方形永磁織針等效模型

從圓柱形永磁體空間磁場(chǎng)分布模型，類(lèi)推到長(zhǎng)方形永磁體空間磁場(chǎng)分布模型。長(zhǎng)方形永磁體的長(zhǎng)寬高分別是L、W、H，沿著Z向充磁，假設(shè)永磁體達(dá)到磁飽和，內(nèi)部磁場(chǎng)均勻，內(nèi)部磁感線基本平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的絕對(duì)值為一定值，如圖5(a)所示。根據(jù)等效安培環(huán)路定律，長(zhǎng)方形永磁磁場(chǎng)等效為Z方向上n圈電流環(huán)面產(chǎn)出的磁場(chǎng)累加，每個(gè)環(huán)面的電流密度為J，所以永磁鐵在宏觀上表現(xiàn)為只有面電流而無(wú)體電流。如圖5(b)所示，理論情況下，磁勢(shì)均勻落在磁鐵表面，兩級(jí)的磁感線兩兩平行。

圖5 長(zhǎng)方體永磁等效模型Fig.5 Cuboid permanent magnet equivalent model. (a) Ampere stack model;(b) Ideal magnetic field distribution model

(7)

(8)

式中：C()表示P點(diǎn)在空間中收到電流激勵(lì)元各個(gè)方向的激勵(lì)合值；φ(x,y,z)表示空間中P點(diǎn)在X，Y，Z方向的函數(shù)；φ(x),φ(y),φ(z)為φ(x，y，z)在X,Y,Z方向的分量。

(9)

(10)

(11)

式中：I為源電流，A；a、b、c為點(diǎn)P的三維坐標(biāo)值，mm；r為電流環(huán)半徑，mm；H表示永磁的厚度，mm。

從式(6)可看出在計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，要提前確定磁鐵的電流密度，對(duì)設(shè)計(jì)永磁鐵帶來(lái)了不便。為了提高理論計(jì)算效率，利用計(jì)算圓柱形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度，引入X與Y方向的磁阻，為研究方便，現(xiàn)只對(duì)Z向磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行推導(dǎo)得：

(12)

(13)

式中：x,y,z分別表示電流激勵(lì)元空間坐標(biāo)。設(shè)定P點(diǎn)在永磁鐵內(nèi)部沿Z方向往永磁外部移動(dòng)，將P點(diǎn)Z向坐標(biāo)值，代入公式得：

(14)

將已知參數(shù)代入式(12)得到：

(15)

3 永磁織針磁場(chǎng)空間分布規(guī)律

3.1 有限元仿真分析

首先建立永磁織針的三維仿真模型，由于織針對(duì)空間磁場(chǎng)影響不大，所以只需建立永磁體仿真模型，然后對(duì)模型添加材料，將被分析對(duì)象分解為多個(gè)單元，設(shè)定邊界條件，通過(guò)磁場(chǎng)求解器進(jìn)行后處理，得到永磁體磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁矢走向。永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

織針模型建模后劃分單元，選擇On Selection-Length Based Refinement剖分設(shè)置，在軟件中網(wǎng)格的大小影響最后的求解，所以選擇大小為3 mm的三角形單元網(wǎng)格。由于圓柱形永磁沒(méi)有銳角，三角形單元網(wǎng)格分布比較均勻，而長(zhǎng)方體的網(wǎng)格呈現(xiàn)兩頭

表1 2種永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of two ermanent magnets

密集中間稀疏，符合長(zhǎng)方體永磁兩邊的磁力線分散中間磁力線集中的特性。

通過(guò)對(duì)2種形狀的永磁體進(jìn)行有限元仿真，得到不同尺寸下，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律，給定永磁體的材料是ND35，充磁方向沿著Z軸正向，空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值分布如圖6所示。

圖6 磁感應(yīng)強(qiáng)度仿真結(jié)果Fig.6 Magnetic induction simulation results. (a) Cylindrical permanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

由圖6可知，厚徑比越大磁感應(yīng)強(qiáng)度也就越大；當(dāng)直徑不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨厚度的增加而增大，織針的驅(qū)動(dòng)加速度增加；其中直徑為4 mm的圓柱形永磁體在厚度為3～4 mm的區(qū)間磁感應(yīng)強(qiáng)度變化較慢，加速度變化較小，在2～2.5和4～5 mm的厚度變化趨勢(shì)基本一致，加速度變化率相同；當(dāng)直徑為6 mm時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速度變化率先增加后減少。在厚度一定長(zhǎng)方形永磁的長(zhǎng)寬比系數(shù)k越小磁感應(yīng)強(qiáng)度就越大；當(dāng)k不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨厚度的增加而增大，但厚度為3～4 mm時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨k值增大而減小；在4～5 mm的厚度變化趨勢(shì)基本與k等于2，3一致。

