李建宇， 魏凱杰

(天津科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津市輕工與食品工程機(jī)械裝備集成設(shè)計(jì)與在線監(jiān)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222)

1 引 言

圓柱薄殼由于其優(yōu)越的承載性能和簡(jiǎn)易的制造工藝，在航空航天、軍事導(dǎo)彈和液罐存儲(chǔ)等現(xiàn)代工程中廣泛應(yīng)用[1,2]。當(dāng)圓柱薄殼的主要服役工況為軸壓時(shí)，其失效模式為屈曲失穩(wěn)。大量實(shí)踐和研究表明[3-5]，圓柱薄殼的屈曲載荷對(duì)其在制造、安裝和服役等環(huán)節(jié)產(chǎn)生的缺陷極其敏感，而這些缺陷的不確定性和薄壁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中的非線性導(dǎo)致定量研究圓柱薄殼屈曲載荷的缺陷敏感性極具挑戰(zhàn)，一直以來(lái)都受到學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。

對(duì)圓柱薄殼屈曲載荷有影響的缺陷主要包括幾何缺陷、剛度缺陷和邊界缺陷，其中幾何缺陷的影響最大。幾何缺陷形狀的表征是量化研究圓柱薄殼屈曲載荷缺陷敏感性的關(guān)鍵。常用的幾何缺陷表征方法可劃分為確定性方法和不確定性方法兩類，其中確定性方法有實(shí)測(cè)缺陷法[6]、特征模態(tài)缺陷法[7]以及基于最優(yōu)搜索的最不利缺陷多點(diǎn)擾動(dòng)載荷法[8]等。不確定性方法有基于概率框架的隨機(jī)場(chǎng)模型[9-12]和基于非概率框架的區(qū)間類方法[13,14]。由于缺陷的產(chǎn)生和分布具有事先不可預(yù)知性，因而采用不確定性方法表征缺陷應(yīng)該是更自然的選擇[15]。研究表明[10,16]，對(duì)于特定制造工藝和服役環(huán)境下的薄壁圓殼，其幾何缺陷具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，可以用隨機(jī)過(guò)程等概率方法表征。與區(qū)間類方法相比較，利用隨機(jī)場(chǎng)模型表征初始缺陷的好處是能夠獲得屈曲載荷的概率分布，從而為進(jìn)一步的可靠性分析奠定基礎(chǔ)，但隨機(jī)場(chǎng)模型的構(gòu)建需要更多的關(guān)于缺陷的先驗(yàn)信息。實(shí)測(cè)缺陷數(shù)據(jù)是當(dāng)然的先驗(yàn)信息，如文獻(xiàn)[9,10]利用實(shí)測(cè)缺陷數(shù)據(jù)擬合隨機(jī)場(chǎng)模型中的參數(shù)(相關(guān)函數(shù)的方差和相關(guān)長(zhǎng)度等)。除此之外，隨機(jī)場(chǎng)所描述的物理量應(yīng)該滿足的物理?xiàng)l件也是一類有用的先驗(yàn)信息(如楊氏模量非負(fù)的條件)，為此文獻(xiàn)[17]研究了如何將物理約束信息用于隨機(jī)模型的構(gòu)建中。圓柱薄殼幾何缺陷雖具有不確定性，但其隨機(jī)變化也受到相關(guān)物理約束。如薄壁圓柱殼除非受到內(nèi)外壓力作用并產(chǎn)生環(huán)向的總體塑性變形，否則其幾何缺陷并不會(huì)引起圓柱周長(zhǎng)的顯著變化。本文研究發(fā)現(xiàn)，單純利用二維高斯隨機(jī)場(chǎng)表征圓柱薄殼的幾何缺陷時(shí)，確實(shí)會(huì)出現(xiàn)圓柱周長(zhǎng)顯著增大或減小的情形，從而增大隨機(jī)屈曲分析結(jié)果的分散性。為此，本文將討論在幾何缺陷的隨機(jī)場(chǎng)模型中如何引入這一內(nèi)在的物理約束條件，從而構(gòu)建更符合實(shí)際的幾何缺陷隨機(jī)場(chǎng)模型。

在建立了幾何缺陷的隨機(jī)場(chǎng)模型后，就可以在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析模型的基礎(chǔ)上利用不確定傳播的辦法獲得屈曲載荷的概率分布。Monte Carlo法是最常用的不確定傳播算法[18]，但其計(jì)算成本太高。近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法[19]，由于其較高的計(jì)算效率而受到廣泛關(guān)注，在非線性結(jié)構(gòu)分析、流固分析和多物理場(chǎng)分析等復(fù)雜問(wèn)題的不確定性量化中廣泛應(yīng)用[20]。本文擬將其用于薄壁圓柱結(jié)構(gòu)的隨機(jī)屈曲分析。

