劉敬敏， 楊綠峰， 余 波*

(1.廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，柳州 545006；2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

1 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度分析對(duì)于工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和概率安全性評(píng)估具有重要意義。近年來(lái)，框架結(jié)構(gòu)的可靠度分析得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。其中，文獻(xiàn)[1]利用非線性有限元法開(kāi)展了框架結(jié)構(gòu)的可靠度分析；文獻(xiàn)[2]研究了按照加拿大建筑規(guī)范設(shè)計(jì)的鋼框架結(jié)構(gòu)的可靠度；文獻(xiàn)[3]基于隨機(jī)有限元的梯度優(yōu)化法，研究了荷載和截面慣性矩等參數(shù)為隨機(jī)變量時(shí)的框架結(jié)構(gòu)可靠度；文獻(xiàn)[4]通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量獲取了鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料參數(shù)的施工誤差統(tǒng)計(jì)信息，進(jìn)而采用驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算了框架結(jié)構(gòu)的可靠度；文獻(xiàn)[5]利用基于一次可靠度的有限元方法分析了框架結(jié)構(gòu)的可靠度；文獻(xiàn)[6,7]采用響應(yīng)面法計(jì)算了框架結(jié)構(gòu)的可靠度。需要說(shuō)明的是，上述研究成果都將結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)描述為隨機(jī)變量，而忽略了材料參數(shù)空間變異性的影響。然而，由于材料制備、施工技術(shù)和腐蝕缺陷等因素的影響，結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)通常具有顯著的空間變異性[8-19]。文獻(xiàn)[8]利用隨機(jī)有限元法分析了彈性模量具有隨機(jī)性的鋼框架結(jié)構(gòu)的可靠度，采用中點(diǎn)法離散隨機(jī)場(chǎng)，導(dǎo)致適用性和計(jì)算精度難以保證。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，目前國(guó)內(nèi)外傳統(tǒng)的隨機(jī)場(chǎng)離散方法主要局限于一維桿系單元[9]、二維平面單元[10,11]或三維實(shí)體單元[12-14]，而缺少一種針對(duì)由桿系單元組成的平面框架隨機(jī)場(chǎng)的有效離散方法，所以無(wú)法有效分析材料參數(shù)空間變異性對(duì)框架結(jié)構(gòu)可靠度的影響[9,10]。

本文結(jié)合隨機(jī)場(chǎng)離散的局部平均理論和隨機(jī)響應(yīng)分析的攝動(dòng)隨機(jī)有限元法，提出了一種能夠有效考慮材料參數(shù)空間變異性的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，進(jìn)而定量分析了材料參數(shù)空間變異性(如隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)類型、相關(guān)偏度和變異性等)對(duì)框架結(jié)構(gòu)可靠度的影響規(guī)律。

2 空間變異性的隨機(jī)場(chǎng)模型及離散

采用平面內(nèi)廣義平穩(wěn)且均勻的隨機(jī)場(chǎng)來(lái)模擬框架結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何尺寸和外荷載等因素在空間分布上的變異性。以圖1(a)所示門式剛架為例，將任一個(gè)單元(假定平面內(nèi)長(zhǎng)度為L(zhǎng)i的線性單元i或長(zhǎng)度為L(zhǎng)j的線性單元j)模擬為平面內(nèi)廣義平穩(wěn)且均勻的M維隨機(jī)場(chǎng)R(x,y,θ)，其中x和y為隨機(jī)場(chǎng)的平面坐標(biāo)，θ為隨機(jī)場(chǎng)的隨機(jī)特性參數(shù)。已知隨機(jī)場(chǎng)的均值和方差分別為

μR= [μ1,μ2,…,μM]T

(1)

(2)

2.1 隨機(jī)場(chǎng)的局部平均離散技術(shù)

(i= 1,2,…,N)(3)

(i= 1,2,…,N;r= 1,2,…,M)(4)

(5)

(6,7)

圖1 平面內(nèi)任意分布的線性單元i和j

工程中比較常用的隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型包括三角型(T)、指數(shù)型(EXP)、二階AR型(AR)和高斯型(G)等，對(duì)應(yīng)的相關(guān)函數(shù)和方差函數(shù)分別為[20]

(1) 三角型

(8)

(9)

式中θr為局部平均法的相關(guān)偏度。

(2) 指數(shù)型

(10)

(11)

(3) 二階AR型

(12)

γr(Li) = (θr/2Li){2+exp(-4Li/θr)-

[3θr/(4Li)][1-exp(-4Li/θr)]}

(13)

(4) 高斯型

(14)

(15)

式中erf( · )為誤差函數(shù)。

2.2 互相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差矩陣

(16)

將ds=dxi/cosα和dl=dxj/cosβ代入式(16)可得

(17)

(18)

當(dāng)單元j平行于y軸時(shí)，將ds= dxi/cosα和dl= dyj代入式(16)可得

(19)

當(dāng)單元i和j都平行于y軸時(shí)，將ds= dyi和dl= dyj代入式(16)可得

(20)

