左 廳，王國冰，李 凱，高 迪，黃江濤，張帥華

(廣州汽車集團(tuán)股份有限公司 汽車工程研究院，廣東 廣州 511434)

0 引言

為了達(dá)到更高的精度和動(dòng)態(tài)性能，雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)技術(shù)越來越多地應(yīng)用在數(shù)控裝備的進(jìn)給系統(tǒng)中，其基本概念為驅(qū)動(dòng)力與合外力通過工作臺(tái)的重心，且沒有外部扭轉(zhuǎn)力矩影響[1]。國內(nèi)外學(xué)者多結(jié)合現(xiàn)代控制理論，引入各種控制方法如自適應(yīng)控制、模糊控制[2-4]等來協(xié)調(diào)兩軸間的運(yùn)動(dòng)性能，提高其精度。文獻(xiàn)[5]利用虛擬軸控制策略，將各從軸的驅(qū)動(dòng)力矩反饋至虛擬軸前向通道中，使得從軸產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)變化能夠反饋到主軸上。

在眾多的誤差影響因素中，幾何誤差是限制機(jī)床加工精度的主要因素之一。文獻(xiàn)[6]利用壓電陶瓷和柔性鉸鏈設(shè)計(jì)出一種補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，利用軟件調(diào)整補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的輸入電壓，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)工作臺(tái)的誤差補(bǔ)償。文獻(xiàn)[7-8]建立了五軸數(shù)控機(jī)床的誤差模型，通過修改NC代碼來實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，并開發(fā)出相應(yīng)的補(bǔ)償軟件。文獻(xiàn)[9]基于誤差模型提出了一種修改粗插補(bǔ)代碼使運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏移進(jìn)而實(shí)現(xiàn)幾何誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ā５鲜龇椒ǖ谋憬菪杂写嵘?，且只能?yīng)用于傳統(tǒng)的單電機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)床上。本文以雙驅(qū)二維工作臺(tái)的幾何誤差模型為基礎(chǔ)，結(jié)合BECKHOFF公司TwinCAT自動(dòng)化控制系統(tǒng)中的電機(jī)控制功能，提出了一種虛擬軸-電子凸輪誤差補(bǔ)償方法，能較好地實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償。

1 雙驅(qū)二維工作臺(tái)簡(jiǎn)介

圖1為雙驅(qū)二維工作臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖，以床身坐標(biāo)系O-XYZ為整個(gè)系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系，從下到上分別為床身、沿X向進(jìn)給的下工作臺(tái)、沿Y向進(jìn)給的上工作臺(tái)，兩工作臺(tái)在其進(jìn)給方向上都有兩組平行且對(duì)稱布置于工作臺(tái)兩側(cè)的“旋轉(zhuǎn)伺服電機(jī)+滾珠絲杠”，在上位機(jī)輸入相關(guān)指令后由控制器、驅(qū)動(dòng)器控制伺服電機(jī)，通過滾珠絲杠和螺母將電機(jī)輸出的角位移轉(zhuǎn)化成工作臺(tái)在導(dǎo)軌上的直線位移。

圖1 雙驅(qū)二維工作臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

在雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)中，工作臺(tái)的位置同時(shí)由兩側(cè)的電機(jī)+滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)副的工況和誤差所決定，實(shí)際情況下兩軸之間的機(jī)械、伺服特性等難免存在不同，所以工作臺(tái)兩側(cè)的進(jìn)給量之間也會(huì)存在同步誤差，工作臺(tái)中心的進(jìn)給量x將由兩側(cè)共同決定。