2 初始幾何缺陷的隨機(jī)場(chǎng)建模

2.1 初始幾何缺陷的先驗(yàn)分布

(1)

圖1 圓柱薄殼結(jié)構(gòu)及其展開(kāi)

式(1)的協(xié)方差函數(shù)沿用了文獻(xiàn)[9,10]的假設(shè)，即假定幾何缺陷的隨機(jī)場(chǎng)模型在軸向和環(huán)向的相關(guān)性相互獨(dú)立，其中環(huán)向缺陷的相關(guān)性具有對(duì)稱性。式中σ2表示隨機(jī)場(chǎng)的方差，lx和ly分別為環(huán)向和軸向的相關(guān)長(zhǎng)度參數(shù)。環(huán)向和軸向的協(xié)方差函數(shù)圖像如圖2所示。

2.2 引入周長(zhǎng)不變約束

利用高斯隨機(jī)場(chǎng)表征初始幾何缺陷的優(yōu)點(diǎn)是從數(shù)學(xué)上將可能發(fā)生的幾何缺陷都涵蓋在內(nèi)，但帶來(lái)的問(wèn)題是，隨機(jī)場(chǎng)所表征的幾何缺陷也包含了很多不符合實(shí)際的情形。如僅考慮環(huán)向缺陷，利用隨機(jī)場(chǎng)離散化方法隨機(jī)生成一族環(huán)向幾何缺陷，發(fā)現(xiàn)所生成的幾何缺陷中包含了圓周周長(zhǎng)顯著增大或縮小的情形，如圖3(a)所示。從力學(xué)的角度，薄壁圓柱結(jié)構(gòu)在加工、裝配和運(yùn)輸過(guò)程中主要發(fā)生殼的局部彎曲變形，即使是發(fā)生局部平面變形(如凹陷)，也不會(huì)導(dǎo)致環(huán)向周長(zhǎng)的顯著膨脹或縮小。因而，隨機(jī)場(chǎng)所表征的這種缺陷是不符合實(shí)際的，應(yīng)予剔除。

本文構(gòu)造如下優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)在幾何缺陷高斯隨機(jī)場(chǎng)中引入周長(zhǎng)不變約束的目的。

(2)

(?y∈ [0,H], ?ω∈Ω)

(3)

圖2 環(huán)向和軸向協(xié)方差函數(shù)

圖3 幾何缺陷形狀示例

υL= (L-L0)/L0×100%

(4)

表1給出了隨機(jī)抽樣10次后圓周周長(zhǎng)改變率的計(jì)算結(jié)果，保留四位有效數(shù)字，結(jié)果證明了周長(zhǎng)不變約束的有效性。

2.3 隨機(jī)場(chǎng)的離散化

(5)

對(duì)?z∈ [0,2 πR]×[0,H]，求a(z)和b(z)，滿足

表1 施加周長(zhǎng)不變約束前后圓周周長(zhǎng)變化率的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(8)代入優(yōu)化問(wèn)題(6)，利用罰函數(shù)法處理周長(zhǎng)不變等式約束，并由該優(yōu)化問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件得幾何缺陷的隨機(jī)變量表征。

(10)

(11)

式中I0= [0,0,…,0]1 × m，I1= [1,1,…,1]1 × m。式(10)將幾何缺陷表達(dá)為一系列特定缺陷模式的隨機(jī)組合。對(duì)于各階缺陷模式，隨著其階數(shù)的增加，缺陷的波動(dòng)性增加，如圖4所示。

表2 懲罰因子對(duì)于周長(zhǎng)改變率的影響

與現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于幾何缺陷隨機(jī)場(chǎng)建模表征的兩類方法[23]，即Gaussian隨機(jī)場(chǎng)K-L展開(kāi)法和譜展開(kāi)方法相比，本文方法既具有K-L展開(kāi)法在數(shù)值計(jì)算方面的優(yōu)勢(shì)，又滿足譜展開(kāi)法所具有的均值各態(tài)歷經(jīng)性。

