黃志誠， 王興國， 吳南星， 褚福磊， 羅 經(jīng)

(1.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333403； 2.清華大學(xué) 機械工程系，北京 100084；3.北京機械工業(yè)自動化研究所有限公司，北京 100084)

1 引 言

對于各種車輛、飛機和船舶等,其內(nèi)外部噪聲和振動水平是最重要的設(shè)計標準之一[1]。同時,這些領(lǐng)域經(jīng)常要求控制產(chǎn)品的重量,需要大量使用薄壁件,而因其輕薄的特性,在激勵下更容易產(chǎn)生振動和噪聲。在飛機和一些高端汽車中,振動主動控制是滿足技術(shù)需求的一種方式,但代價是成本較高[2]。所以，更常見的是在結(jié)構(gòu)中添加被動阻尼材料以降低噪音和振動水平。其中,被動約束層阻尼PCLD(Passive constrained layer damping)形式的應(yīng)用阻尼材料在降低結(jié)構(gòu)振動能量方面非常有效[3]。圖1所示的黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)即為一典型的PCLD板結(jié)構(gòu)。其技術(shù)原理是高損耗因子黏彈性材料層(如橡膠)附著在基板結(jié)構(gòu)上，并且在其另一側(cè)受到剛性層(如金屬)的約束(約束層)。 因此,當基板產(chǎn)生彎曲振動時,黏彈性層將經(jīng)受大的剪切變形,使動能轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉,達到減振降噪目的。這種結(jié)構(gòu)在沒有顯著改變構(gòu)件重量的情況下能夠有效地抑制振動,所以在對重量有嚴格限制的場合應(yīng)用廣泛。其動力學(xué)建模和振動及阻尼特性一直是研究的熱點問題。

本文基于經(jīng)典板理論對黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)進行了有限元建模,采用Biot模型描述黏彈性材料參數(shù)的頻率依賴特性并給出了識別其參數(shù)的方法。通過引入輔助坐標將Biot模型和黏彈夾芯板的有限元方程相結(jié)合,并將其轉(zhuǎn)化成便于求解的標準二階定常線性系統(tǒng)方程形式。最后，對黏彈夾芯板的振動特性進行了分析和實驗研究,結(jié)果表明本文方法是正確可靠的,對同類工程振動問題的解決有一定參考應(yīng)用價值。

圖1 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)

2 有限元建模

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)黏彈夾芯板的兩個彈性層(基板和約束層)的剪應(yīng)變忽略不計,只考慮中間黏彈性層的剪應(yīng)變;各層沿厚度方向的撓度變化可忽略,即三層具有相同的撓度,中面只發(fā)生彎曲變形;彈性層不耗散振動能量,黏彈性層為不可壓縮材料,通過剪切變形耗散能量;黏彈性層為線性黏彈性材料,其本構(gòu)模型由復(fù)剪切模量模型表示;各層結(jié)合面完美粘合,不存在相對滑動。

2.2 運動學(xué)關(guān)系

基于上述假設(shè)和圖2所示的運動關(guān)系,可得黏彈性層x向和y向位移分別為[14]

(1)

(2)

黏彈性層繞y軸和x軸的剪應(yīng)變分別為

(3)

(4)

式中d= (h3+h1)/2+h2為約束層和基板中面間的距離。

圖2 xoz截面黏彈夾芯板的運動關(guān)系

2.3 自由度與形函數(shù)

構(gòu)造如圖3所示的夾芯板單元。該單元為四節(jié)點矩形單元,尺寸為2a×2b。每個節(jié)點有7個自由度,分別為板單元基板層和約束層面內(nèi)x向和y向位移u1,v1,u3和v3、板的橫向位移w及繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角θx和θy。其空間分布函數(shù)(插值函數(shù))為

u3=a1+a2x+a3y+a4xy

v3=a5+a6x+a7y+a8xy

u1=a9+a10x+a11y+a12xy

v1=a13+a14x+a15y+a16xy

w=a17+a18x+a19y+a20x2+

a21xy+a22y2+a23x3+a24x2y+

a25xy2+a26y3+a27x3y+a28xy3

θx= ?w/?y,θy=-?w/?x

(5)