2 雙驅(qū)二維工作臺(tái)的幾何誤差建模

按多體理論對(duì)雙驅(qū)二維工作臺(tái)的各部分進(jìn)行編號(hào)：床身為0；對(duì)于下工作臺(tái)，其中心的進(jìn)給量由兩側(cè)共同決定，所以本文將下工作臺(tái)分為三個(gè)部分，兩側(cè)分別為1、2，中心為3，如圖2所示，其中，ΔXx1、ΔXx2、ΔXx3分別為下工作臺(tái)兩側(cè)及中心在進(jìn)給方向上的誤差；同理上工作臺(tái)兩側(cè)分別為4、5，中心為6；刀具為7。工作臺(tái)的拓補(bǔ)結(jié)構(gòu)如圖3所示，典型體7實(shí)際有多個(gè)低序體陣列，但理論上采用不同的低序體陣列進(jìn)行誤差建模不影響其結(jié)果，故本文只取其一(0-1-3-4-6-7)進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

圖2 下工作臺(tái)進(jìn)給示意圖 圖3 工作臺(tái)的拓補(bǔ)結(jié)構(gòu) 圖4 沿X軸平動(dòng)時(shí)6項(xiàng)誤差的幾何意義

相鄰體之間發(fā)生相對(duì)移動(dòng)時(shí)會(huì)分別在6個(gè)自由度上各產(chǎn)生一項(xiàng)幾何誤差。假設(shè)一構(gòu)件沿X方向平動(dòng)，6項(xiàng)誤差元素分別為：定位誤差ΔXx、直線度誤差ΔYx和ΔZx、偏擺誤差θZx、傾斜誤差θXx、俯仰誤差θYx，如圖4所示。類似地，構(gòu)件沿Y、Z軸方向平動(dòng)時(shí)的幾何誤差分別為定位誤差ΔYy、ΔZz，直線度誤差ΔXy、ΔZy、ΔXz、ΔYz，偏擺誤差θZy、θZz，傾斜誤差θXy、θXz，俯仰誤差θYy，θYz。

根據(jù)經(jīng)典的多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換法，忽略高階無窮小項(xiàng)，下工作臺(tái)沿X方向進(jìn)給x時(shí)床身0到下工作臺(tái)1的變換矩陣為：

(1)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

由于上工作臺(tái)6與刀具7并無相對(duì)移動(dòng)，故其齊次變換矩陣視為單位矩。

當(dāng)理想(無誤差)狀態(tài)下，床身0到刀具7的變換矩陣為：

(8)

(9)

(10)

由于本文的研究對(duì)象是只在X、Y方向上進(jìn)給的二維工作臺(tái)，無法在Z方向上進(jìn)給，且在Z方向上所產(chǎn)生的誤差較小，因此不考慮補(bǔ)償Z方向上的誤差，以下將θXx、θYx、θXy、θYy、θZx、θZy這些與Z方向位移有關(guān)的誤差忽略，重點(diǎn)研究ΔXx、ΔYx、ΔXy、ΔYy、θZx、θZy這6項(xiàng)誤差。

(11)

從而可得雙驅(qū)二維工作臺(tái)的誤差模型：

(12)

(13)

式(12)和式(13)表示：當(dāng)?shù)毒咴趦煞较虻睦硐脒M(jìn)給量分別為x、y時(shí)，由各項(xiàng)幾何誤差所引起的刀具在兩方向上的定位誤差分別為ΔX、ΔY。

3 幾何誤差測(cè)量及補(bǔ)償策略

圖5為虛擬軸-電子凸輪補(bǔ)償策略原理框圖，其實(shí)質(zhì)是一種通過運(yùn)動(dòng)控制指令偏置來修正實(shí)際輸出位置的誤差補(bǔ)償方法。電子凸輪是一種模仿傳統(tǒng)機(jī)械凸輪的從軸位置關(guān)于主軸位置的函數(shù)關(guān)系，將誤差函數(shù)以電子凸輪的形式導(dǎo)入運(yùn)動(dòng)控制器中，并將凸輪的主、從軸分別與虛擬軸、電機(jī)實(shí)軸連接，系統(tǒng)將根據(jù)虛擬軸的理想位移和電子凸輪表計(jì)算出修正后的實(shí)軸的位置指令、速度指令，并發(fā)送給電機(jī)從而實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。