(21)

式中σr和σs分別為隨機(jī)場(chǎng)第r和第s分量的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)差。

3 空間變異性結(jié)構(gòu)的可靠度分析

在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β等于原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離，即

(22)

且功能函數(shù)滿足

G(ξ*) = 0

(23)

ξ(k +1)=ξ(k)+s(k)d(k)

(24)

式中上標(biāo)k和k+1表示迭代步，s(k)為移動(dòng)步長(zhǎng)，可以通過(guò)使式(25)所定義的價(jià)值函數(shù)取最小值來(lái)確定[21]

(25)

(26)

(27)

3.1 正態(tài)相關(guān)隨機(jī)變量的處理

假設(shè)利用局部平均法將隨機(jī)場(chǎng)離散為一組具有相關(guān)性的正態(tài)隨機(jī)向量x= [x1,x2,…,xn]T，其中n=M×N為隨機(jī)變量總數(shù)，M為隨機(jī)場(chǎng)維數(shù)，N為隨機(jī)場(chǎng)單元離散數(shù)。為了進(jìn)行可靠度計(jì)算，需要將x變換為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)向量ξ[22]，兩者之間的關(guān)系如下，

ξ=TATx+B

(28)

對(duì)式(28)進(jìn)行逆變換有

x=AT-1(ξ-B)

(29)

由此可以得到從隨機(jī)向量x變換到隨機(jī)向量ξ的雅克比矩陣Jx,ξ為

Jx,ξ=AT-1

(30)

3.2 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的梯度計(jì)算

已知原變量空間中的功能函數(shù)g(x)，根據(jù)ξ和x之間的關(guān)系，可以確定梯度向量G(ξ)和g(x)之間存在以下關(guān)系。

(31)

功能函數(shù)g(x)通?？梢杂蓮V義抗力R和廣義荷載效應(yīng)S表示為

g(x) =g(R,S)

(32)

由于R和S都是x的函數(shù)，所以梯度向量g(x)為

g(x) =JRgR(R,S)+JSgS(R,S)

(33)

根據(jù)攝動(dòng)隨機(jī)有限元法的控制方程可以求出結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量的均值和協(xié)方差分別為[18,19]

(34，35)

其中

(36，37)

當(dāng)利用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)建立結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)時(shí)，JS= ?S/?x可以由式(37)計(jì)算，從而可以利用式(31,33)計(jì)算功能函數(shù)梯度向量，進(jìn)而可以根據(jù)式(22～27)計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。考慮空間變異性的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析方法的計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 本文方法計(jì)算流程

4 對(duì)比分析與驗(yàn)證

4.1 門式剛架

圖3 平面剛架的計(jì)算簡(jiǎn)圖

4.1.1 相關(guān)結(jié)構(gòu)類型和單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)的影響

以隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)偏度θr=3.0 m，變異系數(shù)δ= 0.1為例，分析單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)和隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)類型對(duì)框架結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的影響，計(jì)算結(jié)果列入表1，其中εPM表示MCS與本文方法的相對(duì)誤差。可靠指標(biāo)隨單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)的收斂趨勢(shì)如圖4所示。為了兼顧MCS的計(jì)算精度和計(jì)算效率，分析了抽樣次數(shù)對(duì)可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果的影響，將MCS的抽樣次數(shù)選取為10萬(wàn)次。

表1 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)類型和單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)情況下的可靠指標(biāo)

圖4 單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)對(duì)可靠指標(biāo)收斂性的影響

由表1可知，(1) 當(dāng)單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)不同時(shí)，由本文方法與MCS計(jì)算得到的可靠指標(biāo)之間的相對(duì)誤差均控制在3.5%以內(nèi)，說(shuō)明本文方法的計(jì)算精度較高；(2) 當(dāng)單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)相同時(shí)，隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型為T，EXP，AR和G時(shí)的可靠指標(biāo)相差不大，符合局部平均法對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型不敏感的特點(diǎn)。此外，從圖4可以看出，當(dāng)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型相同時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)隨著單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)的增大而逐漸收斂；當(dāng)單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)不少于12時(shí)，計(jì)算結(jié)果基本收斂，與文獻(xiàn)[23]在邊坡穩(wěn)定可靠性中有關(guān)局部平均法隨機(jī)場(chǎng)單元?jiǎng)澐值慕Y(jié)論基本吻合。

4.1.2 相關(guān)偏度的影響

以單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為12，變異系數(shù)δ= 0.1為例，分析隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)偏度對(duì)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的影響，計(jì)算結(jié)果列入表2，可靠指標(biāo)隨相關(guān)偏度的變化趨勢(shì)如圖5所示。由表2可知，當(dāng)相關(guān)偏度取不同值時(shí)，本文方法與MCS所得可靠指標(biāo)的相對(duì)誤差均控制在3.1%以內(nèi)，再次說(shuō)明本文方法的計(jì)算精度較高。從圖5可以看出，當(dāng)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型相同時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)隨著隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)偏度的增大而降低，說(shuō)明相關(guān)偏度的大小對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度有較大影響，與文獻(xiàn)[24]有關(guān)曲邊單元局部平均法的研究結(jié)論一致。