式中系數(shù)a1,a2,…,a28由單元4個節(jié)點的28個節(jié)點位移向量Δe來決定。節(jié)點位移向量為

(6)

(i= 1,2,3,4)(7)

因此,單元內(nèi)任意位置(x,y)的位移Δ可由單元節(jié)點位移矢量插值得到,即

(8)

將形函數(shù)N代入式(1～4),可得對應(yīng)于黏彈性層縱向位移u2,v2和剪應(yīng)變γx z，γy z的形函數(shù)分別為

(9)

(10)

(11)

(12)

圖3 28自由度板單元示意圖

2.4 單元運動方程

2.4.1 勢能

根據(jù)經(jīng)典板理論[15]可得單元不同層因拉伸和彎曲引起的勢能為

(13)

式中下標i(i= 1,2,3)分別表示該參數(shù)屬于基板、黏彈性層和約束層,

(14)

為第i(i= 1,2,3)層面內(nèi)彈性矩陣,其中Ei和νi分別為第i層的彈性模量和泊松比,

(15)

為第i層的彎曲彈性矩陣,ke i和kb i分別為第i層與拉伸和彎曲相關(guān)的剛度矩陣,其表達式為

(16)

式中Be i和Bb i(i= 1,2,3)分別為基板、黏彈性層和約束層的拉伸和彎曲應(yīng)變-位移矩陣,其表達式分別為

(17)

黏彈性層的剪切應(yīng)變能為

(18)

式中G為黏彈性材料的剪切剛度矩陣,其表達式為

(19)

式中Gx為x向剪切模量,Gy為y向剪切模量。本文研究的黏彈性材料為各向同性材料,所以有Gx=Gy=Gv,其中Gv為黏彈性層的剪切模量,一般情況下為復(fù)數(shù)形式。ks v為黏彈性層的剪切剛度矩陣,其表達式為

(20)

式中Bs v為黏彈性層的剪應(yīng)變矩陣,其表達式為

(21)

顯然,單元總勢能為各層勢能之和

(22)

則單元總剛度陣為各層剛度陣之和

(23)

式(23)可簡寫為

ke=ke+ks v

(24)

式中ke為單元的彈性剛度陣,其表達式為

(25,26)

式中G=Gv為黏彈性材料的剪切彈性模量,kv v為單元粘性剛度陣,其表達式為

(27)

2.4.2 動能

板單元各層動能也包含拉伸和彎曲動能兩部分。第i層(i= 1,2,3)的動能為

(28)

單元總動能為各層動能之和,即

(29)

應(yīng)用形函數(shù),則可得單元總質(zhì)量陣

(30)

式中me i和mb i分別為第i層拉伸和彎曲質(zhì)量陣。這些質(zhì)量陣的表達式分別為

(31)

2.4.3 單元運動方程

將單元勢能及單元動能代入哈密爾頓(Hamilton)原理的變分形式可以推導(dǎo)出單元運動方程

(32)

式中Re為單元外部激勵力。

2.5 應(yīng)用Biot模型

黏彈材料拉氏域的切變模量函數(shù)可用Biot模型[16]表示

(33)

式中G∞為黏彈材料剪切模量的平衡(穩(wěn)態(tài))值,N為微振子系列項數(shù),{ak,bk}為正常數(shù)。如果取N階微振子,該模型有2N+1個參數(shù)需要確定。這些參數(shù)可以通過對實驗數(shù)據(jù)進行曲線擬合得到。

將單元運動方程(32)進行拉氏變換得

(34)

將Biot模型的表達式(33)代入式(34)并引入輔助耗散坐標

(35)

式中k= 1,2,3，…，N。經(jīng)整理后可得到單元動力學(xué)方程為

(36)

式中

(37)

顯然式(36)為普通的二階定常線性系統(tǒng)動力學(xué)方程,求解固有頻率和阻尼等模態(tài)參數(shù)都很直接方便,這一優(yōu)點使得Biot模型具有很好的工程應(yīng)用價值。