圖5 虛擬軸-電子凸輪補(bǔ)償策略原理框圖

設(shè)下工作臺(tái)沿X方向的理想進(jìn)給量為x，ΔXx是在該方向上的定位誤差，則電子凸輪表的從軸位置應(yīng)該為X=x-ΔXx。當(dāng)下工作臺(tái)進(jìn)給時(shí)，只需要給虛擬軸輸入指令進(jìn)給至x處，控制器實(shí)際得到的指令是通過電子凸輪修正后的從軸位置X=x-ΔXx，再由控制器、驅(qū)動(dòng)器控制實(shí)軸(電機(jī))運(yùn)動(dòng)至此處，由于誤差ΔXx的存在，實(shí)軸的實(shí)際進(jìn)給量Xα為控制器實(shí)際指令X與誤差ΔXx的疊加，即Xα=X+ΔXx=x，從而達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?/p>

假設(shè)在電機(jī)MX1、MX2、MY1、MY2的同時(shí)驅(qū)動(dòng)下工作臺(tái)沿X、Y方向進(jìn)給x、y。一般情況下刀具運(yùn)行的軌跡是已知的，即對(duì)于不同的加工工件，x和y存在不同的函數(shù)關(guān)系y=k(x)。由式(12)可知：刀具在X方向上的誤差與定位誤差ΔXx1和ΔXx2、直線度誤差ΔXy、偏擺誤差θZx、進(jìn)給量y都有關(guān)。其中ΔXy和yθZx都是關(guān)于變量y的函數(shù)，即ΔX是關(guān)于(x,y)的二元函數(shù)。而電子凸輪是一種凸輪從軸位置關(guān)于凸輪主軸位置的一元函數(shù)，為了得到電子凸輪的函數(shù)表達(dá)式以便在誤差補(bǔ)償時(shí)應(yīng)用，可聯(lián)立刀具軌跡的函數(shù)y=k(x)消去y，將ΔX轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元函數(shù)。與傳統(tǒng)的單電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)床不同，對(duì)雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)的工作臺(tái)誤差補(bǔ)償時(shí)，會(huì)同時(shí)對(duì)兩側(cè)的電機(jī)進(jìn)行位置修正。假設(shè)誤差補(bǔ)償?shù)那闆r下工作臺(tái)兩側(cè)都按理想位置進(jìn)給，那么兩側(cè)不會(huì)產(chǎn)生沿進(jìn)給方向上的相對(duì)位移，根據(jù)剛體空間6點(diǎn)定位原理，工作臺(tái)不會(huì)產(chǎn)生繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，即偏擺誤差yθZx為0，進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)不用再考慮。所以各電子凸輪的函數(shù)表達(dá)式為：

X1=x-ΔXx1-ΔXy.

(14)

X2=x-ΔXx2-ΔXy.

(15)

對(duì)于Y方向的誤差補(bǔ)償，其原理與上述相同，則Y方向的各電子凸輪的表達(dá)式為：

Y4=y-ΔYy4-ΔYx.

(16)

Y5=y-ΔYy5-ΔYx.

(17)

4 幾何誤差的測(cè)量

誤差檢測(cè)是獲取機(jī)床幾何誤差并開展誤差補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)，本文利用激光干涉儀作為誤差測(cè)量工具，在工作臺(tái)的行程范圍內(nèi)選取120 mm×120 mm的檢測(cè)空間，除第一個(gè)起始點(diǎn)作為參考零位，每個(gè)方向上均以10 mm為間隔設(shè)置檢測(cè)點(diǎn)，總計(jì)12個(gè)?？刂乒ぷ髋_(tái)單方向進(jìn)給，采用相對(duì)應(yīng)的光學(xué)鏡組分別按圖6～圖8中的測(cè)量軌跡對(duì)誤差補(bǔ)償所需的各項(xiàng)誤差ΔXx1、ΔXx2、ΔYy4、ΔYy5、ΔYx、ΔXy進(jìn)行檢測(cè)。為減小檢測(cè)過程的誤差，每項(xiàng)誤差檢測(cè)3次，并取其平均值為結(jié)果，如表1所示。