3 基于多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法的隨機(jī)屈曲分析

將初始幾何缺陷表征為隨機(jī)場(chǎng)(10)后，圓柱薄殼的幾何參數(shù)中包含了獨(dú)立高斯隨機(jī)變量ξ∈ RN，其臨界屈曲載荷Pc r也是一個(gè)隨機(jī)變量，與隨機(jī)變量ξ之間滿足由屈曲分析模型決定的映射關(guān)系。為表述簡(jiǎn)單，將其表述為

Pc r= Μ(ξ)

(12)

對(duì)具有確定物理、幾何和邊界參數(shù)的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，可以利用各類成熟的穩(wěn)定性分析方法計(jì)算其臨界屈曲載荷，包括特征值屈曲、顯示動(dòng)力學(xué)屈曲等非線性有限元分析方法[24,25]。屈曲分析模型給出了ξ與Pc r之間的隱式關(guān)系，但計(jì)算不方便而且成本昂貴。本文利用多項(xiàng)式混沌展開(kāi)PCE(Polynomial Chaos Expansions)法構(gòu)建Μ(·)的顯式形式。

(13)

式中Φi(ξ)為關(guān)于高斯隨機(jī)變量ξ的Hermite正交多項(xiàng)式，P= (d+p)!/d!p!，其中p為Hermite多項(xiàng)式Φ(ξ)的階數(shù)，d為隨機(jī)變量ξ的維數(shù)。ci∈ R為多項(xiàng)式系數(shù)，

式中E[Φi(ξ)Φj(ξ)] =δi j，E[Pc rΦj(ξ)] 表示Pc rΦj(ξ)的期望，需要做積分計(jì)算.為了減少積分點(diǎn)的數(shù)目，降低計(jì)算量，本文使用稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分法求積，其中積分點(diǎn)上的Pc r值通過(guò)有限元方法進(jìn)行計(jì)算，相關(guān)細(xì)節(jié)見(jiàn)文獻(xiàn)[18,26]。

圖4 不同階的幾何缺陷形狀示例

4 數(shù)值算例

以一個(gè)光筒圓柱薄殼為例，說(shuō)明本文方法的有效性。為簡(jiǎn)單而不失一般性，積分點(diǎn)上的屈曲載荷值的計(jì)算選用特征值屈曲分析方法。表3為模型參數(shù)，薄殼模型的一端固定，一端施加軸向單位外壓載荷。采用S4R殼單元，進(jìn)行收斂性分析后，將網(wǎng)格單元大小設(shè)為4 mm，如圖5所示。具體計(jì)算時(shí)，將隨機(jī)場(chǎng)的方差取為σ2= 4，相關(guān)長(zhǎng)度取為lx= 0.6H，ly= 0.15L，利用式(10)得到隨機(jī)的幾何缺陷值，將其導(dǎo)入到有限元模型中進(jìn)行積分點(diǎn)上屈曲載荷值的計(jì)算。

利用非干涉PCE構(gòu)建代理模型(13)時(shí)，一旦選定稀疏網(wǎng)格精度水平k，就可確定積分點(diǎn)的數(shù)目，對(duì)積分點(diǎn)進(jìn)行抽樣計(jì)算，利用式(14)求得PCE系數(shù)，即可得到PCE代理模型。在PCE模型上進(jìn)行有效的Monte Carlo模擬，便可估算薄殼結(jié)構(gòu)屈曲載荷的統(tǒng)計(jì)特性。為了驗(yàn)證代理模型的精度，以直接Monte Carlo模擬1000次的計(jì)算結(jié)果為參考，計(jì)算不同精度水平下相對(duì)于MCS結(jié)果的誤差，列入表4。

圖5 完善薄殼的屈曲載荷收斂性分析

表3 模型參數(shù)

表4 不同精度水平下相對(duì)于MCS結(jié)果的誤差

通過(guò)綜合比較均值誤差和方差誤差，選定稀疏網(wǎng)格精度水平k= 3建立PCE模型。在對(duì)319個(gè)積分點(diǎn)進(jìn)行抽樣計(jì)算后，得到8階的PCE模型。圖6給出了在PCE模型上進(jìn)行百萬(wàn)次抽樣計(jì)算后，考慮周長(zhǎng)不變約束和不考慮周長(zhǎng)不變約束時(shí)圓柱薄殼屈曲載荷的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