表2 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)類型和相關(guān)偏度情況下的可靠指標(biāo)

4.1.3 變異性的影響

以單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為12，隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)偏度θr=3.0 m為例，分析隨機(jī)場(chǎng)的變異性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的影響，計(jì)算結(jié)果列入表3，可靠指標(biāo)與變異系數(shù)的變化趨勢(shì)如圖6所示。由表3可知，本文方法與MCS的相對(duì)誤差隨著變異系數(shù)的增大而增大，當(dāng)δ≤0.15時(shí)，相對(duì)誤差控制在5.2%以內(nèi)；當(dāng)δ>0.15時(shí)，相對(duì)誤差較大，主要原因在于攝動(dòng)展開(kāi)技術(shù)只適于小變異分析。此外，從圖6可以看出，當(dāng)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型相同時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)隨著隨機(jī)場(chǎng)變異系數(shù)的增大而降低，說(shuō)明變異系數(shù)的大小對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度有較大影響。

4.1.4 計(jì)算效率對(duì)比

通過(guò)以上對(duì)比分析可知，本文方法與MCS的計(jì)算結(jié)果相吻合，說(shuō)明本文方法具有較好的計(jì)算精度。取單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)為12，變異系數(shù)δ= 0.1，相關(guān)結(jié)構(gòu)類型為T時(shí)的可靠度計(jì)算為例，相關(guān)偏度分別取1.5 m，4.5 m和7.5 m時(shí)，本文方法和MCS 的計(jì)算效率對(duì)比列入表4。可以看出，MCS按照統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算失效概率，雖然不需要進(jìn)行可靠度迭代計(jì)算，但是需進(jìn)行大量抽樣且每一組樣本都要進(jìn)行一次有限元分析計(jì)算。 此外，可靠指標(biāo)越大，MCS所需的抽樣次數(shù)越多，計(jì)算耗時(shí)越久。而本文方法僅需要進(jìn)行1次有限元分析計(jì)算及4次左右可靠度迭代計(jì)算，計(jì)算耗時(shí)非常少且穩(wěn)定。由 表4 結(jié)果可知，本文方法的計(jì)算耗時(shí)大概只需MCS的1/100，說(shuō)明本文方法具有較高的計(jì)算效率。

圖5 相關(guān)偏度對(duì)可靠指標(biāo)的影響

表3 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)類型和變異系數(shù)情況下的可靠指標(biāo)

4.2 三層三跨剛架

假設(shè)λe和λq的相關(guān)結(jié)構(gòu)分別取三角型(T)、指數(shù)型(EXP)、二階AR型(AR)及高斯型(G)，各隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)偏度為θ1=θ2,分別取6.0 m,7.5 m和9.0 m時(shí)，利用本文方法和MCS計(jì)算的可靠指標(biāo)結(jié)果列入表5。可以看出，對(duì)于三層三跨剛架結(jié)構(gòu)，當(dāng)相關(guān)偏度取不同值時(shí)，本文方法與MCS所得可靠指標(biāo)的相對(duì)誤差均控制在5%以內(nèi)，說(shuō)明本文方法具有較高的計(jì)算精度和較好的適用性。此外，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)隨著隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)偏度的增大而降低，再次說(shuō)明相關(guān)偏度的大小對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度有較大影響。

圖6 變異系數(shù)對(duì)可靠指標(biāo)的影響

表4 不同方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率的對(duì)比

圖7 三層三跨剛架的計(jì)算簡(jiǎn)圖

表5 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)類型和相關(guān)偏度情況下的可靠指標(biāo)

5 結(jié) 論

結(jié)合隨機(jī)場(chǎng)離散的局部平均理論和隨機(jī)響應(yīng)分析的攝動(dòng)隨機(jī)有限元法，提出了一種能夠有效考慮參數(shù)空間變異性的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，并定量分析了參數(shù)的空間變異性對(duì)框架結(jié)構(gòu)可靠度的影響，結(jié)論如下。

(1) 隨機(jī)場(chǎng)離散的局部平均理論對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)類型不敏感。

(2) 隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)偏度和變異性對(duì)框架結(jié)構(gòu)可靠度影響較大，隨著隨機(jī)場(chǎng)相關(guān)偏度的增大或變異性的減小，框架結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)逐漸增大。

(3) 所提出的考慮空間變異性的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析方法對(duì)于小變異(如變異系數(shù)δ≤0.15)情況下的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析有較好的適用性。

(4) 所提出的考慮空間變異性的框架結(jié)構(gòu)可靠度分析方法的計(jì)算耗時(shí)大概只需MCS的1/100，具有較好的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

(5) 基于本文方法，可以進(jìn)一步開(kāi)展靈敏度分析，從而遴選考慮空間變異性結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的關(guān)鍵影響因素，為框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)。