表1 各項(xiàng)誤差的測(cè)量結(jié)果

圖6 ΔXx1、ΔXx2的檢測(cè)示意圖 圖7 ΔYy4、ΔYy5的檢測(cè)示意圖 圖8 直線度誤差ΔYx、ΔXy的檢測(cè)

為得到誤差關(guān)于進(jìn)給量的函數(shù)，以應(yīng)用在后續(xù)的誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)中，本文采用最小二乘法對(duì)各項(xiàng)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，保證擬合確定系數(shù)較大的前提下取較簡(jiǎn)單的擬合函數(shù)，分別見式(18)～式(23)：

ΔXx1=-0.714-1.028x.

(18)

ΔXx2=-4.347-0.733x.

(19)

ΔYy4=-5.915 3-0.537y.

(20)

ΔYy5=-1.882 5-0.732y.

(21)

ΔYx=-2.826 3+0.551 8x-0.003 3x2.

(22)

ΔXy=1.424-0.227 8y+0.027 9y2-0.000 4y3+1.803×10-6y4.

(23)

5 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

下面利用基于BECKHOFF的TwinCAT控制系統(tǒng)開發(fā)的誤差補(bǔ)償軟件，對(duì)雙驅(qū)二維工作臺(tái)開展誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證誤差模型及補(bǔ)償方法的有效性。

X、Y方向聯(lián)動(dòng)時(shí)，設(shè)軌跡為y=k(x)=x，聯(lián)立式(14)～式(23)可得電子凸輪函數(shù)表達(dá)式，將其導(dǎo)入如圖9所示的誤差補(bǔ)償軟件中，并分別連接虛擬軸及兩實(shí)軸進(jìn)行誤差補(bǔ)償。以10 mm為間隔，通過安裝在兩側(cè)的光柵尺分別讀取兩側(cè)定位誤差，再根據(jù)ΔXx3=(ΔXx2+ΔXx1)/2、ΔYy6=(ΔYy4+ΔYy5)/2可求得工作臺(tái)中心處的ΔXx3、ΔYy6。檢測(cè)三次取其平均值為結(jié)果,見表2，誤差補(bǔ)償前、后的ΔXx3、ΔYy6對(duì)比如圖10所示。

表2 誤差補(bǔ)償前、后ΔXx3和ΔYy6的檢測(cè)結(jié)果

圖9 誤差補(bǔ)償軟件模塊

由圖10可以看出：誤差補(bǔ)償前定位誤差ΔXx3、ΔYy6總體趨勢(shì)隨行程的增大而增大，且波動(dòng)較明顯；誤差補(bǔ)償后ΔXx3、ΔYy6顯著減小，ΔYy6在行程前段保持較小數(shù)值，ΔYy6在行程后段小幅增大，且較平穩(wěn)，最大值為10.2 μm，ΔXx3同樣在前段保持較小，在行程后段波動(dòng)變大，最大值為22.5 μm?？傮w來看，補(bǔ)償后的ΔXx3、ΔYy6較補(bǔ)償前的減小了約70%，效果較為明顯。

圖10 誤差補(bǔ)償前、后的ΔXx3和ΔYy6

6 結(jié)語

針對(duì)一種雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)的二維工作臺(tái)進(jìn)行了幾何誤差的分析與建模，得到了幾項(xiàng)影響較大的幾何誤差與最終定位誤差的函數(shù)表達(dá)式，為雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)床的幾何誤差建模提供了參考。提出了一種適用于雙驅(qū)二維工作臺(tái)的虛擬軸-電子凸輪誤差補(bǔ)償方法，并根據(jù)誤差模型得出電子凸輪函數(shù)，導(dǎo)入到基于倍?？刂葡到y(tǒng)開發(fā)的補(bǔ)償軟件中，進(jìn)行了雙驅(qū)二維工作臺(tái)誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示補(bǔ)償后誤差減小70%以上，驗(yàn)證了幾何誤差模型及誤差補(bǔ)償方法較為準(zhǔn)確、有效。