將幾何缺陷的不確定性表征為隨機(jī)場(chǎng)后，屈曲載荷的結(jié)果為一個(gè)概率分布。從圖6可知，是否引入周長(zhǎng)不變約束，對(duì)于屈曲載荷的概率分布有明顯的影響。首先，引入周長(zhǎng)不變約束的屈曲載荷均值要比未引入約束的大，而方差比未引入約束的小。其原因是引入周長(zhǎng)不變約束后，將不符合周長(zhǎng)不變要求的隨機(jī)缺陷剔除，從而減小了隨機(jī)缺陷的樣本總量范圍，其分散性也就相應(yīng)減小。另外，考慮到幾何缺陷的幅值越小，相應(yīng)屈曲載荷越大，引入周長(zhǎng)不變約束會(huì)使得幾何缺陷的幅值相對(duì)變小，相應(yīng)的屈曲載荷均值也會(huì)增大。

為進(jìn)一步說(shuō)明引入周長(zhǎng)不變約束的必要性和效果，研究隨機(jī)場(chǎng)模型中的參數(shù)σ2和lx的變化對(duì)周長(zhǎng)不變約束的敏感性。

圖6帶有幾何缺陷的圓柱薄殼屈曲載荷統(tǒng)計(jì)直方圖

圖7 隨機(jī)場(chǎng)方差對(duì)屈曲載荷統(tǒng)計(jì)矩的影響(考慮和不考慮周長(zhǎng)不變約束)

圖7展示了隨著隨機(jī)場(chǎng)方差的變化，考慮周長(zhǎng)不變約束和不考慮周長(zhǎng)不變約束時(shí)的屈曲載荷的統(tǒng)計(jì)矩結(jié)果?？梢钥闯觯S著隨機(jī)場(chǎng)方差的改變，幾何缺陷考慮約束與否對(duì)屈曲載荷的均值和方差有差別，但是差別并不顯著。因而，隨機(jī)場(chǎng)模型中的方差參數(shù)對(duì)于約束的敏感性相對(duì)較小。

圖8展示了隨著隨機(jī)場(chǎng)環(huán)向相關(guān)長(zhǎng)度lx的改變，考慮周長(zhǎng)不變約束和不考慮周長(zhǎng)不變約束的屈曲載荷的統(tǒng)計(jì)矩結(jié)果變化。可以看出，環(huán)向相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)屈曲載荷的統(tǒng)計(jì)矩結(jié)果有較大影響，尤其當(dāng)環(huán)向相關(guān)長(zhǎng)度為0.25L時(shí)，隨機(jī)模型中的環(huán)向相關(guān)長(zhǎng)度參數(shù)對(duì)于周長(zhǎng)不變約束的敏感性很強(qiáng)，是否考慮周長(zhǎng)不變約束對(duì)于屈曲載荷的預(yù)測(cè)結(jié)果有很大影響。在協(xié)方差函數(shù)中，相關(guān)長(zhǎng)度是對(duì)兩點(diǎn)之間相互影響距離的度量。對(duì)于剛度較小的結(jié)構(gòu)，如大型鋼儲(chǔ)罐，其相關(guān)長(zhǎng)度相對(duì)較小，因而結(jié)構(gòu)對(duì)周長(zhǎng)不變約束并不敏感。對(duì)于剛度較大的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，如加筋薄殼，其相關(guān)長(zhǎng)度也較大，在利用隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行幾何缺陷建模時(shí)，考慮周長(zhǎng)不變約束顯得尤為重要。

圖8 環(huán)向相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)屈曲載荷統(tǒng)計(jì)矩的影響(考慮和不考慮周長(zhǎng)不變約束)

5 結(jié) 論

本文采用隨機(jī)場(chǎng)理論研究軸壓圓柱薄殼結(jié)構(gòu)屈曲載荷的幾何缺陷敏感性。一方面，研究了圓柱薄殼結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷的隨機(jī)場(chǎng)建模方法，發(fā)現(xiàn)單純將幾何缺陷用二維高斯隨機(jī)場(chǎng)表征時(shí)，在數(shù)學(xué)上會(huì)造成圓柱周長(zhǎng)顯著增大或縮小的幾何缺陷。為了剔除這些不符合實(shí)際的幾何缺陷，提出一種考慮周長(zhǎng)不變約束的隨機(jī)場(chǎng)建模方法，并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)表明了所提方法的必要性和有效性。另一方面，基于所建立的幾何缺陷隨機(jī)模型，提出利用非干涉混沌多項(xiàng)式展開(kāi)法進(jìn)行圓柱薄殼的隨機(jī)屈曲分析，給出了臨界屈曲載荷的概率分布，進(jìn)而為進(jìn)一步的可靠性分析和設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。