3 數(shù)值模擬

考慮三根長度不同但其他參數(shù)相同的懸臂黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)，其幾何和材料參數(shù)列入表1。文獻[17]對這三種不同的懸臂板進行了一系列實驗以確定黏彈材料的機械性能參數(shù)。本節(jié)將應(yīng)用本文板單元分別對這三種不同的懸臂板進行分析,得到其前三階固有頻率和損耗因子,將所得結(jié)果與實驗值進行對比以驗證本文模型。

表1中黏彈材料的彈性模量實部和損耗因子隨頻率變化而變化,文獻[17]通過實驗確定其表達式分別為

(38)

(39)

式中α=5.26 MPa,β=55.59×106s-1

δ=6.98×109s-2，ε=0.58 MPa

式(38,39)通過數(shù)學(xué)變形得到形如取兩階微振子項的Biot模型表達式,其參數(shù)可以直接提取,列入表2。

應(yīng)用本模型分別計算該板前三階固有頻率和損耗因子值，并與實驗值對比,結(jié)果列入表3。計算時，該板沿長寬方向離散成50×40個單元。

表1 懸臂黏彈夾芯板的幾何和材料參數(shù)

表2 黏彈材料Biot模型參數(shù)

由表3可知,在對固有頻率的預(yù)估中,本文模型對三根板的預(yù)估誤差都在3%以下,最低誤差為1.5%,最高誤差為2.78%,平均誤差為2.13%。在對結(jié)構(gòu)損耗因子預(yù)估中,本文模型的預(yù)估誤差都在5%以下,最低誤差為2.32%,最高誤差為4.58%,平均誤差為3.25%。上述結(jié)果表明，本文方法是準確有效的。

4 實驗研究

為進一步驗證本文推導(dǎo)的有限元板模型，對一黏彈夾芯板進行自由振動測試實驗。該板的邊界條件為一邊固支,另三邊自由。長為290 mm,寬為80 mm,其約束層、黏彈性層和基板厚度分別為1.0 mm,0.5 mm和1.7 mm。其材料參數(shù)列入表4。

核心層材料選用國產(chǎn) Z N -1 型黏彈性材料,文獻[18]測得其在不同激勵頻率下的儲能模量和損耗因子值,據(jù)此通過曲線擬合得到其Biot模型參數(shù),列入表5。

通過如圖4所示的實驗裝置測得黏彈夾芯板前三階固有頻率,對應(yīng)的損耗因子由半功率法得到,然后使用本文推導(dǎo)的有限元模型來計算板的固有頻率和損耗因子。計算時，板沿長寬方向劃分為20×8個單元。前三階固有頻率和損耗因子的實驗和計算結(jié)果列入表6。

圖4 結(jié)構(gòu)模態(tài)實驗

表3 不同長度的黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的實驗值和數(shù)值模擬結(jié)果對比Tab.3 Comparison of experimental values and numerical simulation results of first three natural frequencies and loss factors of viscoelastic sandwich plates of different lengths

表4 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)

表5 Z N -1型黏彈材料Biot模型參數(shù)

表6 懸臂黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的計算和實驗結(jié)果比較Tab.6 Comparison between calculation and experimental results of first three natural frequencies and loss factors of cantilever viscoelastic sandwich plate

由表6可知,本文有限元模型的計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合良好,這說明黏彈性材料Biot模型能夠很好地描述黏彈性材料參數(shù)隨頻率變化的特性,本文黏彈夾芯板有限元模型是準確有效的。

5 結(jié) 論

建立了黏彈夾芯板的有限元動力學(xué)模型。采用黏彈性材料Biot模型描述其力學(xué)性能參數(shù)的頻率依賴特性,通過引入輔助坐標將其與三層四節(jié)點28自由度板單元結(jié)合,將黏彈夾芯板的有限元動力學(xué)方程改造成二階線性系統(tǒng)形式,降低了常規(guī)非線性系統(tǒng)方程的求解難度。通過數(shù)值模擬和實驗研究驗證了本文方法的有效性。