3.2 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)式(5)、(13)，利用MatLab中的surf函數(shù)，可得到圓柱形和長(zhǎng)方形永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨尺寸變化的數(shù)值結(jié)果分布圖，如圖7所示。

圖7 磁感應(yīng)強(qiáng)度變化三維云圖Fig.7 Three-dimensional cloud image of magnetic induction intensity change. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由圖7可知，永磁體在厚度不變的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨直徑的增大而減小，反之，隨厚度的增加而變大；長(zhǎng)方體永磁體在厚度不變的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨長(zhǎng)度的增大而減少，反之，隨厚度的增加而變大。

圖8示出不同厚徑比的圓柱形永磁織針和不同長(zhǎng)寬比的長(zhǎng)方形永磁織針磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值結(jié)果?？芍?，磁感應(yīng)強(qiáng)度與永磁體的厚度成線性關(guān)系，當(dāng)厚度一定，永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨直徑的增大而增大；磁感應(yīng)強(qiáng)度與永磁的長(zhǎng)寬比系數(shù)k成線性關(guān)系，當(dāng)厚度一定，永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨長(zhǎng)寬比系數(shù)的增大而減少。

圖8 磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值結(jié)果Fig.8 Magnetic induction numerical results. (a) Cylindricalpermanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證永磁織針數(shù)學(xué)模型的正確性，分別對(duì)32組永磁織針進(jìn)行測(cè)量，織針空間磁場(chǎng)采用三軸試驗(yàn)臺(tái)，CH3600型高精度高斯計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

圖9 磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Magnetic induction test results. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由圖9可知，圓柱體永磁的厚徑比越大，磁感應(yīng)強(qiáng)度也就越大，織針的驅(qū)動(dòng)力增加，驅(qū)動(dòng)速度增大，與理論結(jié)果相符。在厚度為4～5 mm時(shí)，直徑為8 mm的永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度發(fā)生了一點(diǎn)誤差，主要是由于生產(chǎn)的永磁結(jié)構(gòu)缺陷和充磁不均所致;在長(zhǎng)寬比k一定的條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨著厚度的增加而變大；在長(zhǎng)寬比為4、厚度為2 mm和長(zhǎng)寬比為3、厚度為5 mm的點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化與理論結(jié)果不同，原因和圓柱體永磁效果相同。

由圖8、9可知，長(zhǎng)方體永磁織針的實(shí)驗(yàn)值和理論值相差明顯，數(shù)值結(jié)果最大值為0.15 T左右，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果最大值在0.25 T上下，增長(zhǎng)趨勢(shì)基本相同，只有個(gè)別實(shí)驗(yàn)值出現(xiàn)反增長(zhǎng)，這主要和測(cè)量的設(shè)備移動(dòng)位置不準(zhǔn)，永磁缺陷等因素造成的；由于上述原因，需要對(duì)長(zhǎng)方體永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度解析公式進(jìn)行修正，這里給出修正系數(shù)c等于100。修正后的數(shù)值理論結(jié)果與仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差比較如圖10所示。

圖10 誤差值分布Fig.10 Error value distribution. (a) Cylindrical permanent magnet needle;(b) Rectangular permanent magnet needle

由圖10可知，在永磁厚度一定時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論值和仿真值誤差較大，但理論值與實(shí)驗(yàn)值誤差在25%之內(nèi)，相差不大。個(gè)別永磁由于加工、充磁不均勻和微小破損等原因，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測(cè)量不均，誤差較大，但大多數(shù)的永磁的誤差范圍比較小，符合計(jì)算精度要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

在安培環(huán)流定理和磁場(chǎng)疊加原理的基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)出織針橫機(jī)混合磁懸浮驅(qū)動(dòng)中永磁體在外部空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值表達(dá)式。為驗(yàn)證解析式的正確性，通過(guò)建立永磁仿真模型進(jìn)行有限元分析，獲得了具體尺寸下永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律；為了驗(yàn)證磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律，通過(guò)對(duì)實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量。結(jié)果表明，厚徑比越大圓柱形永磁織針的空間磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，長(zhǎng)方體永磁在等厚的條件下，長(zhǎng)寬比越大磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。永磁的磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論值和實(shí)驗(yàn)值的誤差范圍都在25%之內(nèi)，證明了磁感應(yīng)強(qiáng)度解析公式對(duì)于計(jì)算不同形狀尺寸的永磁的計(jì)算比較符合，為陣列式橫機(jī)混合磁懸浮驅(qū)動(dòng)理論中永磁體空間磁場(chǎng)理論研究提供參考。